北京市丰台区丰台第二中学2023届高三上学期12月月考数学试题及答案

北京市丰台区丰台第二中学2023届高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，那么等于（    ）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．襄阳五中高二年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为130，90，85，103，93，99，101，116．则这8名学生数学成绩的第70百分位数为（　　）

A．102 B．103 C．101 D．99

4．已知为等比数列的前项和，若，，则公比（    ）

A． B．

C．或1 D．或1

5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=

A． B． C．2 D．3

7．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．若直线截取圆所得弦长为2，则（    ）

A． B． C．1 D．

9．若函数有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（    ）

A．千米 B．千米

C．千米 D．千米

二、填空题

11．函数的定义域为__________.

12． 的展开式中的系数为______.（用数字作答）

13．曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：

①曲线关于轴、轴均对称；

②曲线上存在点，使得；

③若点在曲线上，则的面积最大值是1；

④曲线上存在点，使得为钝角.

其中所有正确结论的序号是__________.

三、双空题

14．，且，则__________；__________.

15．抛物线的焦点的坐标为__________，过焦点的直线交该抛物线于两点，若，则__________.

四、解答题

16．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(1)确定的解析式；

(2)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.

条件①：的最小值为；

条件②：图象的一个对称中心为；

条件③；的图象经过点.

17．某家电专卖店试销三种新型电暖器，销售情况如下表所示：

(1)从前三周随机选一周，求该周型电暖器销售量最高的概率；

(2)为跟踪调查电暖器的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第一周和第二周售出的电暖器中分别随机抽取一台，求抽取的两台电暖器中A型电暖器台数的分布列和数学期望；

(3)直接写出一组的值，使得表中每行数据的方差相等.

18．平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.

19．已知椭圆过点为.

(1)求椭圆的方程及其焦距；

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，求的值.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：.

21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.

（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；

①，；

②，.

（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；

（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.

参考答案：

1．D

【分析】先解不等式化简集合，再由并集的概念，即可得出结果.

【详解】∵集合，集合，

∴.

故选：D.

2．D

【分析】根据复数相等的定义，结合复数模的运算公式进行求解即可.

【详解】设，则，∴解得∴.

故选：D

3．B

【分析】先将8名学生某次考试的数学成绩按递增排序，再由求解.

【详解】解：8名学生某次考试的数学成绩分别为85，90，93，99，101，103，116，130，

因为，

所以这8名学生数学成绩的第70百分位数为103，

故选：B

4．C

【分析】设等比数列的公比为q.利用基本量代换列方程组即可求出q.

【详解】设等比数列的公比为q.

因为，，所以，，即，，所以，解得或.

故选：C.

5．B

【分析】根据三角函数的定义求出的值，再由，在所得分式的分子和分母中同时除以，再代入的值计算即可得解.

【详解】由已知条件可知，点在直线上，则，，

所以，.

故选：B.

6．D

【详解】由余弦定理得，

解得（舍去），故选D.

【考点】余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

7．C

【分析】将点代入得出关系，由离心率得出关系，结合双曲线关系式即可求解.

【详解】将代入双曲线标准方程得，又，，联立解得，故双曲线的标准方程为.

故选：C

8．C

【分析】根据题意可得直线过圆的圆心，进而可求解.

【详解】因为圆的半径为1，直径为2，故直线过的圆心，

故，解得.

故选：C

9．B

【分析】分类讨论与两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得的取值范围.

【详解】因为有最小值，

当时，，显然在上单调递增，且，即在上没有最小值；

当时，，易知在上必有最小值，

因为开口向上，对称轴为，

当时，，易知，

故不是在上的最小值，则在上没有最小值，不满足题意；

当时，，

要使得是在上的最小值，则，即，

解得或，所以；

综上：，即.

故选：B.

10．D

【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离.

【详解】

在中，，

设，

则，

当且仅当时取等号，

设，则，

又到的距离为20千米，所以，，

故（时取等号），

所以，得，

故选：D

11．

【分析】根据函数解析式列出相应不等式组，即可求得答案.

【详解】由题意可得函数需满足 ，

解得 ，

故函数的定义域为，

故答案为：.

12．20

【分析】写出展开式通项公式，求得所在项数后可得．

【详解】的展开式中第项为，

令得：的系数为.

故答案为：20．

【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．

13．③④

【分析】①由已知表示出C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；②假设结论成立，推理出曲线不存在，不合题意；③点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；④寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角.

【详解】设曲线上任意一点P(x，y)，由题意可知的方程为.

①错误,在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称；同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误.

②错误,若，则曲线不存在，故②错误.

③正确, P应该在椭圆D：内(含边界)，曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时当点P为点时，的面积最大，最大值是1；故③正确

④正确，由 ③可知，取曲线上点，此时，下面在曲线上再寻找一个特殊点P(0，y)，，则，

把两边平方，整理得，

解得，即或.

因为，则取点， 此时.故④正确．

故答案为：③④．

【点睛】易错点睛：与椭圆相关的综合问题，难度大，要注意：

(1)注意观察方程的特征，利用代数方法判断曲线的对称性；

(2)适当利用反向推理，假设成立，再反向推理看是否合理；

(3)椭圆焦点三角中，当点在椭圆上下顶点时，焦点三角形面积最大，椭圆上点与两个焦点的张角最大；

(3)验证存在性的问题，只需找到一个正例就可以说明其存在性；验证某个结论错误时，只需一个反例即可说明.

14．         

【分析】利用平面向量的线性运算与数量积的坐标表示即可求得，从而利用模的运算公式即可求得.

【详解】因为，所以，

又因为，，所以，则，

所以，则.

故答案为：；.

15．          ##

【分析】根据抛物线的焦点坐标公式可得，再根据抛物线的焦半径公式可得的横坐标，进而可得直线的方程，联立可得抛物线方程，利用韦达定理可得的坐标求解焦半径即可.

【详解】由题意，的焦点坐标为，设，

则由焦半径公式可得，解得，不妨设，则直线的斜率为，

则直线的为，联立可得，即，

故，故，则.

故答案为：；

16．(1).

(2).

【分析】（1）根据函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，可确定函数最小正周期，求得；若选①②，则由的最小值确定，由图象的一个对称中心为确定，即可求得答案；选①③，则由的最小值确定，由的图象经过点，将代入解析式，可确定，即可求得答案；选条件②③︰则由函数对称中心可确定，将代入解析式，可确定，即可求得答案；

（2）根据，表示出 ，根据函数的最小值可列出相应的不等式，即可求得a的取值范围.

【详解】（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为 ,

所以的最小正周期 ,故，

此时．

选条件①②︰

因为的最小值为 ，所以 ．

因为图象的一个对称中心为 ，所以 ，

所以，

因为 ，所以，所以.

选条件①③︰

因为的最小值为 ，所以．

因为函数的图象过点 ，

即，即 ，

因为 ，以 ，所以

 则，所以.

选条件②③︰

因为函数的一个对称中心为，所以 ，

所以 ．

因为，所以，此时 ．

所以 ,

因为函数的图象过点 ，

所以 ,即 ,即

所以，所以.

（2）因为，所以 ,

函数在区间上的最小值为，

则 ，即，

所以a的取值范围为 .

17．(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

(3)

【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可；

（2）根据题意得出X的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，根据分布列即可求出数学期望；

（3）利用方差的计算公式，结合题干中每组数据，将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除即可.

【详解】（1）解：记事件M为“型电暖器销售量最高”，

三周中第二周型电暖器销售量最高，则；

（2）由题可知，在第一周抽取A型电暖器的概率为，第二周抽取A型电暖器的概率为，

的可能取值为0，1，2，

则，

，

，

故的分布列为：

.

（3）因为方差，且表中每行方差相等，

所以，

，

，

其中，，，，

观察数据：第一组10，9，14，a；第二组13，9，14，b；第三组7，12，13，c，

故可以将每组数据补成两对相邻数据，且和能被4整除，即，

则，

，

，

，符合题意，

所以.

18．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【分析】(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.

(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.

(3) 以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.

【详解】（1）解法1：取的中点,连结,,,

在直角梯形中,,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

在中,,

所以,

又因为,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中点,连结,,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

因为平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因为平面,

所以.

（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

设,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

设平面的法向量为,

所以,

所以令,则,

如与平面成的角为,

所以.

所以,即与面成的角为.

【点睛】本题主要考查了线面平行与线线垂直的一般方法,同时也考查了建立空间直角坐标系求解线面角的问题,需要设线段的比例关系,求解关于比例参数的解析式根据线面角大小化简求解.属于难题.

19．(1)；

(2).

【分析】（1）利用代入法进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线的点斜式方程、代入法进行求解即可.

【详解】（1）因为椭圆过点为，

所以有；

（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，

由，消去整理得，

所以，解得，

所以，，

直线的方程为，令，解得，

直线的方程为，令，解得，

，

因为，，

所以，

因为，

所以，

即，

于是有，即.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系，得到是解题的关键.

20．(1)

(2)在上单调递增，在上单调递减.

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；

（2）求导后根据导数的符号可得函数的单调性；

（3）根据（2）中函数的单调性求出函数的最大值，再利用导数证明函数的最大值小于0即可得证.

【详解】（1）当时，，，

，，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）因为，，

所以，

因为，所以当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

（3）当时，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，

所以，，

令，，

则，则在上单调递减，

所以，

所以，所以.

【点睛】（1）中，利用导数的几何意义求出切线的斜率是解题关键；

（2）中，利用导数的符号判断函数的单调性是解题关键；

（3）中，转化为证明函数的最大值小于0是解题关键.

21．（Ⅰ）①不是的一个二元基底.；

②是的一个二元基底.

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ），的最小可能值为5. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等.

【详解】分析：（I）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．

（II）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．

（III）由（Ⅱ）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5．

详解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.

理由是；

②是的一个二元基底.

理由是，

.

（Ⅱ）不妨设，则

形如 的正整数共有个；

形如 的正整数共有个；

形如 的正整数至多有个；

形如 的正整数至多有个.

又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.

故，即.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.

当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *

假设为的一个4元基底，

不妨设，则.

当时，有，这时或.

如果，则由，与结论*矛盾.

如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，均不可能是的4元基底.

当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.

综上，的最小可能值为5.

点睛：本题以一个集合为另一个集合的元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．