2023北京丰台区高三二模数学试题含解析

2022~2023学年度第二学期综合练习（二）

高三数学

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数，则（    ）

A  B.  C.  D. 5

3. 已知数列的前项和为，若，则（    ）

A.  B. 5 C. 7 D. 8

4. 若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（    ）

A.  B.  C.  D. 8

7. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ）

A. 向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

B. 向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度

C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

D. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

8. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C. 若，则

D. 若，则

10. 已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ）

A. 0 B.  C.  D.

第二部分（非选择题110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 在展开式中，的系数为__________．（用数字作答）

12. 已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是__________．

13. 若函数，则__________，的值域为__________．

14. 在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．

15. 已知函数．给出下列四个结论：

①的最小正周期是；

②的一条对称轴方程为；

③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则；

④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足．

其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．

（1）求BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

17. 如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．

（1）求证：；

（2）求点到平面距离；

（3）过点与垂直的平面交直线于点，求的长度．

18. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：

假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．

（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；

（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；

（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明）

19. 已知椭圆经过两点.

（1）求椭圆C方程和离心率；

（2）设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点满足，求证：P，O，Q三点共线．

20 已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若是增函数，求a的取值范围；

（3）证明：有最小值，且最小值小于．

21. 已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列．

（1）若集合，写出一组符合题意的数列和；

（2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值；

（3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”．