2022年武汉中考数学终极押题密卷2

这是一份2022年武汉中考数学终极押题密卷2，共35页。
2022年武汉中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•江夏区模拟）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2022•湖北模拟）小明掷一枚质地均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件是随机事件的是（　　）
A．两枚骰子向上的一面的点数之和大于0
B．两枚骰子向上的一面的点数之和等于2
C．两枚骰子向上的一面的点数之和等于1
D．两枚骰子向上的一面的点数之和大于12
3．（3分）（2022•青山区模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2020•嘉峪关）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
5．（3分）（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
6．（3分）（2022•武昌区模拟）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．112
7．（3分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+12x+14x＝34685
8．（3分）（2022•江汉区模拟）为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（　　）

A．503 B．18 C．553 D．20
9．（3分）（2022•江夏区模拟）如图所示，PA为⊙O切线，D为圆上一点，延长DB交AP线段于点C，连接AD交线段OP于点M，若DC⊥AP，且PA＝3、PB＝1，则CD的长为（　　）

A．95 B．365 C．6 D．245
10．（3分）（2022•武昌区模拟）方程x2+3x＝1的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x＝﹣1的实数根x所在的范围是（　　）
A．−1＜x＜−12 B．−12＜x＜−13 C．−13＜x＜−14 D．−14＜x＜0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•青山区模拟）计算(−7)2的结果是　 　．
12．（3分）（2022•江汉区模拟）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级共售书50本，具体情况如下表：
售价
3元
4元
5元
6元
数目
14本
11本
10本
15本
则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 　 　．
13．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　 　．

14．（3分）（2022•武昌区模拟）如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是　 　米（3取1.732，2取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．

15．（3分）（2022•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）过点（1，0）和点（0，2），且顶点在第二象限，下列结论：①a＜0；②A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞1时，y1＞y2；③若b＝2a，则ax2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜1；④设p＝a﹣b+c，则整数p的不同取值有3个．其中正确的结论有 　 　．
16．（3分）（2022•江汉区模拟）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，O为边BC上一点，若⊙O分别与AC，AB相切于D，E，则⊙O的半径为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．

18．（8分）（2022•武昌区模拟）如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D，求证：∠E＝∠DFE．

19．（8分）（2022•青山区模拟）某校对全校900名学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°；
（3）若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育．请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为多少人？

20．（8分）（2022•江汉区模拟）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A，C，且与CD相切，直径CF交AB于点E．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DCCF=34，求AECE的值．

21．（8分）（2022•江夏区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．
（1）求证：CI是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求sin∠ABI值．

22．（10分）（2022•湖北模拟）在“乡村振兴”行动中，某农庄发展旅游，专修一鱼塘供游客垂钓，所钓到的鱼游客可以选择性的购买，每斤20元．为了吸引游客，多买有优惠：凡是一次购买10斤以上的，每多买1斤，每斤就降低0.10元．例如，某人购买20斤鱼，于是每斤降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，20斤鱼全部按每斤19元的价格购买．农庄养鱼的各种成本折算每斤12元，规定最低价为每斤16元．
（1）求一次至少买多少斤，才能以最低价购买？
（2）写出农庄一次销售x（x＞10）斤时，所获利润y（元）与x（斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，大Q买了46斤，小Q买了50斤，农庄主却发现卖给大Q的利润反而比小Q多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种卖得多利润却少的情况，在其它优惠条件不变的情况下，农庄主应把最低价每斤16元至少提高到多少元？
23．（10分）（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　 　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝32，AD＝1时，请直接写出DC的长．

24．（12分）（2022•江汉区模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM=12CN，求m，n之间的数量关系．



2022年武汉中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•江夏区模拟）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．（3分）（2022•湖北模拟）小明掷一枚质地均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件是随机事件的是（　　）
A．两枚骰子向上的一面的点数之和大于0
B．两枚骰子向上的一面的点数之和等于2
C．两枚骰子向上的一面的点数之和等于1
D．两枚骰子向上的一面的点数之和大于12
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上的一面的点数之和大于0，是必然事件，故本选项不符合题意；
B、两枚骰子向上的一面的点数之和等于2，是随机事件，故本选项符合题意；
C、两枚骰子向上的一面的点数之和等于1，是不可能事件，故本选项不符合题意；
D、两枚骰子向上的一面的点数之和大于12，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2022•青山区模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）（2020•嘉峪关）下列各式中计算结果为x6的是（　　）
A．x2+x4 B．x8﹣x2 C．x2•x4 D．x12÷x2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
【解答】解：x2与x4不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
x2•x4＝x2+4＝x6，因此选项C符合题意；
x12÷x2＝x12﹣2＝x10，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
5．（3分）（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　）

A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】常规题型；图形的相似．
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得AOCO=ABCD，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则AOCO=ABCD，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴41=1.6CD，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
6．（3分）（2022•武昌区模拟）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．112
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是212=16．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685 D．x+12x+14x＝34685
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．（3分）（2022•江汉区模拟）为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（　　）

A．503 B．18 C．553 D．20
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲25秒跑完100米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑10秒钟跑的路程之和为100米，从而可以求得乙的速度，然后用100除以乙的速度，即可得到t的值．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为100÷25＝4（米/秒），
乙的速度为：100÷10﹣4＝10﹣4＝6（米/秒），
则t=1006=503，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
9．（3分）（2022•江夏区模拟）如图所示，PA为⊙O切线，D为圆上一点，延长DB交AP线段于点C，连接AD交线段OP于点M，若DC⊥AP，且PA＝3、PB＝1，则CD的长为（　　）

A．95 B．365 C．6 D．245
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】连接OA，过点O作OE⊥CD于点E，利用垂径定理可得BD＝2BE；利用切线的性质定理可得PA⊥OA，设圆的半径为r，利用勾股定理在Rt△OAP中列出方程可求半径；利用△PBC∽△POA列出比例式可得BC，再利用△PBC∽△OBE可求BE，进而得到BD，则CD＝BD＝BC．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥CD于点E，如图，

则BD＝2BE，
∵PA为⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴PA2+OA2＝OP2．
设OA＝OB＝r，则OP＝r+1，
∴32+r2＝（r+1）2．
解得：r＝4．
∴PO＝5．
∵OA⊥PA，DC⊥PA，
∴BC∥OA，
∴△PBC∽△POA．
∴PBPO=BCOA．
∴15=BC4．
∴BC=45．
∵∠PBC＝∠OBE，∠PCB＝∠OEB＝90°，
∴△PBC∽△OBE．
∴BCBE=PBOB．
∴45BE=14，
∴BE=165．
∴BD＝2BE=325．
∴CD＝BC+BD=45+325=365．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线也是解决本题的关键．
10．（3分）（2022•武昌区模拟）方程x2+3x＝1的根可视为函数y＝x+3的图象与函数y=1x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3+2x＝﹣1的实数根x所在的范围是（　　）
A．−1＜x＜−12 B．−12＜x＜−13 C．−13＜x＜−14 D．−14＜x＜0
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】函数的综合应用；模型思想．
【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根x0所在的范围．
【解答】解：方程x3+2x＝﹣1，
∴x2+2=−1x，
∴它的根可视为y＝x2+2和y=−1x的交点的横坐标，

当x＝﹣1时，前者为3，后者为1，在交点的左边，
当x=−12时，前者为94，后者为2，在交点的左边，
当x=−13时，前者为199，后者为3，此时在交点右边，
∴交点在−12＜x0＜−13，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象交点的问题，注意方程与函数的转化．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•青山区模拟）计算(−7)2的结果是　7　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质计算即可.a2=|a|．
【解答】解：(−7)2=|﹣7|＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的基本性质是解答本题的关键．
12．（3分）（2022•江汉区模拟）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级共售书50本，具体情况如下表：
售价
3元
4元
5元
6元
数目
14本
11本
10本
15本
则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是 　4.5元　．
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵共有50本图书，
∴从小到大排列第25本和第26本图书价格的平均值为中位数，
即中位数为：4+52=4.5（元）．
故答案为：4.5元．
【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　22km　．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】压轴题．
【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=12OA＝2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD＝2km，则AB=2AD＝22km．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，
∴AD=12OA＝2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，
∴BD＝AD＝2km，
∴AB=2AD＝22km．
即该船航行的距离（即AB的长）为22km．
故答案为22km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．（3分）（2022•武昌区模拟）如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是　48.9　米（3取1.732，2取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶C离地面的高度CE．
【解答】解：在直角△ABC中，∠CBA＝60°，设AB＝x，
∴AC=3AB=3x，
在直角△CDA中，∠CDA＝45°，则CA＝DA=3x，
∴BD＝AD﹣AB=3x﹣x＝20，
解得：x＝10（3+1），
∴AC=3x＝30+103，
则CE＝AC+1.6＝30+17.32+1.6＝48.92≈48.9（米）．
答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．
故答案为：48.9．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
15．（3分）（2022•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c为常数）过点（1，0）和点（0，2），且顶点在第二象限，下列结论：①a＜0；②A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞1时，y1＞y2；③若b＝2a，则ax2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜1；④设p＝a﹣b+c，则整数p的不同取值有3个．其中正确的结论有 　①③④　．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由抛物线经过点（1，0）和点（0，2），且顶点在第二象限，可得抛物线开口向下从而判断①，由抛物线开口方向和对称轴位置可判断②，由b与a的关系及抛物线的对称性可得抛物线与x轴的两个交点坐标，进而判断③，由抛物线经过点（1，0）和点（0，2）可得c的值及a与b的数量关系，根据a＜0，b＜0可判断p的取值范围，从而判断④．
【解答】解：∵抛物线过点（1，0）和点（0，2），且顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，①正确．
∵由题意得抛物线对称轴在y轴左侧，
∴x＞1时，y随x增大而减小，
∴当x1＞x2＞1时，y2＞y1，②错误．
若b＝2a，则抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣3，0），
∴ax2+bx+c＞0的解集为﹣3＜x＜1，③正确．
∵抛物线经过点（0，2），
∴c＝2，
将（1，0）代入y＝ax2+bx+2得0＝a+b+2，
∴b＝﹣a﹣2，
∵b＜0，a＜0，
∴﹣a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜0，
∴p＝a﹣b+c＝a﹣b+2＝2a+4，
∴0＜p＜4，
∴p可能为1，2，3，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．（3分）（2022•江汉区模拟）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，O为边BC上一点，若⊙O分别与AC，AB相切于D，E，则⊙O的半径为 　12023　．

【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】过点B作BF⊥AC于点F，连接OA，根据等腰三角形的性质得到AF＝5，根据勾股定理得到BF＝12，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，连接OA，

∵AB＝BC＝13，AC＝10，BF⊥AC，
∴AF＝5，
∴BF=AB2−AF2=132−52=12，
∴S△ABC=12AC•BF=12×10×12＝60，
∵⊙O分别与AC，AB相切于D，E，
∴OD⊥AC，OE⊥AB，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC
=12AB•OE+12AC•OD
=12×13•OE+12×10•OE
=132OE+5OE
=232OE，
∴232OE＝60，
∴OE=12023，
故答案为：12023．
【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，熟记切线的性质定理、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．

【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】利用相似三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
18．（8分）（2022•武昌区模拟）如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D，求证：∠E＝∠DFE．

【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据∠B+∠BCD＝180°得出AB∥CD，故∠B＝∠DCE．再由∠B＝∠D可知∠DCE＝∠D，故AD∥BE，据此可得出结论．
【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
又∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE，
∴∠E＝∠DEF．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质．熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
19．（8分）（2022•青山区模拟）某校对全校900名学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　90　°；
（3）若没有达到“了解”或“基本了解”的同学必须重新接受安全教育．请根据上述调查结果估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】常规题型；统计的应用．
【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，总人数减去其它了解程度的人数求得“了解”的人数可补全条形图；
（2）用360°乘“基本了解”人数所占比例可得；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60人，
则“了解”的人数为60﹣（15+30+10）＝5人，
补全图形如下：

故答案为：60；

（2）扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×1560=90°，
故答案为：90；

（3）900×30+1060=600（人），
答：估计我校学生中必须重新接受安全教育的总人数大约为600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）（2022•江汉区模拟）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A，C，且与CD相切，直径CF交AB于点E．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DCCF=34，求AECE的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）连接OA，OD，根据⊙O与CD相切，OC为半径，得出∠DCO＝90°，通过“SSS”证明△OAD≌△OCD（SSS），得出∠OAD＝∠OCD＝90°，即可证明AD与⊙O相切；
（2）连接OA，OD，AC，由CO=12CF，DCCF=34，得出DCCO=32，进而得出tan∠CDO=COCD=23，由DC＝DA，OA＝OC，得出OD垂直平分AC，得出∠CDO+∠ACE＝90°，由∠OCD＝90°，得出∠DCA+∠ACE＝90°，得出∠CDO＝∠ACE，进而得出tan∠CDO＝tan∠ACE=23，即可得出AECE=23．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OD，

∵⊙O与CD相切，OC为半径，
∴∠DCO＝90°，
∵⊙O经过菱形ABCD的顶点A，C，
∴OA＝OC，AD＝CD，
∵OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD＝90°，
∵OA为半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OA，OD，AC，

∵CO=12CF，DCCF=34，
∴DCCO=32，
∴tan∠CDO=COCD=23，
∵DC＝DA，OA＝OC，
∴OD垂直平分AC，
∴∠CDO+∠ACE＝90°，
∵∠OCD＝90°，
∴∠DCA+∠ACE＝90°，
∴∠CDO＝∠ACE，
∴tan∠CDO＝tan∠ACE=23，
在Rt△CAE中，tan∠ACE=AECE=23．
【点评】本题考查了菱形的性质，切线的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，切线的判定与性质，正切的定义是解决问题的关键．
21．（8分）（2022•江夏区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，点I是△ABC的内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经过点I，连接CI，BI．
（1）求证：CI是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求sin∠ABI值．

【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）设∠ICB＝x，∠IBC＝y，得：2x+2y+2y＝180°，则x+2y＝90°，再证明∠IOC+∠ICO＝2y+x＝90°，可得∠OIC＝90°，则CI是⊙O的切线；
（2）延长CI交AB于D，先计算∠CDA＝90°，得CD＝4，证明△OIC∽△BDC，列比例式OIBD=OCCB，设⊙O的半径为r，得r的值，由DIDC=OBBC，计算DI的值，根据勾股定理可得BI，再利用锐角三角函数可以解决问题．
【解答】（1）证明：连接OI，
∵点I是△ABC的内心，
∴BI、CI分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
设∠ICB＝x，∠IBC＝y，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A＝2y，∠ACB＝2x，
∴2x+2y+2y＝180°，
∴x+2y＝90°，
∵OB＝OI，
∴∠OIB＝∠OBI，
∴∠ABI＝∠OIB，
∴OI∥AB，
∴∠IOC＝∠ABC＝2y，
∴∠IOC+∠ICO＝2y+x＝90°，
∴∠OIC＝90°，
∴CI是⊙O的切线；

（2）解：延长CI交AB于D，
∵∠ACD+∠A＝x+2y＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC＝5，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴CD＝4，
∵OI∥AB，
∴△OIC∽△BDC，
∴OIBD=OCCB，
设⊙O的半径为r，
∴r3=5−r5，
∴r=158，
∵OI∥BD，
∴DIDC=OBBC，
∴DI4=1585，
∴DI=32，
由勾股定理得：BI=BD2+DI2=32+(32)2=352，
∴sin∠ABI=DIBI=32×235=55．
【点评】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角形内心的性质等知识，解答的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）（2022•湖北模拟）在“乡村振兴”行动中，某农庄发展旅游，专修一鱼塘供游客垂钓，所钓到的鱼游客可以选择性的购买，每斤20元．为了吸引游客，多买有优惠：凡是一次购买10斤以上的，每多买1斤，每斤就降低0.10元．例如，某人购买20斤鱼，于是每斤降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，20斤鱼全部按每斤19元的价格购买．农庄养鱼的各种成本折算每斤12元，规定最低价为每斤16元．
（1）求一次至少买多少斤，才能以最低价购买？
（2）写出农庄一次销售x（x＞10）斤时，所获利润y（元）与x（斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）一天，大Q买了46斤，小Q买了50斤，农庄主却发现卖给大Q的利润反而比小Q多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种卖得多利润却少的情况，在其它优惠条件不变的情况下，农庄主应把最低价每斤16元至少提高到多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设一次至少买x斤，才能以最低价购买，可得：20﹣0.10×（x﹣10）＝16，即可解得答案；
（2）分两种情况：①当10＜x≤50时，y＝﹣0.1x2+9x，②当x＞50时，y＝（16﹣12）x＝4x；
（3）由y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，可知在对称轴直线x＝45右侧，y随x增大而减小，故x＝46的函数值大于x＝50的函数值，即卖给大Q46斤的利润反而比卖给小Q50斤多，每斤最低价应为：20﹣0.10×（45﹣10）＝16.5（元）．
【解答】解：（1）设一次至少买x斤，才能以最低价购买，
根据题意得：20﹣0.10×（x﹣10）＝16，
解得：x＝50，
答：一次至少买50斤，才能以最低价购买；
（2）根据题意得：
①当10＜x≤50时，y＝x[20﹣0.10×（x﹣10）﹣12]＝﹣0.1x2+9x，
②当x＞50时，y＝（16﹣12）x＝4x，
∴所获利润y（元）与x（斤）之间的函数关系式为：y=−0.1x2+9x(10＜x≤50)4x(x＞50)；
（3）∵y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，
又∵﹣0.1＜0，10＜x≤50，
∴在对称轴直线x＝45右侧，y随x增大而减小，
∴x＝46的函数值大于x＝50的函数值，即卖给大Q46斤的利润反而比卖给小Q50斤多，
为了不出现这样现象，函数y的取值一直随x的增大而增大，需最低价格在x＝45时取得，
∴每斤最低价应为：20﹣0.10×（45﹣10）＝16.5（元），
答：农庄主应把最低价每斤16元至少提高到16.5元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．（10分）（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　BE＝AD　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝32，AD＝1时，请直接写出DC的长．

【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）①根据题意当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE＝AD；
②通过SAS求证△ACD≌△BCE，即可找到线段BE与AD的数量关系；
（2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△DCA∽△ECB即可找到线段BE与AD的数量关系；
②分两种情形：当点D在△ABC外部，根据已知条件，利用两角对应相等求证△EFB∽△CFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC的长即可求出DC的长．当点D在△ABC内部时，当点D在△ABC内部时，过点DH⊥AC于点H，根据已知条件得出DH和CH，在△CDH中，根据勾股定理求出CD的值，综上可得结论．
【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，
又∵BE＝BC﹣EC，
AD＝AC﹣DC，
∴BE＝AD，
故答案为：BE＝AD；
②BE＝AD，理由如下：
当点D不在AC上时，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）①BE=2AD，理由如下：
当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：DCEC=sin45°=22，
在等腰直角三角形ABC中：ACBC=sin45°=22，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA
在△DCA和△ECB中，
DCEC=ACBC=22∠DCA=∠ECB，
∴△DCA∽△ECB，
∴ADBE=22，
∴BE=2AD，
②DC＝5或13，理由如下：
当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：

∵AB＝32，AD＝1
由上可知：AC＝AB＝32，BE=2AD=2，
又∵BE∥AC，
∴∠EBF＝∠CAF＝90°，
而∠EFB＝∠CFA，
∴△EFB∽△CFA，
∴EFCF=BFAF=BEAC=232=13，
∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝32，
∴BF=14×32=324，
在Rt△EBF中：EF=BE2+BF2=(2)2+(324)2=524，
又∵CF＝3EF＝3×524=1524，
∴EC＝EF+CF=524+1524=52（或EC＝4EF＝52），
在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝52×22=5．
当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H

∵AC＝32，AD＝1，∠DAC＝45°
∴AH＝DH=22，CH＝AC﹣AH=522，
∴CD=DH2+CH2=(22)2+(522)2=13，
综上所述，满足条件的CD的值为5或13．
【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键．
24．（12分）（2022•江汉区模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝4，求点A，B，C的坐标；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移n个单位长度（n＞0）与直线AC交于M，N（点M在点N右边），若AM=12CN，求m，n之间的数量关系．


【考点】二次函数综合题．
【专题】方程思想；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【分析】（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，即可解得A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，由A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），可得∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝42，即得AE＝BE=22AB=322，CE＝BC﹣BE=522，从而tan∠ACB=AECE=35=tan∠BDF=35，设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，可得4−t−t2+5t−4=35，即可解得D（83，209）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，由抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），知将其向左平移n个单位的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），分两种情况：①当m＞1，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m）时，用待定系数法可求得直线AC的解析式为y＝mx﹣m，根据x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，设点M、N的横坐标分别为x1、x2，有x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，而CNAM=NGMH=2，可得NG＝2MH，即﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2，故x1＝2n+1，x2＝﹣2x1+2＝﹣4n，代入x1•x2＝n2﹣mn﹣n可得m＝9n+3，②当m＜1，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）时，同理可得①可得9m+3n＝1．
【解答】解：（1）当m＝4时，抛物线C1为y＝﹣x2+5x﹣4，
令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
令y＝0得﹣x2+5x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0）；
答：A的坐标为（1，0），B的坐标为（4，0），C的坐标为（0，﹣4）；
（2）过D作DF⊥x轴于F，过A作AE⊥BC于E，如图：

由（1）知A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝42，
在Rt△ABE中，AE＝BE=22AB=322，
∴CE＝BC﹣BE=522，
∴tan∠ACB=AECE=322522=35，
∵∠DBA+∠ACB＝90°，
又∠DBA+∠BDF＝90°，
∴∠ACB＝∠BDF，
∴tan∠BDF=35，
∴BFDF=35，
设D（t，﹣t2+5t﹣4），则BF＝4﹣t，DF＝﹣t2+5t﹣4，
∴4−t−t2+5t−4=35，
解得t=83或t＝4（舍去），
∴D（83，209）；
（3）过N作NG∥x轴交y轴于点G，过M作HM∥x轴，过A作AH∥y轴交HM于点H，如图：

∵抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x﹣m）（x﹣1），
∴将其向左平移n个单位，得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m+n）（x﹣1+n），
当m＞1时，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m），当m＜1时，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m），
①当m＞1，A（1，0），B（m，0），C（0，﹣m）时，
由C（0，﹣m）设直线AC的解析式为y＝px﹣m，将A（1，0）代入得p﹣m＝0，
解得p＝m，
∴直线AC的解析式为y＝mx﹣m，
由y=mx−my=−(x−m+n)(x−1+n)，得x2+（2n﹣1）x+n2﹣mn﹣n＝0，
设点M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2n+1，x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∵∠CNG＝∠HMA，∠H＝∠CGN＝90°，
∴△CNG∽△AMH，
∵AM=12CN，
∴CNAM=NGMH=2，
∴NG＝2MH，
∴﹣x2＝2（x1﹣1），即x2＝﹣2x1+2，
∴x1+x2＝2﹣x1，
∴﹣2n+1＝2﹣x1，
∴x1＝2n+1，
∴x2＝﹣2x1+2＝﹣4n，
∵x1•x2＝n2﹣mn﹣n，
∴（2n+1）•（﹣4n）＝n2﹣mn﹣n，
∵n＞0，
∴整理得m＝9n+3．
②当m＜1，A（m，0），B（1，0），C（0，﹣m）时，直线AC的解析式为y＝x﹣m，
由y=x−my=−(x−m+n)(x−1+n)得x2﹣（m﹣2n）x+n2﹣mn﹣n＝0，
同①可得9m+3n＝1，
综上所述，m，n之间的数量关系为m＝9n+3（m＞1）或9m+3n＝1（m＜1）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及锐角三角函数、三角形相似的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是通过正确地作出辅助线，构造所需要的图形，从而列出方程，求得结果，此题综合性强，计算繁琐，属于考试压轴题