【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题07 三角恒等变换（专题过关）

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专题07   三角恒等变换（专题过关）考试时间：120分钟   满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·全国·高二课时练习）（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由余弦的差角公式，运算即可得解.【详解】.故选：C.2．（2021·全国·高一课时练习）下列等式中恒成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据两角和与差的正、余弦公式即可得答案.【详解】解：根据两角和与差的正、余弦公式有：；；；；故选：D.3．（2021·全国·高二课时练习）已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再由两角差的余弦公式代入求值.【详解】，，故选：B.4．（2021·全国·高一单元测试）已知，，，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，结合同角平方关系可求cos()、sin()，然后根据，由两角差的余弦展开可求值．【详解】∵，∴，．∵，∴，则cos()＝，∵，∴sin()＝．＝cos()cos()+sin()sin()＝．故选：C．5．（2021·全国·高一课时练习）已知，则的值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用辅助角公式求得正确答案.【详解】.故选：B6．（2021·云南师大附中高三月考（文））设函数，则下列结论错误的是（    ）A．的最大值为B．的一个零点为C．的最小正周期为D．的图象关于直线对称【答案】B【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.【详解】，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，故选：B.7．（2022·全国·高三专题练习（理））已，且则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】平方求出，进而求出，将所求的式子分子用二倍角公式化简，分母用两角和余弦公式展开，即可求解.【详解】平方得，，.故选:D.【点睛】本题考查三角函数求值问题，涉及到同角间的三角函数关系、三角恒等变换的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.8．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高二期末（文））已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于对称【答案】C【分析】利用二倍角公式化简，结合余弦函数的性质逐一检验排除选项可得答案．【详解】的最小正周期为，A错误；是偶函数，B错误；的图象关于对称，C正确；的图象关于对称，D错误；故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.9．（2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考）下列各式中值为的是（    ）．A． B．C． D．【答案】AC【分析】选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.【详解】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，，故选项D错误；故选：AC.10．（2021·全国·高一单元测试）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期是 B．的最小值是C．直线是图象的一条对称轴 D．直线是图象的一条对称轴【答案】ABD【分析】根据降幂公式、二倍角公式、辅助角公式，化简可得的解析式，根据正弦型三角函数的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得，对于A：，所以的最小正周期是，故A正确；对于B：当时，的最小值为，故B正确；对于C、D：令，解得当时，可得一条对称轴为，故D正确，无论k取任何整数，，故C错误，故选：ABD11．（2021·全国·高三专题练习（文））将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.【详解】由题意，得：，图象向左平移个单位，∴关于轴对称，∴，即，故当时，；当时，；故选：BD12．（2021·湖北·钟祥市实验中学高一期中）已知函数，，则（    ）A．B．在区间上只有1个零点C．的最小正周期为D．为图象的一条对称轴【答案】AC【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可.【详解】所以，故A正确令可得，满足的有，故B错误的最小正周期为，故C正确当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2021·全国·高一课时练习）计算：___________.【答案】【分析】根据题意，结合正切的两角差公式，即可求解.【详解】由题意得.故答案为：.14．（2022·全国·高三专题练习）若，，则___________.【答案】【分析】由余弦的和差角公式得，，进而得【详解】解：因为，所以.因为，所以，所以，，所以.故答案为：15．（2021·全国·高二课时练习）已知，则______.【答案】【分析】根据已知求出的范围，再利用二倍角公式化简原式可求解.【详解】，，则，.故答案为：.16．（2019·贵州·凯里一中高一期末）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一数值也可以近似地用表示，则_____.【答案】【分析】代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可.【详解】.故答案为：2【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题. 
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·安徽阜阳·高一期末）已知函数(，，)的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）设函数，若在内存在唯一的，使得对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据函数图象，结合最小正周期公式、特殊角的三角函数值进行求解即可；（2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的最值进行求解即可.【详解】解：（1）根据图象可得，所以.因为，，所以.又因为图象过点，所以.因为，所以，，即，，又因为，所以.故.（2）因为，所以.依题意可得，又，所以，解得.【点睛】关键点睛：正确理解最小值的定义，结合题意得到不等式是解题的关键.18．（2021·全国·高三专题练习（文））已知．（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（）；（2）．【分析】（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令，即可求得的单调递增区间.（2）根据（1）化简可得，则原题等价于，即可，利用二倍角公式，对化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）化简得==，令，解得所以单调递增区间为，.（2）由（1）可得，即，对任意的恒成立，只需要即可，，令，因为，则，所以，所以，由对勾函数性质可得，当时，为减函数，所以当时，，所以．【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除，得到关于的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.19．（2021·上海·高一期中）已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由两角和的公式展开后解方程得；（2）用诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系化简变形为关于的式子，代入（1）的结论可得．【详解】解：（1），解得；（2）．【点睛】本题考查三角函数的求值，求值时一般先化简再求值，三角函数式的化简要遵循“三看”原：(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．20．（2021·全国·高一课时练习）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．【答案】（1），（2），时【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．【详解】解：（1），，，，故的最小正周期；（2）由可得，，当得即时，函数取得最小值．所以，时21．（2020·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一期中（文））已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性.【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.【详解】（1），则的最小正周期为，当，即时，取得最大值为；（2）当时，，则当，即时，为增函数；当时，即时，为减函数，在单调递增，在单调递减.【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.22．（2021·云南省下关第一中学高一月考）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.【详解】（Ⅰ）解：因为 ．所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，，所以，，解得，，所以函数的单调增区间为，；（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即；因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以；若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.