【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末：专题06 三角函数的图像与性质（专题过关）

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专题06   三角函数的图像与性质（专题过关）考试时间：120分钟   满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·全国·高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知平移后的解析式为，而，由于两函数图像重合，所以，从而可求出的值【详解】解析：由题可知，，而，所以，从而，取，知，故选：.2．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】设扇形的圆心角为，则，即，解得.故选：C.3．（2021·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（    ）A．函数为奇函数B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为【答案】D【分析】根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.【详解】由图象可知，，∴，则.将点的坐标代入中，整理得，∴，即；，∴，∴.∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，∴.，∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；∴的最小正周期，故B不正确.令，解得，则函数图像的对称轴为直线.故C错误；由，可得，∴函数的单调递增区间为.故D正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.4．（2021·全国·高一单元测试）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.【详解】因为，故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题5．（2020·全国·高一单元测试）sin 600°＋tan 240°的值等于（    ）A．－ B．C．－＋ D．＋【答案】B【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果.【详解】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，则 sin 600°＋tan 240°＝.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.6．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过函数的图象可得到：A=3，，，则，然后再利用点在图象上求解.，【详解】由函数的图象可知：A=3，，，所以，又点在图象上，所以，即，所以，即，因为，所以所以故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．（2021·福建·福州四中高一期末）已知函数f(x)=sinx，，将 f(x)的图象经过下列哪种变换可以与g(x)的图象重合A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍【答案】A【分析】根据正弦型函数的图像变换可以直接得到答案.【详解】先将的图像先向左平移个单位得到的图像，再沿轴将横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）得到的图像.故选：A．【点睛】本题考查正弦型函数的图像变换，属于基础题型.8．（2020·全国·高一课时练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴【答案】C【分析】根据图像，可得，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.【详解】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确；所以，则.因为，所以该函数的一条对称轴为，将代入，则，解得，故.令，得，令，则故函数在上单调递增.故B项正确；令，得，令，故函数在上单调递减.故C项错误；令，得，令，故直线是的一条对称轴.故D项正确.故选C.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题. 
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.9．（2021·重庆·西南大学附中高一月考）要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（    ）A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度【答案】AD【分析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．故选：AD．10．（2021·全国·高三专题练习）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ）．A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC【分析】先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求，再借助图象变换规则即可得出结果.【详解】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．故选：AC【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的解析式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的解析式为，属于中档题.11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.12．（2021·江苏·海安高级中学高二期末）关于函数，如下结论中正确的是（    ）．A．函数的周期是B．函数的值域是C．函数的图象关于直线对称D．函数在上递增【答案】ACD【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D．【详解】A．∵，∴，∴是周期为的周期函数，A正确，B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；C．∵，∴函数的图象关于直线对称，C正确；D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知扇形弧长为cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.【答案】【分析】先将化为弧度数为，再根据弧长公式求得半径，最后用扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：将化为弧度数为，由弧长公式，得，∴ .故答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积计算，角度与弧度的互化，是基础题.14．（2020·全国·高一单元测试）函数y＝ 的定义域为________．【答案】 (k∈Z)【分析】由根式知2cos－1 ≥ 0，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可【详解】由2cos－1≥0，得cos≥而－＋2kπ ≤ πx－ ≤ ＋2kπ (k∈Z)解得2k ≤ x ≤ ＋2k (k∈Z)故答案为： (k∈Z)【点睛】本题考查了余弦函数性质求定义域，先由根式性质列不等式，解三角函数不等式求定义域范围15．（2021·云南·昆明八中高一开学考试）函数的单调减区间为__________．【答案】【分析】根据余弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由，得，，即函数的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求余弦型函数的单调区间，属于基础题型.16．（2020·四川·威远中学校高三月考（文））已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故答案为：①③.【点睛】该题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，属于基础题目. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2020·全国·高一课时练习）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式,所以;(2)由诱导公式可知,即,又是第三象限角,所以,所以.【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.18．（2021·甘肃·兰州市第二十七中学高一月考）如图，函数，其中的图象与y轴交于点．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的x的集合．【答案】（1）,（2），,（3）【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点，所以，即．因为，所以．（2）由（1）得，所以当，，即，时，是增函数，故的单调递增区间为，．（3）由，得，所以，，即，，所以时，x的集合为．【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.19．（2019·全国·高一课时练习）已知（为常数且）在上的最大值为2.（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移单位长度，可得函数的图象，若在上单调递增，求的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）的最大值为,故.（2）把函数的图象向右平移个单位长度,可得函数,求得的单调递增区间为,即是它的一个子集,所以,求得的最大值为2.【详解】（1）的最大值为.因为函数在上的最大值为2,所以,故.（2）由（1）,知,把函数的图象向右平移个单位长度,可得函数,又的单调递增区间为,又在上单调递增,所以当时,解得,所以的最大值为2.【点睛】本题考查了三角函数复合函数的最值、图像的平移和单调区间,若三角函数的性质不熟,亦可借助图像来理解.本题属于基础题.20．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）最小正周期为，单调减区间是，；（2），此时，，此时.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）的最小正周期.令，解得，，此时时，单调递减，的单调递减区间是，；（2），则，故，，，此时，即，即；，此时，即，即.【点睛】方法点睛：解决三角函数的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．（2020·全国·高一单元测试）已知函数f(x)＝Asin，f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．（1）求f(x)的最小正周期及φ的值；（2）若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝，求A的值．【答案】（1）6；φ＝；（2）.【分析】（1）利用最小正周期的计算公式即可求得结果；利用点的坐标，即可的范围；（2）作出辅助线，根据几何关系，结合已知条件，即可求得.【详解】（1）f(x)的最小正周期T＝＝6.因为P(1，A)为函数图象的最高点，所以×1＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝.（2）因为Q为函数图象的最低点，P(1，A)，＝3，所以点Q的坐标为(4，－A)．因为R(1，0)，所以PR⊥OR，过点Q作QS⊥OR，交x轴于点S，则∠QRS＝－＝.因为QS＝A，RS＝3，所以tan∠QRS＝＝，即tan＝，所以A＝.【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解析式中的参数值，属中档题.22．（2021·全国·高一课时练习）某地一天用电量y(单位：万度)随时间（单位：时）的变化曲线近似满足函数（），其部分图象如图所示．（1）写出这段曲线的函数解析式；（2）请问在该天的哪段时间该地用电量不超过35万度？【答案】（1）；（2）该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度．【分析】（1）利用函数的图象，求解，，，，推出函数的解析式即可．（2）利用函数的解析式，列出不等式转化求解即可．【详解】解（1）由图知，所以，又由图象可得半周期为6，，故，又当时，，，．又故．（2）由，得所以，，或或因此，该天的6~10时和18~22时该地用电量不超过35万度