【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第一册——专题04 圆锥曲线的综合应用（知识梳理）

专题04   圆锥曲线的综合应用（知识梳理）

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重难点突破

知识点一 定点问题

例1、（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；

（3）过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】

（1）

（2）

（3）证明见解析，点

【分析】

（1）根据双曲线定义可得轨迹方程；

（2）分情况讨论直线斜率是否存在，联立直线与曲线方程，由根与系数关系计算；

（3）分情况讨论直线斜率是否存在，联立方程，由根与系数关系，证明关系式，可得直线过定点.

（1）

解：设动圆的圆心，半径为，则由题意可得，即

因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，

所以曲线的方程为．

（2）

解：当直线的斜率不存在时，，此时；

直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立得，

，

．

因为为的中点，所以，代入曲线方程得；

整理可得；

，

因为恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线的倾斜角为，

所以，所以．

综上可得．

（3）

证明：当直线的斜率不存在时，，直线

当直线的斜率存在时，设直线，，

直线，当时，，

，联立得，

，

下面证明直线经过点，即证，

把代入整理得，

即，

所以直线经过点．

【变式训练1-1】、（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟）已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离与到的距离相等，故点的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，，则、

设直线：（）代入中得

，

∵、

∴

又

∴

∴直线恒过。

知识点二 定值问题

例2．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）点T在直线x=4上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求证：为定值.

【答案】

（1）

（2）证明见解析

【分析】

（1）由椭圆的定义即可得到答案；

（2）设直线AB的方程为，A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据同向，得到，进而将直线方程代入椭圆方程并化简为：，然后通过根与系数的关系求出，随后得到，同理得到，最后根据题意求得答案.

（1）

因为，由椭圆的定义可知，M的轨迹C是以为焦点、长轴长为4的椭圆，

设C的方程为(a>0，b>0)，焦距为2c，

根据题意，解得，

所以C的方程为.

（2）

设T(4，t)，直线AB的方程为，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

易知，同向，则，

，

将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，

，，

由根与系数的关系有，，

∴，

同理可得，

又，则，化简可得，

又，则，即，

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为定值0.

【点睛】

本题的处理技巧在于，方程化简为，和常规的处理方法不太一样，这种处理方式一般在处理直线斜率的问题时用到，注意归纳总结.

【变式训练2-1】、设椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是，6.

【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c，

椭圆C的离心率为，

.①

又椭圆C经过点，

.②

结合，③

由①②③，解得.

故椭圆C的标准方程是.

（2）

.

①当直线的斜率不存在时，不妨设，，

根据对称性知两平行线的交点在x轴上，

又交点刚好在椭圆C上，

交点为长轴端点，则满足条件的直线的方程是.

此时点，或，，

，

故；

②当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，.

联立方程，

消去得，

则，，，

，

不妨设两平行线的交点为点D，则，

故点D的坐标为，

点D刚好在椭圆C上，

，

即

此时，

则

，

设点O到直线的距离为，则.

.

故.

综上，为定值6.

知识点三 最值问题

例3．已知椭圆过点，

（1）求C的方程；

（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.

【解析】．(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.

当y=0时，解得，所以a=4，

椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.

所以C的方程：.

(2)设与直线AM平行的直线方程为：，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，

此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，

可得：，

化简可得：，

所以，即m2=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程：，

直线AM方程为：，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得：，

由两点之间距离公式可得.

所以△AMN的面积的最大值：.

方法二：利用三角换元法，求出N到AM距离的最大值，继而得出面积最大值18.

【变式训练3-1】、（2021·山东滕州·高二期中）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）设、是圆的两条切线，其中，为切点．若点在曲线（其中）上运动，记直线，与轴的交点分别为，，求面积的最小值．

【答案】

（1）

（2）32

【分析】

（1）设圆心坐标为．由得，解方程求出，进而求得半径即可求出结果；

（2）设点，则切线方程为：，由直线与圆相切的条件以及点到直线的距离公式得到关于的一元二次方程，结合韦达定理得到，然后表示出三角形的面积，运用换元法计算即可求出结果.

（1）

因为圆心在直线上，

设圆心坐标为．

又因为圆经过坐标原点和点，

所以，即，解得：．

所以圆心为．半径为．

所以圆的方程为：．

（2）

设点，其中，故过与圆相切的直线斜率一定存在且不为．

设过的与圆相切的直线斜率为，则切线方程为：．

故圆心到切线的距离．

整理得：．故：，．

不妨记直线的斜率为，直线的斜率为．

所以有：，：，

令得，．

所以：．

．

令，则．

．

所以．．

【点睛】

求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

知识点四 范围问题

例4、（2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知是抛物线的焦点，点是抛物线上横坐标为2的点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线交抛物线于两点，若，且弦的中点在圆上，求实数的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）根据抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为到准线的距离，进而求得答案；

（2）设出直线l，并代入抛物线方程化简，通过根与系数的关系得到和线段的中点公式，进而将中点坐标代入圆的方程，然后将所得式子化简，最后通过函数求值域的方法求得答案.

（1）

抛物线的渐近线为，由抛物线的定义可知，，则抛物线的方程为：．

（2）

设直线的方程为，，．将直线的方程与抛物线的方程联立，得，于是，，，

且，化简得①．

设弦的中点为，则，将点的坐标代入圆的方程，得，且，

由①代入消元，消去，得．

令，则，于是，解得或．

若当时，由对勾函数性质可知，函数在上单调递增，所以随单调递增（增+增），故．

若当时，令，

则．

因为，所以，即单调递减，故.

综上所述，实数的取值范围为．

【点睛】

的下一步进行换元，可以简化式子，这一步的处理非常重要；然后解得或之后的处理一定要注意，如果通过不等式不好处理，那么一定要从函数的角度来处理范围问题．

【变式训练4-1】、如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）设，其中，

由得

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故

因此，所求椭圆的标准方程为：

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，

由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设

由得而故

圆的半径

综上，存在满足条件的圆，其方程为：