【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题1.03：一元一次方程章节 必练考点

专题1.03  一元一次方程章节必过考点（解析版）

学习目标                                                                       

清楚章节所含基础知识点，并且有自己的理解，能够了然于心！

考点整合                                                                        

【考点1】 一元一次方程的定义                    【考点 6】 一元一次方程的应用（工程问题）

【考点2】  等式性质的应用                       【考点 7】 一元一次方程的应用（利润问题）

【考点3】  一元一次方程的解                     【考点 8】 一元一次方程的应用（行程问题）

【考点4】  解一元一次方程                       【考点 9】 一元一次方程的应用（方案、分段问题）

【考点5】  一元一次方程的应用（配套问题）        【考点 10】 一元一次方程的应用（古代数学问题）

触类旁通                                                                         

【考点1】 一元一次方程的定义

概念：①一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．

自我解读：①总共俩个知识点可以列式。最高次数为1和系数不为0。（切勿忘记无为0可以列不等式）

②未知数在分母的不为一元一次方程。

【例1】（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级阶段练习）下列各式中，是一元一次方程的是（    ）．

A． B． C． D．

【变式1-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知是一元一次方程，则a的值为（    ）

A．1 B．0 C．﹣1 D．±1

【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一元一次方程有（    ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【变式1-3】（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期中）已知是关于x的一元一次方程，则___________．

【考点2 】 等式性质的应用

概念：①在等式两边同时加上或减去同一个值，等式依然成立。如果a=b，则a±c=b±c（c为任意实数）。反之也成立，即：如果a±c=b±c（c为任意实数），则a=b。

②在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个值等式仍然成立。

如果a=b，则a×c=b×c，a÷d=b÷d（d≠0）。反之，若a×c=b×c（c≠0），则a=b；若a÷d=b÷d（d≠0），则a=b。

自我解读：①在等式两边同时加上或减去同一个代数式，等式也成立。

②在等式两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个代数式，等式也成立。

③在等式有意义的前提下，在等式两边同时取任意次方，等式仍然成立。

【例2】（2022·北京·北师大实验中学七年级期中）下列变形中不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式2-1】（2022·广东·东莞市东华初级中学七年级期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

【变式2-2】（2022·河南·方城县广阳镇第一初级中学七年级期末）下面各式的变形正确（  ）

A．由，得

B．由，得

C．由，得

D．由，得

【变式2-3】（2022·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知x=3，y=5，则用含x的代数式表示y=______．

【考点3 】  一元一次方程的解 

概念：①一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

自我解读：①是方程的解就可以带入方程。    

【例3】（1）（2022·北京·北师大实验中学七年级期中）若是关于x的方程的解，则___________．

（2）（2022·全国·七年级课时练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____________．

【变式3-1】（2022·吉林·农安县第一中学七年级阶段练习）在中，如果y＝0，那么x =_____．

【变式3-2】（2022·福建·厦门外国语学校八年级阶段练习）已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，则a等于（    ）

A．2 B．2或5 C． D．-2

【变式3-3】（2022·宁夏·景博中学七年级期末）已知

(1)求A－2B．

(2)若是关于的方程的解，求m的值．

【考点 4】 解一元一次方程   

概念：①解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．

自我解读：①去分母时，分子是多项式的需要加括号，不漏乘

          ②移项时，方程中的项从一边到另外一边需要变号，把多项式移项时需要整体变号！     

【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级阶段练习）解下列方程；

(1)

(2)

【变式4-1】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程的解是，则关于未知数的方程的解是______．

【变式4-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程2a （x+5）＝3x+1无解，则a＝______．

【变式4-3】（2022·北京·北师大实验中学七年级期中）我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，解答下列各题：

(1)计算___________；

(2)若，求x的值；

(3)若与的值始终相等，求m，n的值．

【考点 5】 一元一次方程的应用（配套问题）

自我解读：①抓住配套关系，常用比例求解，如一个螺丝配2个螺母则，螺丝：螺母=1:2。

【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由个矩形面和个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：剪个侧面；方法：剪个侧面和个底面，现有张硬纸板，如何裁剪才能使裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做多少个盒子？

【变式5-1】（2022·全国·七年级专题练习）我市是蔬菜水果生产大县．去年秋季，我市某果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮，应该安排多少名工人包装苹果，多少名工人包装梨？

(1)若设安排名工人包装苹果，名工人包装梨，请求出，的值；

(2)若每个果篮可卖25元，每名工人每天工作8个小时，问该果树基地一天可以卖得多少钱？

【变式5-2】（2022·陕西汉中·七年级期末）某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均生产15张桌子或50张椅子，一张桌子要配两张椅子．已知车间每天安排x名工人生产桌子．

(1)求车间每天生产桌子和椅子各多少张？（用含x的式子表示）

(2)当每天安排多少名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？

【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．

(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？

(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果）

【考点 6】一元一次方程的应用（工程问题）

自我解读：①常用等量关系：效率×时间=工程量

②常把工作量看作“1”,用完成工作总量所需的时间的 倒数作为工作效率，然后利用等量关

系列出方程。

【例6】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列的方程是（　　）

A． B．

C． D．

【变式6-1】（2022·吉林·长春南湖实验中学七年级阶段练习）一项工程，甲单独做要18小时完成，乙单独做要12小时完成．若甲先做1小时，然后由乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作．问完成任务时，共用了多长时间？

【变式6-2】（2022·全国·七年级专题练习）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．

(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？

(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？

(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？

【变式6-3】（2022·上海·专题练习）姐、弟二人录入一批稿件，姐姐单独录入需要的时间是弟弟的，姐姐先录入了这批稿件的，接着由弟弟单独录入，共用24小时录入完．问：姐姐录入用了多少小时？

【考点 7】  一元一次方程的应用（利润问题）

自我解读：①利润常用等量关系：

（1）利润=单利润×数量

（2）利润=总售价-总成本

（3）利润率=利润÷成本

②挑选合适的等量关系，列出方程即可。

【例7】（2022·四川·西昌市川兴中学七年级阶段练习）某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，按定价的九折出售将赚20元．问这种商品的定价是（   ）

A．100 B．200 C．250 D．300

【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，他(   )

A．不赚不赔 B．赔了12元 C．赔了18元 D．赚了18元

【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（    ）

A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元

C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元

【变式7-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）某商店销售一种电器，先将成本价提高30%作为标价进行出售，结果每销售一件该电器可以获利60元利润．

(1)求这种电器的成本价为多少？

(2)因市场调整原因，商品需要下架，所以当这批电器销售出100台时，剩下的40台按照标价的五折进行销售，请问：商店是赚了还是亏了？赚了或亏了多少钱，为什么？

【考点 8】 一元一次方程的应用（行程问题）

自我解读：①行程常用等量关系：

（1）路程=速度×时间

（2）顺流速度=船速度+水速度

（3）逆流速度=船速度-水速度

②挑选合适的等量关系，列出方程即可。

【例8】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）一列匀速行驶的火车，从它进入一条320米长的隧道到完全通过隧道用18秒钟．隧道顶部一盏固定的灯光在火车照了10秒钟，求火车长度多少？设火车长x米，可列方程 _____．

【变式8-1】（2022·全国·七年级专题练习）甲乙两地相距2000米，小明从甲地出发，10分钟后到达乙地，休息4分钟后从乙地原路原速返回．在小明从甲地出发的同时，小红从乙地以的速度步行至甲地，到甲地停止，设小红步行的时间为x分钟．

(1)①时，小明距离甲地的路程为　  　米；小红距离甲地的路程为          米；

②时，小明距离甲地的路程为　    　米；（用含x的代数式表示）

(2)小红从乙地到甲地步行过程中，当x为何值，他们相距40米？

【变式8-2】（2022·全国·七年级期中）（拓展题）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点，，表示的数分别为，10，18，我们称，两点在折线数轴上的路程为28个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以1个单位长度秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点到达点时，点，均停止运动．设运动的时间为秒．

(1)当时，点和点在折线数轴上相距 　　个单位长度；当时，点和点在折线数轴上相距 　　个单位长度；当时，点和点在折线数轴上相距 　　个单位长度．

(2)当为多少时，两点相遇？相遇点所表示的数是多少？

(3)在动点改变速度前的某一时刻，，两点在数轴上的距离与，两点在数轴上的距离相等．求出此时的值．

【变式8-3】（2022·广东广州·七年级期末）如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．

(1)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．

(2)若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．

(3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．

【考点 9】一元一次方程的应用（方案、分段问题）

自我解读：①注意有俩种类型

（1）不足10吨时，0.5一吨；超过10吨时，0.8一吨。则50吨水的费用为50×0.8=40元。

（2）不足10顿，0.5一吨；超出10吨的0.8一吨。则50吨水的费用为10×0.5+40×0.8=37元。

【例9】（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示．

(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？

(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？

(3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？

【变式9-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按2.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米3.3元收费．

(1)若某户一月份用水量为11立方米，求该户一月份支付水费多少元？

(2)若某户二月份共支付水费58.5元，求该户二月份用水量．

【变式9-2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获得100元，如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获得1000元；如果进行精加工，每天加工0.5吨，每吨可获得5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了两种方案：

方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利          元

方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利          元

问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．

【变式9-3】（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：

例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．

寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．

（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）

(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？

(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；

(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？

【考点 10】 一元一次方程的应用（古代数学问题）

自我解读：①比较灵活，重心为找到等量关系。

【例10】（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？

【变式10-1】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？

【变式10-2】（2022·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．

【变式10-3】（2022·河北保定·七年级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，这个物品的价格是y元．有下列四个等式：①8x+3＝7x﹣4；②；③；④8x﹣3＝7x+4，其中正确的是（　　）

A．①② B．②④ C．②③ D．③④