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【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.03：整式 热点技巧
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这是一份【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.03：整式 热点技巧，文件包含专题203整式热点技巧提升解析版docx、专题203整式热点技巧提升原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
专题2.03 整式热点技巧提升（解析版）
学习目标
清楚整式中的中上等难度题型，并清楚其处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。
考点整合
【考点1】 无关问题 【考点 5】 图形类问题
【考点2】 错解问题 【考点6】 分段计费
【考点3】 绝对值化简 【考点7】 赋值法
【考点4】 整体思想
触类旁通
【考点1】 无关问题
自我解读：①与谁无关，那么谁的系数为0.
【例1】（2022·福建省永春第一中学七年级期中）若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为_______．
【自我解读】由结果与x的取值无关求出a与b的值，因此把所有含有X的项提出来得到其系数为0.
【解题过程】解：
=
=，
由结果与x无关，得到，，
解得：，，
则，
故答案为：．
【变式1-1】（2022·北京八中七年级期中）若关于，的多项式中不含项，则______．
【答案】6
【分析】先合并同类项，令的系数为零，列式计算即可．
【详解】因为
=
且多项式中不含项，
所以，
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了整式的加减中与字母无关问题，正确合并同类项，令无关字母的系数为零是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广西贵港·七年级期中）已知代数式；；
(1)求；
(2)当时，求的值；
(3)若的值与的x取值无关，求y的值，
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x，y的值代入得出答案；
（3）直接利用已知得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：当时，
原式
；
（3）解：∵的值与x的取值无关，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值，正确合并同类项是解题关键．
【变式1-3】（2022·江苏无锡·七年级期中）化简
(1)
(2)
(3)已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接合并同类项，即可求出答案；
（2）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；
（3）先把多项式进行整理，然后求出a、b的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵
；
∵该多项式的值与字母x的取值无关，
∴，，
∴，，
∴
；
【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
【考点2】 错解问题
自我解读：①看成什么就按什么来算，从而求出原式，在进行计算即可.
【例2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）某同学在计算时，错算成，从而算得结果是，请你帮助算出正确结果．
【自我解读】将错就错算出N的值，再代入原代数式进行计算即可．
【解题过程】
解：由题意得，
∴
∴=
答：正确结果为．
【变式2-1】（2022·全国·七年级期中）4x+8错写成4（x+8），结果比原来（ ）
A．多4 B．少4 C．多24 D．少24
【答案】C
【分析】用4（x＋8）−（4x＋8），先去括号，然后合并同类项求解．
【详解】解：4（x＋8）−（4x＋8）＝4x＋32−4x−8＝24，
即结果比原来多了24．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
【变式2-2】（2022·江苏·七年级）一个多项式减去多项式，马虎同学将减号抄成了加号，计算结果是，则多项式是__________．
【答案】
【分析】根据“其中一个加式＝和−另一个加式”列出式子，然后去括号，合并同类项进行化简．
【详解】解：∵A＋（）＝，
∴A＝（）−（）＝−3x2−2x−4−2x2−5x＋3＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是．
(1)求代数式；
(2)求的值；
(3)是最大的负整数，将代入第（2）问的结果并求值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）由去括号、合并同类项即可；
（2）由去括号、合并同类项即可；
（3）根据最大的负整数即-1得出x的值，再代入计算即可．
（1）
解：根据题意知
；
（2）
；
（3）
解：∵是最大的负整数，
∴，
则原式．
【点睛】本题考查了整式的加减，实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握运算步骤是解题的关键．
【考点3】 绝对值化简
【例3】（2022·广东·深圳市新华中学七年级期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“<、>、=”填空：_____0，_____0，_____0；
(2)化简：；
【自我解读】①抓住数轴上左边小右边大的原则进行去绝对值。
【解题过程】
（1）解：根据数轴可知，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）解：∵，
，，
∴
∴
．
【变式3-1】（2022·北京二中七年级期中）己知a，b在数轴上的位置如图所示：
(1)用“>”、“<”或“=”填空：，，；
(2)化简：；
(3)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是______；此时x的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
(3)3，
【分析】（1）由数轴可以确定a与b的大小关系及绝对值关系，则由加减法法则可确定，的符号；
（2）由（1）及绝对值的意义即可化简；
（3）分表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上及线段的两侧考虑，即可求解．
【详解】（1）解：由数轴知：，且，则由加法及减法法则知：，；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：①表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时（包括线段的两端），由此点到线段两端的距离之和为3，即，如图所示；
②表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段的两侧时，由此点到线段一端的距离必大于3，从而有，如下图左右两图所示；
综上，当表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时，的最小值是3，此时；
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，有理数的加减法则，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论．
【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知，数在数轴上的位置如图所示：
（1）化简：；
（2）若，化简：．
【答案】（1）-3；（2）
【分析】（1）先判断a、b、c的符号，进而判断相关积的符号，脱去绝对值计算即可；
（2）根据条件判断出每一个绝对值内的式子的符号，在根据绝对值的性质脱去绝对值计算即可求解．
【详解】解：由图中数轴可得，
原式；
又
原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减等知识，根据数轴提供的信息判断出绝对值内的符号是解题关键．
【变式3-3】（2022·广东·广州市第二中学七年级期中）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且．
(1)填空：___________；___________；___________
(2)化简：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴上点的位置判断，然后化简绝对值即可求解．
（2）根据数轴上点的位置判断的符号，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴上的点的位置可得，
，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵，，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，整式的加减，有理数的乘法，正确的化简绝对值是解题的关键．
【考点4】 整体思想
自我解读：①常把一部分整式看成一个东西来进行处理，从而便于我们理解问题，简化问题。
【例4】（2022·全国·七年级单元测试）用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数（整体）．试解答下面问题．
(1)已知，，求：当时，的值．
(2)若代数式的值为8，求代数式的值．
(3)已知，求代数式的值．
【自我解读】求B+C，可直接理解为(A+B)-(A-C).
【解题过程】
（1）
∵B+C=（A+B）-（A-C），
∴B+C=3x2-5x+1-（-2x+3x2-5）=-3x+6；
当x=2时，原式=-6+6=0；
（2）
∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，
已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1
∴原式=3×1+8=11；
（3）
原代数式=，
由已知得xy=2（x+y），
所以原式=．
【变式4-1】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成一个整体，合并______；
(2)已知，求的值；
(3)拓展探索：已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）利用整体法的思想进行求解即可得；
（2）利用整体法可得，代入即可求解；
（3）将原式整理成，代入式子的值即可求解．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
．
（3）
原式
．
【点睛】本题考查了代数式的求值，整式的加减运算，掌握整体思想是解题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·七年级课时练习）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
题目：已知，，求代数式的值．
小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响
小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便．
通过你的运算，代数式的值为___________．
【答案】
【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可．
【详解】∵，
∴，
∴
∴①
∵，
∴②
把②代入①得，
∴，
∴
∴
．
故答案是：-2．
【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键．
【变式4-3】（2022·广东·铁一中学七年级期中）（1）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：①把看成一个整体，合并的结果________．
②拓广探索：已知，求的值．
（2）某人用400元购买了8套电子产品，准备以一定价格出售，如果每套电子产品以56元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下（单位：元）：
．
当他卖完这8套电子产品后是盈利还是亏损？
【答案】（1）①－(a+b)2；②40；（2）盈利44元
【分析】（1）①将看成整体，代入即可计算；②根据已知求出a-c和2b-d的值，再将原式变形，之后整体代入即可；
（2）让所有的正负数相加，再加上预计销售的总价，减去总进价即可得到是盈利还是亏损．
【详解】（1）①原式=（-3-6+8）（a+b）2= -（a+b）2
②a-2b+（2b-c）=a-c=5-7=-2，2b-c+（c-d）=2b-d=-7+12=5，
原式=
（2）总售价为：56×8+（﹣3+7﹣8+9﹣2+0﹣1﹣6）=448﹣4=444（元），
444﹣400=44（元）．
答：盈利44元．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变），有理数的加减运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．
【考点 5】 图形类问题
自我解读：①常把长款设为X、Y，然后根据题意将所求问题用XY和题目给的条件表示出来即可。
【例5】（2022·福建省南安市侨光中学七年级期中）如图，三个形状、大小都相同的小长方形沿“横－竖－横”排列在一个大长方形中，若一个小长方形的周长为，则这个大长方形的周长为__________cm．
【自我解读】设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为．再根据长方形的周长公式即可得出，从而表示出大长方形的周长即可.
【解题过程】
设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为．
∵小长方形的周长为，
∴，即．
∴大长方形的周长为．
故答案为：2016．
【变式5-1】（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学七年级期中）如图长为，宽为的大长方形被分割为了小块，除阴影外，其余块是形状大小完全相同的小长方形，其中小长方形的较短一边长度为．
(1)从图可知每块小长方形的较长的一边长度是_________．代数式中，哪一个代数式的值为正数？__________．
(2)请你先用含x的代数式表示阴影的面积，并说明阴影A的面积一定比阴影B的面积大．
(3)设阴影A和B的面积之和为，阴影A和B的周长之和为，则代数式“”的结果是正数还是负数还是有可能为零？请你先作出判断，再说明理由．
【答案】(1)，
(2)，说明见解析
(3)不可能是负数，理由见解析
【分析】（1）根据“大长方形较长边的长等于小长方形较长边的长加上3个小长方形较短边的长”变形后求出小长方形较长边的长；
（2）先用含的代数式分别表示阴影的宽，再利用整式的运算法则计算出的面积并说明的面积差为；
（3）先计算，再计算，最后说明“”的值不可能是负数．
【详解】（1）解：∵大长方形较长边的长小长方形较长边的长×小长方形较短边的长，
∴小长方形较长边的长大长方形较长边的长×小长方形较短边的长
．
∵阴影长方形B的宽，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵
，
，
∴
．
（3）解：代数式“”的值不可能是负数．
理由：∵，
∴
．
∵，，
∴，
所以代数式“”的值不可能是负数．
【点睛】本题考查了列代数式及整式的运算，看懂题图理解题意是解决本题的关键．
【变式5-2】（2022·浙江·宁波市北仑区顾国和外国语学校七年级期中）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】设①的边长为a,②的边长是m．矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，据此可以求出阴影部分⑤、⑥的周长，即可求解．
【详解】设①的边长为a，②的边长是m．
∵图形①、②、③、④是正方形，
∴矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，
∴阴影部分⑤的周长是2a，阴影部分⑥的周长是2(a+m)，
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2(a+m)﹣2a＝2m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，根据图形的特点得出，矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，是解答本题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏南京·七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）
A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4
【答案】B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为为定值，
∴，，，，
∵①是正方形，
∴
∴，
∴，
，
，
∴为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．
【考点6】 分段计费
自我解读：①注意在计算第二阶段的费用时，务必注意减去第一阶段的水量或者电量。
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）为节约能源，我市按如下规定收取电费：一户居民每月用电不超过120度，则每度按0.52元收费：若超过120度，则超过的部分每度多收0.2元，设某户居民某月用电x度．
(1)请用含x的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）；
(2)已知该市小明家今年1月份用电96度，2月份用电156度，3月份用电138度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？
【自我解读】在计算156度的电费时，第二阶段的度数为156-120=36.
【解题过程】
（1）
解：第一种情况：
当x≤120度时，该户居民该月应缴纳的电费为0.52x；
第二种情况：
当x＞120度时，该户居民该月应缴纳的电费为：
120×0.52+（x﹣120）×（0.52+0.2）＝0.72x﹣24（元）；
（2）
96×0.52+0.72×156﹣24+0.72×138﹣24＝213.6（元），
答：小明家今年一季度共应缴纳电费213.6元．
【变式6-1】（2022·全国·七年级单元测试）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定:如果每月每户用电不超过150度,那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度,那么超过部分每度电0.8元．
(1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费__________元．
(2)如果小张家一个月用电a度(a>150)，那么这个月应缴电费多少元?(用含a的式子表示)
(3)如果小张家八月份用电215度，那么这个月应缴电费多少元?
【答案】(1)60
(2)这个月应缴纳电费为：0.8a-45
(3)127元
【分析】（1）根据120＜150，结合电费=单价×度数，列式求值即可，
（2）根据“如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元”分别讨论a≤150和a＞150时，这个月应缴纳的电费，列出关于a的整式，
（3）令a=215度，代入（2）中的代数式中即可求出答案．
（1）
根据题意得：
0.5×120=60（元），
答：这个月应缴纳电费60元，
故答案为：60；
（2）
当a＞150时，这个月应缴纳电费为：0.5×150+0.8（a-150）=0.8a-45，
答：这个月应缴纳电费为：0.8a-45；
（3）
当a=215度，
应缴费为：0.8×215-45=127元
【点睛】本题考查列代数式，要注意判定是否超出150度，然后分类讨论缴费情况，本题还涉及代入求值问题．
【变式6-2】（2022·全国·七年级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：
每月用水量
单价
不超出6的部分
2元/
超出6不超出10的部分
4元/
超出10的部分
8元/
例如：若某户居民1月份用水8，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
(1)若该户居民2月份用水12.5，则应收水费 元．
(2)若该户居民3月份用水a（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简）
(3)若该户居民4月份用水x，4、5两个月共用水15，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费 ，并化简．
【答案】(1)48
(2)（4a﹣12）元
(3)当时，4、5两个月共交的水费为（﹣6x+68）元；当时，4、5两个月共交的水费为（﹣2x+48）元；当时，4、5两个月共交的水费为36元
【分析】（1 ）应收水费＝不超过6的部分的水费+超出6不超出10部分的水费+超出10部分的水费；
（2 ）水费＝单价为2元的6的水费+单价为4元的超过6的水费；
（3 ）应分情况讨论：4月份不超过6，5月份10以上；或4月份不超过6，5月份在6﹣10之间；两个月都在6﹣10之间．
【详解】（1）解：应收水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×（12.5﹣10）＝48（元），
故答案为：48；
（2）解：应收水费＝不超过6的部分的水费+超出6不超出10部分的水费，
∴应收水费为6×2+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元，
∴应收水费为（4a﹣12）元；
（3）解：因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于7.5．
①当4月份用水量少于5时，则5月份用水量超过10，
∴4，5两个月共交水费＝2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2＝（﹣6x+68）元；
②当4月份用水量大于或等于5但不超过6时，则5月份用水量不少于9但不超过10，
∴4、5两个月共交水费＝2x+4（15﹣x﹣6）+6×2＝（﹣2x+48）元；
③当4月份用水量超过6但少于7.5时，则5月份用水量超过7.5但少于9，
∴4，5两个月共交水费＝4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2＝36（元）．
综上所述，当 时，4、5两个月共交的水费为（-6x+68）元；当时，4、5两个月共交的水费为（-2x+48）元；当时，4、5两个月共交的水费为36元．
【点睛】本题考查列代数式．本题（3）并没有限定4、5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出．需注意分类讨论思想的应用．
【变式6-3】（2022·吉林吉林·七年级期末）某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变．
（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为_______元；
（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为_______元；
（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．
【答案】（1）25.6；（2）53；（3）小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
【分析】（1）由于用水量为8立方米，小于10立方米，所以按照不超10立方米的收费方法：3×用水量+用水量×0.2计算即可；
（2）由于用水量为15立方米，超过10立方米，所以按照超过10立方米的收费方法：3×10+超出的5立方米的收费+15立方米的污水处理费计算即可；
（3）根据3×10+超出的（a－10）立方米的水费+a立方米的污水处理费列式化简即得结果.
【详解】解：（1）25.6，∴小华家5月份的水费为25.6元.
故答案为：25.6；
（2）53，∴小华家6月份的水费为53元.
故答案为：53；
（3）3×10+4（a－10）+0.2a=30+4a－40+0.2a=4.2a－10．
∴小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值以及整式的加减运算，属于常考题型，正确理解题意、列出算式是解题关键.
【考点7】 赋值法
自我解读：①常令x为0、1或-1带入方程即可.
【例7】（2022·全国·七年级专题练习）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：
①取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
②取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；
③取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
④把②，③的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合①a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求
(1)a0的值；
(2)a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
(3)a6+a4+a2的值．
【自我解读】题目将x改成了x-1，所以接下里只需要让x-1这个整体分别取0、1和-1进行计算即可，值得注意的是此时的x的值会有变化，计算时需要注意，如x-1=0时，此时x=1.
【解题过程】
（1）
解：令，
得．
（2）
解：令，
得．
（3）
令，
得，
令，
得．
由①+②得，
代入，
得．
【点睛】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，利用整体思想求解是解题的关键
【变式7-1】（2020秋•邗江区期末）已知（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求：a+b+c+d+e+f＝（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝1代入原等式，即可得：a+b+c+d+e+f＝﹣1．
【解答】解：在（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f中，令x＝1，
得：（1﹣2）5＝a×15+b×14+c×13+d×12+e×1+f，
即：a+b+c+d+e+f＝﹣1．
故选：C．
【变式7-2】（2020秋•常州期末）已知（x﹣1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a1+a2+…+a2021＝ ．
【分析】令x＝1代入求值可得a0+a1+a2+a3+…+a2021＝0，令x＝0可得a0＝﹣1，易得结果．
【解答】解：当x＝1时，
a0+a1+a2+a3+…+a2021＝（1﹣1）2021＝0；
当x＝0时，
a0＝（0﹣1）2021＝﹣1，
a1+a2+a3+…+a2021＝0﹣（﹣1）＝1，
故答案为：1．
【变式7-3】（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：
（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；
（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．
请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，
求（1）a0的值；
（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
（3）a6+a4+a2的值．
【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a
（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；
（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；
（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，
由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；
①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，
∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，
∴a6+a4+a2＝0．
综合巩固
1．（2022·全国·七年级专题练习）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是．
(1)请问题目中的___________，的正确结果为____________；
(2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关．
【答案】(1)，
(2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关
【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可；
（2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关．
（1）
由题意得：，
，
，
故答案为：，．
（2）
ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2，
由题意可得：b﹣5c=0，
∴b=5c，
∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
2．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）已知：，
(1)若，求的值．
(2)当取任何数值，的值是一个定值时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用非负数的性质求得，，然后把化简后代入，，计算求值即可；
（2）先把代入，化简为，根据题意使 即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴且，
解得，，
∵，，
∴
当，时，
原式
（2）∵，，
∴
∵当取任何数值，的值是一个定值，
∴，解得
【点睛】本题考查了整式的加减和化简求值，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知（3x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g．给x赋值使x＝0，得到（﹣1）6＝g，则g＝_____；尝试给x赋不同的值，则可得a+c+e＝_____．
【答案】 1 2079
【分析】计算（-1）6的值可求解g值；再令x=1，x=-1可得a+b+c+d+e+f=63①，a-b+c-d+e-f=46=4095②，再将两式相加可求解a+c+e的值．
【详解】解：令x＝0，（﹣1）6＝g，
∴g＝1；
令x＝1，则（3﹣1）6＝a+b+c+d+e+f+1，
即a+b+c+d+e+f＝63①，
令x＝﹣1，则（﹣3﹣1）6＝a﹣b+c﹣d+e﹣f+1，
即a﹣b+c﹣d+e﹣f＝46＝4095②，
①+②得2a+2c+2e＝4158，
∴a+c+e＝2079．
故答案为：１，2079．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，将依次连接、、、、所围成的阴影部分的面积记为．
(1)试用含的代数式表示，并按降幂排列；
(2)当时，比较与面积的大小；当时，结论是否改变？为什么？
【答案】(1)
(2)；变化，见解析
【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积即得阴影部分面积．
（2）通过计算两种情况下两个图形的面积，然后判断变与不变．
【详解】（1）解：由题意得：
．
按降幂排列为：．
（2）解：当时，，
，
，
当时，，
．
，
结论发生改变．
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，，
．
与的大小关系随的取值而变化．
【点睛】本题考查列代数式和求代数式的值，根据图形特征正确表示阴影部分的面积是求解本题的关键．
5.（2022·全国·七年级课时练习）已知：关于、的多项式 与多项式的和的值与字母的取值无关，求代数式的值.
【答案】12
【分析】关于、的多项式 与多项式的和的值与字母的取值无关，则将两个代数式相加，合并同类项含有x的单项式的系数为0，所以得到，.将代数式化简，再将a，b的值代入即可求得值.
【详解】由题知：
=，
其和的值与字母x无关，
则，，
则，，
原式=
=
=
=
= ，
当， 时，原式=.
6．（2022·山东烟台·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学方法，请仔细阅读下面的解题过程：
已知，，且，求的值．
解：由题意得，或，或，
因为，所以：，或，，
当，时，；
当，时，，
所以的值为4或．
请根据以上阅读和理解，完成下列问题：
已知有理数，满足，
(1)填空：_________，_________
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）根据绝对值的定义即可求解；
（2）根据得出或，再代入求值即可；
（3）根据得出或，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）由知，异号
所以或，
当时，，
当时，，
所以的值是6或；
（3）由，知，
所以或.
当时，，
当时，，
所以的值是或．
【点睛】本题考查绝对值的意义与代数式求值，能根据题意得出符合条件的情况是解题的关键，注意分类讨论．
7.（2022·全国·七年级课时练习）理解与思考：
整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝ ；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝ ；
（Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；
（Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值；
【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16
【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果；
（Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值；
（Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可．
【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x2+x+2016＝1+2016＝2017，
故答案为：2017；
（Ⅱ）∵a+b＝5，
∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11；
（Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，
∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24，
∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16．
【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键.
8．（2022·河北·行唐一中七年级阶段练习）若在一个的方格中填写了9个不同的数字，且使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”．
(1)图1是一个“幻方”，则______；______；______；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个小方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，小明经过研究，发现在“幻方”中，中间数是上述9个数的平均数．
①求中间数的值；
②请你帮小明将如图2所示的“幻方”的空白方格填满．
【答案】(1)，，；图1中所有数的和是“幻和”的3倍；
(2)①；②见详解．
【分析】（1）由幻方的定义，得到，即可求出答案；
（2）①由平均数的定义，即可求出的值；
②根据幻方的定义，分别填入数字即可；
【详解】（1）解：根据题意，则
，
∴，，；
所有数据的和为：，
∵；
∴图2中所有数的和是“幻和”的3倍；
故答案为：，，；
（2）解：①这9个数的平均数为：
，
∴中间数的值是2；
②由①可知，，
∴这个表格的幻和为：；
∴填入表格的数，如下图所示：
0
10
4
2
6
8
4
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
9．（2022·江苏镇江·七年级期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．
、
(1)你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；
(2)小明写出图1中大的长方形的周长为，小红写出大长方形的周长为，两位同学写的算式结果一样吗?为什么？
(3)如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：
①根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；
②知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)一样，理由见解析
(3)①；②25
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）分别化简小明和小红的结果，即可得出答案；
（3）①用两种方法表示四个三角形的面积和，可以得出答案；
②由题意得，，根据求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：小明的结果化简得：，
小红的结果化简得：
∴两位同学化简结果一样．
（3）解：①根据四个小直角三角形的面积之和可知：
，
即；
②由题意得：，则，
，
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，根据图形列出代数式，是解题的关键．
10．（2022·福建省永春第一中学七年级期中）已知，设的最大值为P，最小值为Q，则等于_______．
【答案】
【分析】采用分情况讨论去绝对值方法，分别找出、、的取值范围，以及取最小值时对应的、、的取值范围，然后计算的最大和最小值，从而确定了的值．
【详解】解：，
当时，
当时，
当时，
故当，时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
则，
当且仅当，，时，成立
故最大为，
最小为，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值化简、求最值，掌握分情况讨论思想是解题关键．
专题2.03 整式热点技巧提升（解析版）
学习目标
清楚整式中的中上等难度题型，并清楚其处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。
考点整合
【考点1】 无关问题 【考点 5】 图形类问题
【考点2】 错解问题 【考点6】 分段计费
【考点3】 绝对值化简 【考点7】 赋值法
【考点4】 整体思想
触类旁通
【考点1】 无关问题
自我解读：①与谁无关，那么谁的系数为0.
【例1】（2022·福建省永春第一中学七年级期中）若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为_______．
【自我解读】由结果与x的取值无关求出a与b的值，因此把所有含有X的项提出来得到其系数为0.
【解题过程】解：
=
=，
由结果与x无关，得到，，
解得：，，
则，
故答案为：．
【变式1-1】（2022·北京八中七年级期中）若关于，的多项式中不含项，则______．
【答案】6
【分析】先合并同类项，令的系数为零，列式计算即可．
【详解】因为
=
且多项式中不含项，
所以，
解得．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了整式的加减中与字母无关问题，正确合并同类项，令无关字母的系数为零是解题的关键．
【变式1-2】（2022·广西贵港·七年级期中）已知代数式；；
(1)求；
(2)当时，求的值；
(3)若的值与的x取值无关，求y的值，
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x，y的值代入得出答案；
（3）直接利用已知得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：当时，
原式
；
（3）解：∵的值与x的取值无关，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值，正确合并同类项是解题关键．
【变式1-3】（2022·江苏无锡·七年级期中）化简
(1)
(2)
(3)已知代数式的值与字母x的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接合并同类项，即可求出答案；
（2）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；
（3）先把多项式进行整理，然后求出a、b的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵
；
∵该多项式的值与字母x的取值无关，
∴，，
∴，，
∴
；
【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
【考点2】 错解问题
自我解读：①看成什么就按什么来算，从而求出原式，在进行计算即可.
【例2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）某同学在计算时，错算成，从而算得结果是，请你帮助算出正确结果．
【自我解读】将错就错算出N的值，再代入原代数式进行计算即可．
【解题过程】
解：由题意得，
∴
∴=
答：正确结果为．
【变式2-1】（2022·全国·七年级期中）4x+8错写成4（x+8），结果比原来（ ）
A．多4 B．少4 C．多24 D．少24
【答案】C
【分析】用4（x＋8）−（4x＋8），先去括号，然后合并同类项求解．
【详解】解：4（x＋8）−（4x＋8）＝4x＋32−4x−8＝24，
即结果比原来多了24．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．
【变式2-2】（2022·江苏·七年级）一个多项式减去多项式，马虎同学将减号抄成了加号，计算结果是，则多项式是__________．
【答案】
【分析】根据“其中一个加式＝和−另一个加式”列出式子，然后去括号，合并同类项进行化简．
【详解】解：∵A＋（）＝，
∴A＝（）−（）＝−3x2−2x−4−2x2−5x＋3＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
【变式2-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是．
(1)求代数式；
(2)求的值；
(3)是最大的负整数，将代入第（2）问的结果并求值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）由去括号、合并同类项即可；
（2）由去括号、合并同类项即可；
（3）根据最大的负整数即-1得出x的值，再代入计算即可．
（1）
解：根据题意知
；
（2）
；
（3）
解：∵是最大的负整数，
∴，
则原式．
【点睛】本题考查了整式的加减，实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握运算步骤是解题的关键．
【考点3】 绝对值化简
【例3】（2022·广东·深圳市新华中学七年级期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“<、>、=”填空：_____0，_____0，_____0；
(2)化简：；
【自我解读】①抓住数轴上左边小右边大的原则进行去绝对值。
【解题过程】
（1）解：根据数轴可知，
∴，
∴，，
故答案为：；
（2）解：∵，
，，
∴
∴
．
【变式3-1】（2022·北京二中七年级期中）己知a，b在数轴上的位置如图所示：
(1)用“>”、“<”或“=”填空：，，；
(2)化简：；
(3)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是______；此时x的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
(3)3，
【分析】（1）由数轴可以确定a与b的大小关系及绝对值关系，则由加减法法则可确定，的符号；
（2）由（1）及绝对值的意义即可化简；
（3）分表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上及线段的两侧考虑，即可求解．
【详解】（1）解：由数轴知：，且，则由加法及减法法则知：，；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：①表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时（包括线段的两端），由此点到线段两端的距离之和为3，即，如图所示；
②表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段的两侧时，由此点到线段一端的距离必大于3，从而有，如下图左右两图所示；
综上，当表示数x的点在表示数a与数b的两点间线段上时，的最小值是3，此时；
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，有理数的加减法则，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论．
【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知，数在数轴上的位置如图所示：
（1）化简：；
（2）若，化简：．
【答案】（1）-3；（2）
【分析】（1）先判断a、b、c的符号，进而判断相关积的符号，脱去绝对值计算即可；
（2）根据条件判断出每一个绝对值内的式子的符号，在根据绝对值的性质脱去绝对值计算即可求解．
【详解】解：由图中数轴可得，
原式；
又
原式
．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减等知识，根据数轴提供的信息判断出绝对值内的符号是解题关键．
【变式3-3】（2022·广东·广州市第二中学七年级期中）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且．
(1)填空：___________；___________；___________
(2)化简：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数轴上点的位置判断，然后化简绝对值即可求解．
（2）根据数轴上点的位置判断的符号，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴上的点的位置可得，
，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵，，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，整式的加减，有理数的乘法，正确的化简绝对值是解题的关键．
【考点4】 整体思想
自我解读：①常把一部分整式看成一个东西来进行处理，从而便于我们理解问题，简化问题。
【例4】（2022·全国·七年级单元测试）用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数（整体）．试解答下面问题．
(1)已知，，求：当时，的值．
(2)若代数式的值为8，求代数式的值．
(3)已知，求代数式的值．
【自我解读】求B+C，可直接理解为(A+B)-(A-C).
【解题过程】
（1）
∵B+C=（A+B）-（A-C），
∴B+C=3x2-5x+1-（-2x+3x2-5）=-3x+6；
当x=2时，原式=-6+6=0；
（2）
∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，
已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1
∴原式=3×1+8=11；
（3）
原代数式=，
由已知得xy=2（x+y），
所以原式=．
【变式4-1】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读材料：我们知道，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学教学课题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成一个整体，合并______；
(2)已知，求的值；
(3)拓展探索：已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）利用整体法的思想进行求解即可得；
（2）利用整体法可得，代入即可求解；
（3）将原式整理成，代入式子的值即可求解．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
．
（3）
原式
．
【点睛】本题考查了代数式的求值，整式的加减运算，掌握整体思想是解题的关键．
【变式4-2】（2022·全国·七年级课时练习）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
题目：已知，，求代数式的值．
小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响
小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便．
通过你的运算，代数式的值为___________．
【答案】
【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可．
【详解】∵，
∴，
∴
∴①
∵，
∴②
把②代入①得，
∴，
∴
∴
．
故答案是：-2．
【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键．
【变式4-3】（2022·广东·铁一中学七年级期中）（1）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：①把看成一个整体，合并的结果________．
②拓广探索：已知，求的值．
（2）某人用400元购买了8套电子产品，准备以一定价格出售，如果每套电子产品以56元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下（单位：元）：
．
当他卖完这8套电子产品后是盈利还是亏损？
【答案】（1）①－(a+b)2；②40；（2）盈利44元
【分析】（1）①将看成整体，代入即可计算；②根据已知求出a-c和2b-d的值，再将原式变形，之后整体代入即可；
（2）让所有的正负数相加，再加上预计销售的总价，减去总进价即可得到是盈利还是亏损．
【详解】（1）①原式=（-3-6+8）（a+b）2= -（a+b）2
②a-2b+（2b-c）=a-c=5-7=-2，2b-c+（c-d）=2b-d=-7+12=5，
原式=
（2）总售价为：56×8+（﹣3+7﹣8+9﹣2+0﹣1﹣6）=448﹣4=444（元），
444﹣400=44（元）．
答：盈利44元．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变），有理数的加减运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．
【考点 5】 图形类问题
自我解读：①常把长款设为X、Y，然后根据题意将所求问题用XY和题目给的条件表示出来即可。
【例5】（2022·福建省南安市侨光中学七年级期中）如图，三个形状、大小都相同的小长方形沿“横－竖－横”排列在一个大长方形中，若一个小长方形的周长为，则这个大长方形的周长为__________cm．
【自我解读】设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为．再根据长方形的周长公式即可得出，从而表示出大长方形的周长即可.
【解题过程】
设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为．
∵小长方形的周长为，
∴，即．
∴大长方形的周长为．
故答案为：2016．
【变式5-1】（2022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学七年级期中）如图长为，宽为的大长方形被分割为了小块，除阴影外，其余块是形状大小完全相同的小长方形，其中小长方形的较短一边长度为．
(1)从图可知每块小长方形的较长的一边长度是_________．代数式中，哪一个代数式的值为正数？__________．
(2)请你先用含x的代数式表示阴影的面积，并说明阴影A的面积一定比阴影B的面积大．
(3)设阴影A和B的面积之和为，阴影A和B的周长之和为，则代数式“”的结果是正数还是负数还是有可能为零？请你先作出判断，再说明理由．
【答案】(1)，
(2)，说明见解析
(3)不可能是负数，理由见解析
【分析】（1）根据“大长方形较长边的长等于小长方形较长边的长加上3个小长方形较短边的长”变形后求出小长方形较长边的长；
（2）先用含的代数式分别表示阴影的宽，再利用整式的运算法则计算出的面积并说明的面积差为；
（3）先计算，再计算，最后说明“”的值不可能是负数．
【详解】（1）解：∵大长方形较长边的长小长方形较长边的长×小长方形较短边的长，
∴小长方形较长边的长大长方形较长边的长×小长方形较短边的长
．
∵阴影长方形B的宽，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵
，
，
∴
．
（3）解：代数式“”的值不可能是负数．
理由：∵，
∴
．
∵，，
∴，
所以代数式“”的值不可能是负数．
【点睛】本题考查了列代数式及整式的运算，看懂题图理解题意是解决本题的关键．
【变式5-2】（2022·浙江·宁波市北仑区顾国和外国语学校七年级期中）将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形ABCD内（纸片之间不重叠），那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ）（填编号）的边长有关．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】设①的边长为a,②的边长是m．矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，据此可以求出阴影部分⑤、⑥的周长，即可求解．
【详解】设①的边长为a，②的边长是m．
∵图形①、②、③、④是正方形，
∴矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，
∴阴影部分⑤的周长是2a，阴影部分⑥的周长是2(a+m)，
∴阴影部分⑥﹣阴影部分⑤＝2(a+m)﹣2a＝2m．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据图形列代数式的知识，根据图形的特点得出，矩形⑤的长和宽之和等于正方形①的边长，矩形⑥（包含④时）的长和宽之和等于正方形①的边长与矩形②的边长之和，是解答本题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏南京·七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）
A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4
【答案】B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为为定值，
∴，，，，
∵①是正方形，
∴
∴，
∴，
，
，
∴为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．
【考点6】 分段计费
自我解读：①注意在计算第二阶段的费用时，务必注意减去第一阶段的水量或者电量。
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）为节约能源，我市按如下规定收取电费：一户居民每月用电不超过120度，则每度按0.52元收费：若超过120度，则超过的部分每度多收0.2元，设某户居民某月用电x度．
(1)请用含x的代数式表示该户居民该月应缴纳的电费（分两种情况讨论）；
(2)已知该市小明家今年1月份用电96度，2月份用电156度，3月份用电138度，问小明家今年一季度共应缴纳电费多少元？
【自我解读】在计算156度的电费时，第二阶段的度数为156-120=36.
【解题过程】
（1）
解：第一种情况：
当x≤120度时，该户居民该月应缴纳的电费为0.52x；
第二种情况：
当x＞120度时，该户居民该月应缴纳的电费为：
120×0.52+（x﹣120）×（0.52+0.2）＝0.72x﹣24（元）；
（2）
96×0.52+0.72×156﹣24+0.72×138﹣24＝213.6（元），
答：小明家今年一季度共应缴纳电费213.6元．
【变式6-1】（2022·全国·七年级单元测试）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定:如果每月每户用电不超过150度,那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度,那么超过部分每度电0.8元．
(1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费__________元．
(2)如果小张家一个月用电a度(a>150)，那么这个月应缴电费多少元?(用含a的式子表示)
(3)如果小张家八月份用电215度，那么这个月应缴电费多少元?
【答案】(1)60
(2)这个月应缴纳电费为：0.8a-45
(3)127元
【分析】（1）根据120＜150，结合电费=单价×度数，列式求值即可，
（2）根据“如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元”分别讨论a≤150和a＞150时，这个月应缴纳的电费，列出关于a的整式，
（3）令a=215度，代入（2）中的代数式中即可求出答案．
（1）
根据题意得：
0.5×120=60（元），
答：这个月应缴纳电费60元，
故答案为：60；
（2）
当a＞150时，这个月应缴纳电费为：0.5×150+0.8（a-150）=0.8a-45，
答：这个月应缴纳电费为：0.8a-45；
（3）
当a=215度，
应缴费为：0.8×215-45=127元
【点睛】本题考查列代数式，要注意判定是否超出150度，然后分类讨论缴费情况，本题还涉及代入求值问题．
【变式6-2】（2022·全国·七年级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：
每月用水量
单价
不超出6的部分
2元/
超出6不超出10的部分
4元/
超出10的部分
8元/
例如：若某户居民1月份用水8，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
(1)若该户居民2月份用水12.5，则应收水费 元．
(2)若该户居民3月份用水a（其中6＜a＜10），则应收水费多少元？（用含a的整式表示，并化简）
(3)若该户居民4月份用水x，4、5两个月共用水15，且5月份用水超过4月份，请用含x的整式表示4、5两个月共交的水费 ，并化简．
【答案】(1)48
(2)（4a﹣12）元
(3)当时，4、5两个月共交的水费为（﹣6x+68）元；当时，4、5两个月共交的水费为（﹣2x+48）元；当时，4、5两个月共交的水费为36元
【分析】（1 ）应收水费＝不超过6的部分的水费+超出6不超出10部分的水费+超出10部分的水费；
（2 ）水费＝单价为2元的6的水费+单价为4元的超过6的水费；
（3 ）应分情况讨论：4月份不超过6，5月份10以上；或4月份不超过6，5月份在6﹣10之间；两个月都在6﹣10之间．
【详解】（1）解：应收水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×（12.5﹣10）＝48（元），
故答案为：48；
（2）解：应收水费＝不超过6的部分的水费+超出6不超出10部分的水费，
∴应收水费为6×2+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元，
∴应收水费为（4a﹣12）元；
（3）解：因为5月份用水量超过了4月份，所以4月份用水量少于7.5．
①当4月份用水量少于5时，则5月份用水量超过10，
∴4，5两个月共交水费＝2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2＝（﹣6x+68）元；
②当4月份用水量大于或等于5但不超过6时，则5月份用水量不少于9但不超过10，
∴4、5两个月共交水费＝2x+4（15﹣x﹣6）+6×2＝（﹣2x+48）元；
③当4月份用水量超过6但少于7.5时，则5月份用水量超过7.5但少于9，
∴4，5两个月共交水费＝4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2＝36（元）．
综上所述，当 时，4、5两个月共交的水费为（-6x+68）元；当时，4、5两个月共交的水费为（-2x+48）元；当时，4、5两个月共交的水费为36元．
【点睛】本题考查列代数式．本题（3）并没有限定4、5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出．需注意分类讨论思想的应用．
【变式6-3】（2022·吉林吉林·七年级期末）某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变．
（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为_______元；
（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为_______元；
（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．
【答案】（1）25.6；（2）53；（3）小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
【分析】（1）由于用水量为8立方米，小于10立方米，所以按照不超10立方米的收费方法：3×用水量+用水量×0.2计算即可；
（2）由于用水量为15立方米，超过10立方米，所以按照超过10立方米的收费方法：3×10+超出的5立方米的收费+15立方米的污水处理费计算即可；
（3）根据3×10+超出的（a－10）立方米的水费+a立方米的污水处理费列式化简即得结果.
【详解】解：（1）25.6，∴小华家5月份的水费为25.6元.
故答案为：25.6；
（2）53，∴小华家6月份的水费为53元.
故答案为：53；
（3）3×10+4（a－10）+0.2a=30+4a－40+0.2a=4.2a－10．
∴小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值以及整式的加减运算，属于常考题型，正确理解题意、列出算式是解题关键.
【考点7】 赋值法
自我解读：①常令x为0、1或-1带入方程即可.
【例7】（2022·全国·七年级专题练习）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：
①取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
②取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；
③取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
④把②，③的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合①a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求
(1)a0的值；
(2)a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
(3)a6+a4+a2的值．
【自我解读】题目将x改成了x-1，所以接下里只需要让x-1这个整体分别取0、1和-1进行计算即可，值得注意的是此时的x的值会有变化，计算时需要注意，如x-1=0时，此时x=1.
【解题过程】
（1）
解：令，
得．
（2）
解：令，
得．
（3）
令，
得，
令，
得．
由①+②得，
代入，
得．
【点睛】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，利用整体思想求解是解题的关键
【变式7-1】（2020秋•邗江区期末）已知（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，求：a+b+c+d+e+f＝（ ）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝1代入原等式，即可得：a+b+c+d+e+f＝﹣1．
【解答】解：在（x﹣2）5＝ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f中，令x＝1，
得：（1﹣2）5＝a×15+b×14+c×13+d×12+e×1+f，
即：a+b+c+d+e+f＝﹣1．
故选：C．
【变式7-2】（2020秋•常州期末）已知（x﹣1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a1+a2+…+a2021＝ ．
【分析】令x＝1代入求值可得a0+a1+a2+a3+…+a2021＝0，令x＝0可得a0＝﹣1，易得结果．
【解答】解：当x＝1时，
a0+a1+a2+a3+…+a2021＝（1﹣1）2021＝0；
当x＝0时，
a0＝（0﹣1）2021＝﹣1，
a1+a2+a3+…+a2021＝0﹣（﹣1）＝1，
故答案为：1．
【变式7-3】（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：
（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；
（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．
请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，
求（1）a0的值；
（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；
（3）a6+a4+a2的值．
【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a
（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；
（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；
（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，
由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；
①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，
∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，
∴a6+a4+a2＝0．
综合巩固
1．（2022·全国·七年级专题练习）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是．
(1)请问题目中的___________，的正确结果为____________；
(2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关．
【答案】(1)，
(2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关
【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可；
（2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关．
（1）
由题意得：，
，
，
故答案为：，．
（2）
ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2，
由题意可得：b﹣5c=0，
∴b=5c，
∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
2．（2022·四川·东辰国际学校七年级阶段练习）已知：，
(1)若，求的值．
(2)当取任何数值，的值是一个定值时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用非负数的性质求得，，然后把化简后代入，，计算求值即可；
（2）先把代入，化简为，根据题意使 即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴且，
解得，，
∵，，
∴
当，时，
原式
（2）∵，，
∴
∵当取任何数值，的值是一个定值，
∴，解得
【点睛】本题考查了整式的加减和化简求值，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知（3x﹣1）6＝ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx+g．给x赋值使x＝0，得到（﹣1）6＝g，则g＝_____；尝试给x赋不同的值，则可得a+c+e＝_____．
【答案】 1 2079
【分析】计算（-1）6的值可求解g值；再令x=1，x=-1可得a+b+c+d+e+f=63①，a-b+c-d+e-f=46=4095②，再将两式相加可求解a+c+e的值．
【详解】解：令x＝0，（﹣1）6＝g，
∴g＝1；
令x＝1，则（3﹣1）6＝a+b+c+d+e+f+1，
即a+b+c+d+e+f＝63①，
令x＝﹣1，则（﹣3﹣1）6＝a﹣b+c﹣d+e﹣f+1，
即a﹣b+c﹣d+e﹣f＝46＝4095②，
①+②得2a+2c+2e＝4158，
∴a+c+e＝2079．
故答案为：１，2079．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，将依次连接、、、、所围成的阴影部分的面积记为．
(1)试用含的代数式表示，并按降幂排列；
(2)当时，比较与面积的大小；当时，结论是否改变？为什么？
【答案】(1)
(2)；变化，见解析
【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积即得阴影部分面积．
（2）通过计算两种情况下两个图形的面积，然后判断变与不变．
【详解】（1）解：由题意得：
．
按降幂排列为：．
（2）解：当时，，
，
，
当时，，
．
，
结论发生改变．
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，，
．
与的大小关系随的取值而变化．
【点睛】本题考查列代数式和求代数式的值，根据图形特征正确表示阴影部分的面积是求解本题的关键．
5.（2022·全国·七年级课时练习）已知：关于、的多项式 与多项式的和的值与字母的取值无关，求代数式的值.
【答案】12
【分析】关于、的多项式 与多项式的和的值与字母的取值无关，则将两个代数式相加，合并同类项含有x的单项式的系数为0，所以得到，.将代数式化简，再将a，b的值代入即可求得值.
【详解】由题知：
=，
其和的值与字母x无关，
则，，
则，，
原式=
=
=
=
= ，
当， 时，原式=.
6．（2022·山东烟台·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学方法，请仔细阅读下面的解题过程：
已知，，且，求的值．
解：由题意得，或，或，
因为，所以：，或，，
当，时，；
当，时，，
所以的值为4或．
请根据以上阅读和理解，完成下列问题：
已知有理数，满足，
(1)填空：_________，_________
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）根据绝对值的定义即可求解；
（2）根据得出或，再代入求值即可；
（3）根据得出或，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）由知，异号
所以或，
当时，，
当时，，
所以的值是6或；
（3）由，知，
所以或.
当时，，
当时，，
所以的值是或．
【点睛】本题考查绝对值的意义与代数式求值，能根据题意得出符合条件的情况是解题的关键，注意分类讨论．
7.（2022·全国·七年级课时练习）理解与思考：
整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝ ；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝ ；
（Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；
（Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值；
【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16
【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果；
（Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值；
（Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可．
【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x2+x+2016＝1+2016＝2017，
故答案为：2017；
（Ⅱ）∵a+b＝5，
∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11；
（Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，
∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24，
∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16．
【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键.
8．（2022·河北·行唐一中七年级阶段练习）若在一个的方格中填写了9个不同的数字，且使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”．
(1)图1是一个“幻方”，则______；______；______；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个小方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，小明经过研究，发现在“幻方”中，中间数是上述9个数的平均数．
①求中间数的值；
②请你帮小明将如图2所示的“幻方”的空白方格填满．
【答案】(1)，，；图1中所有数的和是“幻和”的3倍；
(2)①；②见详解．
【分析】（1）由幻方的定义，得到，即可求出答案；
（2）①由平均数的定义，即可求出的值；
②根据幻方的定义，分别填入数字即可；
【详解】（1）解：根据题意，则
，
∴，，；
所有数据的和为：，
∵；
∴图2中所有数的和是“幻和”的3倍；
故答案为：，，；
（2）解：①这9个数的平均数为：
，
∴中间数的值是2；
②由①可知，，
∴这个表格的幻和为：；
∴填入表格的数，如下图所示：
0
10
4
2
6
8
4
【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
9．（2022·江苏镇江·七年级期中）现有3张卡片，它们可以拼成一个大的长方形（如图1）．
、
(1)你还能用三张卡片拼成其他的四边形吗？请画出草图；
(2)小明写出图1中大的长方形的周长为，小红写出大长方形的周长为，两位同学写的算式结果一样吗?为什么？
(3)如图2，有四张边长分别为a，b，c的直角三角形纸片，将它们拼成一个大的空心的正方形，利用这个大正方形解决问题：
①根据（2）中蕴含的思想方法写出一个关于a，b，c的等式；
②知小直角三角形纸片的面积为6，两条直角边之和为7，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)一样，理由见解析
(3)①；②25
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）分别化简小明和小红的结果，即可得出答案；
（3）①用两种方法表示四个三角形的面积和，可以得出答案；
②由题意得，，根据求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：小明的结果化简得：，
小红的结果化简得：
∴两位同学化简结果一样．
（3）解：①根据四个小直角三角形的面积之和可知：
，
即；
②由题意得：，则，
，
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，列代数式，根据图形列出代数式，是解题的关键．
10．（2022·福建省永春第一中学七年级期中）已知，设的最大值为P，最小值为Q，则等于_______．
【答案】
【分析】采用分情况讨论去绝对值方法，分别找出、、的取值范围，以及取最小值时对应的、、的取值范围，然后计算的最大和最小值，从而确定了的值．
【详解】解：，
当时，
当时，
当时，
故当，时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
，
当时，
当时，，
当时，
故当时，取得最小值为；
则，
当且仅当，，时，成立
故最大为，
最小为，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值化简、求最值，掌握分情况讨论思想是解题关键．
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