【期末知识清单】北师大版数学八年级上册满分攻略：第1章 勾股定理（知识清单）

第1章 勾股定理知识清单

1 勾股定理

1．勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．

②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．

2．直角三角形斜边上的高

①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．

②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：，， .

2勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

 图（1）中，所以.

　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

　图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

3勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形

4如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如）.

验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，

其中为三角形的最大边.

5.勾股定理的逆定理

1．勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．

注意：

①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．

②当满足时，是斜边，是直角．

③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．