【期末仿真检测】苏科版数学 九年级上学期-期末测试卷01（基础卷）（南京专用）

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2022-2023学年九年级上学期期末测试卷01
数学
班级___________ 姓名___________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
【考试范围：苏教九年级上册全部】
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、，时，不是一元二次方程，不符合题意；B、原式整理为：，不是一元二次方程，不符合题意；C、，是一元二次方程，符合题意；D、，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C．
2．有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是90°；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】解：①半径不是弦，故①错误；②任意三角形都有且只有一个外接圆，故②正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故③错误；④半圆所对的圆周角是90°，故④正确；⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故⑤错误；故正确的有②④，共2个故选：A．
3．如图，正六边形内接于圆，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：连接，如图所示：

则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：B．
4．已知一组数据85，80，x，90的平均数是85，那么x等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】B
【解析】解：由题意得：（85+x+80+90）÷4=85
解得：x=85．
故选：B．
5．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是2÷6＝．故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以点A为圆心，3为半径作圆，在圆上取一点D，连接BD并取中点M，连接CM．则CM长度的取值范围（　　）

A．3.5＜CM＜6.5 B．3＜CM＜7 C．5＜CM＜10 D．4.5＜CM＜9.5
【答案】A
【解析】解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=1.5．
∵5-1.5＜CM＜5+1.5，
即3.5＜CM＜6.5．
故选：A．
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
7．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为____．
【答案】10
【解析】∵x2﹣6x+8=0
解得x1=2，x2=4
∴ 三角形三边长可能为：2，2，4或2，4，4
∵ 2+2=4，即2，2，4不能构成三角形，舍去
∴ 此三角形三边长为2，4，4
∴ 此三角形的周长为2+4+4=10
故答案为：10．
8．小明同学5次数学单元测试的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则两次最低成绩之和是__分．
【答案】171
【解析】解：∵五次数学单元测验的平均成绩是90分，
∴5次数学单元测验的总成绩是450分，
∵中位数是91分，众数是94分，
∴最低两次测试成绩为450-91-2×94=171．
故填171．
9．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且使反比例函数y＝的图象分布在一、三象限的概率是_____．
【答案】
【解析】解：令Δ＝[﹣2（a﹣1）]²﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
∴使关于x的一元二次方程x²﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有1，2，3．
∵反比例函数y＝ 的图象分布在一、三象限，
∴3﹣a＞0，
∴a＜3，
∴符合题意的数字为1，2，
∴该事件的概率为．
故答案为：．
10．设x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣10＝0的两根，则＝_____．
【答案】11.5
【解析】解：根据题意得x1+x2＝，x1•x2＝﹣5，
∵x1是一元二次方程2x2﹣3x﹣10＝0的根，
∴，
则，
＝10+3x1 ﹣2x1 +x2，
＝10+x1 +x2，
＝10+，
＝11.5．
故答案为：11.5．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为_______．

【答案】
【解析】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝12，
∵⊙O的直径为16，
∴⊙O的半径为8，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为＝4，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×4＝8．
故答案为：8．
12．若直角三角形两直角边为5cm、12cm，则其外接圆和内切圆半径之和为 ___cm．
【答案】8.5
【解析】解：设内切圆半径为r，
∴内切圆圆心到这个直角三角形的三边的距离相等，都为r，
由勾股定理得：直角三角形的斜边，
∴此直角三角形的外接圆的半径（外接圆圆心即为斜边的中点）；
∵，
∴，
∴其外接圆和内切圆半径之和为8.5cm．
故答案为：8.5．
13．如图，圆锥母线长BC＝18cm，若底面圆的半径OB＝4cm，则侧面展开扇形图的圆心角为______．

【答案】80°
【解析】解：设圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为n°，
根据题意得，
解得n＝80，
即圆锥的侧面展开扇形图的圆心角为80°．
故答案为：80°．
14．如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆于点Q，连结AQ，过点P作PSAQ交该半圆于点S，连结SB．当△PSB是以PS为腰的等腰三角形时，为_________．

【答案】
【解析】解：①时，过点作于，

，
，
，
，
，，
，，
平分，，，
，，
，
=，
=，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②时，过点作于，连接，

为直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
15．商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 __________元时，商场每天盈利达1500元．
【答案】150或170或150
【解析】解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
16．如图，在矩形中，，，延长AD至点F，使得，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点E，P为上一动点，连接FP并延长交AB于点G，当BG的长度最短时，阴影部分的周长为____________．

【答案】
【解析】如图，只有当FG与⊙A相切时，BG长度最短
连接AP，则AP⊥FG
∵AD=1
∴DF=AD=1
∴AF=2
∵AP=AD=1=AF
∴∠F=30°，∠FAP=60°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠FAB=90°
∴∠PAE=30°
∴
∵，AE=AP=1
∴BE=
作MNAB
∴四边形ABMN是矩形，∠AMN=90°，MN=，∠APM=∠PAE=30°
∴AM=AP=，
∴MP=
∴PN=
∵DP=AD-AM=
∴CN=DM=
∴PC=
∵BC=AD=1
∴阴影部分的周长为+BE+BC+PC==
故答案为：．


三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（7分）求不等式组的整数解．
【答案】0，1，2
【解析】解：原不等式组可化为．
解不等式①得：
解不等式②得：
所以原不等式组的解集为：，
故原不等式组的整数解为0，，．
18.（7分）解方程：2x2﹣x﹣6＝0．
【答案】x1＝﹣，x2＝2．
【解析】解：原式即（2x+3）（x﹣2）＝0，
则2x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝2．
19.（7分）化简：
【答案】1
【解析】解：


20.（8分）如图，AB是⊙O的直径，于点E，连接CO并延长交AD于点F，且．

（1）求证：E是OB的中点；
（2）若，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：直径AB垂直于弦CD于点E，连接AC，

∴=，
∴，
∵过圆心O的线，
∴，即CF是AD的中垂线，
∴，
∴．
即：是等边三角形，
∴，
在中， 有
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解： ，
∴，
又∵，
∴，
∴，

∴．
21.（8分）2020年东京奥运会于2021年7月23日至8月8日举行，跳水比赛是大家最喜爱观看的项目之一，其计分规则如下：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0～10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3
在比赛中，某运动员一次试跳后的打分表为：
难度系数
裁判
1
2
3
4
5
6
7
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的众数是 　 　；中位数是 　 　．
（2）该运动员本次试跳的得分是多少？
【答案】（1）7.5,8.0；（2）该运动员本次试跳得分为84分．
【解析】解：（1）7.5出现的次数最多，7名裁判打分的众数是7.5；
将这组数据按照从小到大的顺序排列得：7.5、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根据中位数的定义可得，中位数为8.0；
故答案为：7.5,8.0；
（2）根据试跳得分公式可得：
（分），
故该运动员本次试跳得分为84分．
22.（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”．如20＝3＋17
（1）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 　 　．
（2）从7、11、13、17这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于24的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）在7，11，13，17中随机抽取一个数的结果可以为：7，11，13，17，一共有四种可能性，抽到7的结果数为1，
∴P抽到7；
故答案为：；
（2）列表如下：

7
11
13
17
7

18
20
24
11
18

24
28
13
20
24

30
17
24
28
30

由表可以看出，分别从这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，可能出现的结果有12种，并且他们出现的可能性相等，抽到的两个素数之和等于24的有4种情况．
∴抽到的两个素数之和等于24的概率为P=．
23.（8分）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，


∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
24.（8分）2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元，该店在8月份售出“天问一号”模型400个，“嫦娥五号”模型200个．该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
（1）用含有a的代数式填表（不需化简）：

8月份销量
销量的增长率
9月份销量
“天问一号”模型
400
a%

“嫦娥五号”模型
200


（2）据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
【答案】（1）400（1+a%）；a%；200（1+a%）；（2）a的值为10．
【解析】（1）∵9月份，“天问一号”模型的销量比8月份增加，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+）个．
故答案为：400（1+）；；200（1+）．
（2）依题意得：90×400（1+）+100（1﹣a%）×200（1+）＝（90×400+100×200）（1+），
整理得：3a2﹣30a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
25.（8分）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；
（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）如图1，线段EF即为所求；

（2）如图2，Rt△BEF即为所求．
26.（10分）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．
【解析】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
27.（9分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：
如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）①；②4；（3）AD长的最大值为10．
【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，

∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2
=2AE2+2BD2+2DE2
=2AD2+2BD2；
（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，
∴62+42=2AD2+2×42，
∴AD=；
②如图3中，

∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，
2AF2+2BF2=AB2+AC2，
OF2=OB2-BF2，
∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2，
∴EF2=OB2-OA2=16，
∴EF=4（负根舍弃），
故答案为：①；②4；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．

由（2）的②可知：DE2=OB2-OA2=，
∴DE=；
在△ADE中，AE=，DE=，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为+=10．