2022-2023学年七年级数学上学期期末复习专题 大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）

这是一份2022-2023学年七年级数学上学期期末复习专题 大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版），共39页。试卷主要包含了计算，完成下列解题过程，＝1×4﹣3×2+1＝﹣1，操作与探究，小明做道题，如图是一个计算程序图等内容，欢迎下载使用。
专题 大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•高港区期中）计算：
（1）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5；
（2）；
（3）；
（4）．
2．（2022秋•泗洪县期中）完成下列解题过程：
已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2﹣+﹣cd的值．（注：cd＝c×d）
解：因为a、b互为相反数且a≠0，所以a+b＝　 　，＝　 　；
又因为c、d互为倒数，所以cd＝　 　；
又因为m的绝对值是最小的正整数，所以m＝　 　，所以m2＝　 　；所以原式＝　 　．
3．（2022秋•高港区期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ad﹣bc+l，例如：（1，3）*（2，4）＝1×4﹣3×2+1＝﹣1．
（1）求（4，3）*（﹣2，5）的值；
（2）若m＝（﹣1，a﹣1）*（2，a2），n＝（﹣2a﹣1，2）*（a2﹣2a，3）．
①若a2+2a﹣1＝0，求m的值；
②判断m、n的大小，并说明理由．
4．（2022秋•崇川区期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　 　；
（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…．
①x0+x1的最小值为 　 　；
②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　 　．
5．（2022秋•工业园区校级月考）操作与探究
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'．
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．
（1）若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 　 　；
（2）若点B′表示的数是2，点B表示的数是 　 　；
（3）已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 　 　．
（4）保持前两问的条件不变，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B1处，若B1A＝2，求点C表示的数．

6．（2022秋•高港区期中）已知单项式4xa+1与﹣2x2y3b﹣1是同类项．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）先化简，在（1）的条件下再求值：（5a2﹣3ab）﹣6（a2﹣ab）．
7．（2022秋•盐城期中）小明做道题：“已知两个多项式A、B，其中A＝2x2﹣5x+6，计算：A﹣B”．他将A﹣B误写成A+B，结果答案是4x2﹣4x+6．
（1）求多项式B；
（2）求A﹣B的正确结果．
8．（2022秋•高港区期中）如图是一个计算程序图：
（1）若输入x的值为﹣3，求输出的结果y的值；
（2）若输出的结果y的值为3，求输入x的值；
（3）不论输入x的值为多少，输出的结果都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数．（直接填写结果）


9．（2022秋•盐城期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：m）．
（1）这套房子的总面积可以用式子表示为多少m2；
（2）若x＝5，y＝8，并且房价为每平方米0.8万元，则购买这套房子共需要多少万元？

10．（2022秋•睢宁县期中）某商场以每件m元的成本价购进了20件甲种商品，以每件n元的成本价购进了30件乙种商品，且m＞n．
（1）在销售前，该商场经过市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津．为了尽快减少库存，但又不能亏本，商场决定将甲种商品按成本价提高30%后标价出售，乙种商品按成本价的七折出售，则甲种商品的每件售价可表示为 　 　（用含m的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为 　 　（用含n的代数式表示）：
（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示该商场的获利；
（3）若该商场将两种商品都以每件元的价格全部售出，请判断他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由．
11．（2022秋•沭阳县期中）根据表，回答问题：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
﹣2x+5
…
9
7
5
3
a
…
2x+8
…
4
6
8
10
b
…
【初步感知】
（1）a＝　 　；b＝　 　；
【归纳规律】
（2）表中﹣2x+5的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+5的值就减少2．类似地，2x+8的值的变化规律是什么？
【问题解决】
（3）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为﹣7．
12．（2022秋•东台市期中）解下列方程：
（1）7x＝5x+4；
（2）．
13．（2022秋•天宁区校级期中）已知关于x的方程＝3x﹣2与＝x+的解互为倒数，求m的值．
14．（2022秋•如东县期中）计算：
（1）计算：（）×（﹣30）；
（1）计算：﹣12020﹣6×（﹣）2+（﹣5）×（﹣3）；
（3）解方程：2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2）；
（4）解方程：＝1．
15．（2022秋•如东县期中）将连续的偶数2，4，6，8……，排成如表；如图，用十字框框住五个数，我们把中间的数叫十字数，如图中的16叫做十字数．
（1）若十字数是x，十字框内五个数的和是多少？（用x式子表示）
（2）若将十字框上下左右移动，小明认为十字框内五个数的和可以等于2015；而小红认为这五个数的和可以等于2000．请你判断两位同学的观点是否正确，若正确请求出十字数，若不正确请说明理由．
（3）若将所有的十字数按由小到大排列，第2022个十字数是 　 　．

16．（2022秋•工业园区校级期中）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟．

月租费（元/月）
不加收通话费时限（分）
超时加收通话费标准（元/分）
套餐A
58
150
0.3
套餐B
88
350
0.2
（1）请用含t1（t1＞150）、t2（t2＞350）的代数式表示甲和乙的通话费用；
（2）若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；
（3）若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为 　 　．
17．（2022秋•南京期中）【知识回顾】
数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x﹣y|．借助数轴解决下列问题：
【概念理解】
（1）|x+3|表示数x和 　 　所对应的两点之间的距离；
（2）代数式|x+3|+|x﹣5|的最小值为 　 　；
【继续推理】
（3）若|x+3|+2|x﹣5|＝10，则x的值为 　 　；
【问题解决】
（4）已知代数式|x+3|+|2x﹣10|＝m（m是常数）．根据m的不同取值，写出对应的x的值（用含m的代数式表示）．
18．（2021秋•泗阳县期末）如图1，小明买了一支铅笔和一个铅笔套．未开始使用时，铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm，且铅笔长度比铅笔套长度多11cm．如图2，当铅笔套用于保护铅笔时，铅笔分界处到笔尖的距离比到套口的距离多1cm．
（1）求铅笔套的长度；
（2）如图2，铅笔使用一段时间后，当套口到铅笔顶部的距离等于套口到笔尖的距离时，测得套上铅笔套的整支笔长度为9cm，求套口到分界处的距离．

19．（2021秋•射阳县校级期末）某景区旅游团队的门票价格如下：
购票人数
不超过50人
超过50人，但不超过100人
超过100人
门票价格
100元/人
80元/人
60元/人
（1）甲旅游团共有40人，则甲旅游团共付门票费 　 　元；
（2）乙旅游团共付门票费7200元，则乙旅游团共有 　 　人；
（3）丙，丁两个旅游团共有100人，其中丙旅游团人数不超过50人，两个旅游团先后共付门票费8600元，求丙、丁两个旅游团的人数．
20．（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 　 　cm，此时桶里的水位高度达到了 　 　cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．

21．（2021秋•玄武区期末）如图，一个边长为10cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
（1）这个表面展开图的面积是 　 　cm2；
（2）你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；

（3）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 　 　条棱．
A．3
B．4
C．5
D．不确定

22．（2021秋•射阳县校级期末）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 　 　个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 　 　cm2．

23．（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，
∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．

24．（2022春•江都区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．

25．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）45°10′﹣21°35′20″；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（3）42°16′+18°23′×2．
26．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且，求线段AE的长．

27．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是线段AB上一点，且，求线段AE的长．

28．（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　°；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）


29．（2021秋•亭湖区期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．

【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
30．（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝　 　，d2（点D，线段AB）＝　 　；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 　 　；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 　 　．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．


答案与解析
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•高港区期中）计算：
（1）1+（﹣2）+|﹣2﹣3|﹣5；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）原式先算绝对值运算，再算加减运算即可求出值；
（2）原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值；
（4）原式先算乘方及括号中的运算，再算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+5﹣5
＝﹣1；
（2）原式＝（+﹣）×（﹣12）
＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12）
＝﹣6﹣4+2
＝﹣8；
（3）原式＝（﹣100+）×4
＝﹣100×4+×4
＝﹣400+
＝﹣399；
（4）原式＝﹣1﹣×﹣8
＝﹣1﹣﹣8
＝﹣9．
2．（2022秋•泗洪县期中）完成下列解题过程：
已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2﹣+﹣cd的值．（注：cd＝c×d）
解：因为a、b互为相反数且a≠0，所以a+b＝　0　，＝　﹣1　；
又因为c、d互为倒数，所以cd＝　1　；
又因为m的绝对值是最小的正整数，所以m＝　±1　，所以m2＝　1　；所以原式＝　1　．
【分析】根据相反数，倒数，绝对值等概念，得到a+b＝0，＝﹣1，cd＝1，m2＝1，再代入计算即可．
【解答】解：因为a、b互为相反数且a≠0，所以a+b＝0，＝﹣1；
又因为c、d互为倒数，所以cd＝1；
又因为m的绝对值是最小的正整数，
所以m＝±1，
所以m2＝1；
所以原式＝1﹣（﹣1）+0﹣1＝1，
故答案为：0，﹣1，1，±1，1，1．
3．（2022秋•高港区期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）*（c，d）＝ad﹣bc+l，例如：（1，3）*（2，4）＝1×4﹣3×2+1＝﹣1．
（1）求（4，3）*（﹣2，5）的值；
（2）若m＝（﹣1，a﹣1）*（2，a2），n＝（﹣2a﹣1，2）*（a2﹣2a，3）．
①若a2+2a﹣1＝0，求m的值；
②判断m、n的大小，并说明理由．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）①m利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
②m与n利用题中的新定义化简，利用作差法比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝4×5﹣3×（﹣2）
＝20+6
＝26；
（2）根据题中的新定义得：
m＝（﹣1，a﹣1）*（2，a2）
＝﹣a2﹣2（a﹣1）
＝﹣a2﹣2a+2，
n＝（﹣2a﹣1，2）*（a2﹣2a，3）
＝﹣6a﹣3﹣2（a2﹣2a）
＝﹣6a﹣3﹣2a2+4a
＝﹣2a2﹣2a﹣3，
①∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
则m＝﹣a2﹣2a+2
＝﹣（a2+2a）+2
＝﹣1+2
＝1；
②∵m﹣n＝（﹣a2﹣2a+2）﹣（﹣2a2﹣2a﹣3）
＝﹣a2﹣2a+2+2a2+2a+3
＝a2+5＞0，
∴m＞n．
4．（2022秋•崇川区期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　；
（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…．
①x0+x1的最小值为 　1　；
②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　840　．
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、...40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解答】解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8，
故答案为：8；
（2）∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4，
∴|x﹣3|＝3，
解得x＝6或x＝0；
（3）①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1，
∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1，
∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1，
∴只有当x0＝0，x1＝1时，
x0+x1有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
|x1﹣2|+|x2﹣2|＝1，x1+x2的最小值1.5+2.5＝4；
|x3﹣4|+|x4﹣4|＝1，x3+x4的最小值3.5+4.5＝8；
|x5﹣6|+|x6﹣6|＝1，x5+x6的最小值5.5+6.5＝12；
|x7﹣8|+|x8﹣8|＝1，，x7+x8的最小值7.5+8.5＝16；
......．
|x39﹣40|+|x40﹣40|＝1，x39+x40的最小值39.5+40.5＝80；
∴x1+x2+x3+……+x40的最小值：
4+8+12+16+...+80
＝
＝840．
故答案为：840．
5．（2022秋•工业园区校级月考）操作与探究
对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'．
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．
（1）若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 　　；
（2）若点B′表示的数是2，点B表示的数是 　4　；
（3）已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 　　．
（4）保持前两问的条件不变，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B1处，若B1A＝2，求点C表示的数．

【分析】（1）根据题意列式计算求解；
（2）根据题意列方程求解；
（3）根据题意列方程求解；
（4）先根据题意分类，再利用中点公式求解．
【解答】解：（1）﹣3×+1＝，
故答案为：；
（2）（2﹣1）×4＝4，
故答案为：4；
（3）设E表示的数为x，则x+1＝x，
解得：x＝，
故答案为：；
（4）∵B1A＝2，∴B1表示的数为：﹣1或﹣5，
当B1表示的数为﹣1时，C表示的数为：（﹣1+4）＝1.5，
当B1表示的数为﹣5时，C表示的数为：（﹣5+4）＝﹣0.5．
6．（2022秋•高港区期中）已知单项式4xa+1与﹣2x2y3b﹣1是同类项．
（1）填空：a＝　1　，b＝　　；
（2）先化简，在（1）的条件下再求值：（5a2﹣3ab）﹣6（a2﹣ab）．
【分析】（1）根据同类项的概念可得a+1＝2，3b﹣1＝0，求出a、b的值即可；
（2）先去括号合并同类项化简整式，然后代入a和b的值求值即可．
【解答】解：（1）由题意，得a+1＝2，3b﹣1＝0，
解得a＝1，b＝．
故答案为：1，；
（2）（5a2﹣3ab）﹣6（a2﹣ab）
＝5a2﹣3ab﹣6a2+2ab
＝﹣a2﹣ab，
当a＝1，b＝时，
原式＝﹣a2﹣ab＝﹣1﹣1×＝﹣．
7．（2022秋•盐城期中）小明做道题：“已知两个多项式A、B，其中A＝2x2﹣5x+6，计算：A﹣B”．他将A﹣B误写成A+B，结果答案是4x2﹣4x+6．
（1）求多项式B；
（2）求A﹣B的正确结果．
【分析】（1）根据已知条件列出式子，即可得多项式B；
（2）求A﹣B的正确答案即可．
【解答】解：（1）由题意得，2x2﹣5x+6+B＝4x2﹣4x+6，
∴B＝4x2﹣4x+6﹣（2x2﹣5x+6）
＝4x2﹣4x+6﹣2x2+5x﹣6
＝2x2+x；
（2）A﹣B＝2x2﹣5x+6﹣（2x2+x）
＝2x2﹣5x+6﹣2x2﹣x
＝﹣6x+6．
8．（2022秋•高港区期中）如图是一个计算程序图：
（1）若输入x的值为﹣3，求输出的结果y的值；
（2）若输出的结果y的值为3，求输入x的值；
（3）不论输入x的值为多少，输出的结果都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数．（直接填写结果）

【分析】（1）根据﹣3＜﹣2，选择下面的那条程序图，代入代数式计算即可；
（2）分两种情况，分别求x的值即可得出答案；
（3）分别求出两种情况的y的取值范围，即可得到不可能取到的整数．
【解答】解：（1）∵﹣3＜﹣2，
∴y＝x﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6；
（2）当x＞﹣2时，|x|﹣1＝3，
|x|＝4，
∵x＞﹣2，
∴x＝4；
当x≤﹣2时，x﹣3＝4，x＝7，
∵7＞﹣2，
∴x＝7不符合题意；
综上所述，x＝4；
（3）当x＞﹣2时，
∵|x|≥0，
∴|x|﹣1≥1；
当x≤﹣1时，
∵x≤﹣2，
∴x﹣3≤﹣5，
综上所述，不可能取到的整数有：±4、±3、±2．
9．（2022秋•盐城期中）小明家最近刚购置了一套商品房，如图是这套商品房的平面图（阴影部分）（单位：m）．
（1）这套房子的总面积可以用式子表示为多少m2；
（2）若x＝5，y＝8，并且房价为每平方米0.8万元，则购买这套房子共需要多少万元？

【分析】（1）四个长方形的面积的和就是总面积；
（2）把x＝5，y＝8代入代数式即可求得总面积，然后乘以0.8就是房子的总价．
【解答】解：（1）总面积是：xy+3x+6y+3x＝xy+6x+6y（m2），
答：这套房子的总面积为（xy+6x+6y）m2．
（2）当x＝5，y＝8时，
xy+6x+6y．
＝5×8+6×5+6×8
＝118（m2），
则购买这套房子共需要118×0.8＝94.4（万元），
答：购买这套房子共需要94.4万元．
10．（2022秋•睢宁县期中）某商场以每件m元的成本价购进了20件甲种商品，以每件n元的成本价购进了30件乙种商品，且m＞n．
（1）在销售前，该商场经过市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津．为了尽快减少库存，但又不能亏本，商场决定将甲种商品按成本价提高30%后标价出售，乙种商品按成本价的七折出售，则甲种商品的每件售价可表示为 　1.3m元　（用含m的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为 　0.7n元　（用含n的代数式表示）：
（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示该商场的获利；
（3）若该商场将两种商品都以每件元的价格全部售出，请判断他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由．
【分析】（1）由题意列式表示即可；
（2）利用甲种商品获得的利润减去乙种商品的亏损即可；
（3）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案．
【解答】解：（1）甲种商品按成本价提高30%后标价出售，甲种商品的每件售价可表示为（1+30%）m＝1.3m（元），
乙种商品按成本价的七折出售，乙种商品的每件售价可表示为0.7n元，
故答案为：1.4m元；0.7n元；
（2）由题意可知，小明爸爸的获利即为甲种商品获得的利润减去乙种商品的亏损，
20×30%m﹣30×（1﹣70%）n＝（6m﹣9n）（元），
∴小明爸爸获利（6m﹣9n）元；
（3）他这次买卖赚钱；
理由：50×﹣（20m+30n）＝5（m﹣n），
∵m＞n，
∴5（m﹣n）＞0，
∴他这次买卖是赚钱．
11．（2022秋•沭阳县期中）根据表，回答问题：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
﹣2x+5
…
9
7
5
3
a
…
2x+8
…
4
6
8
10
b
…
【初步感知】
（1）a＝　1　；b＝　12　；
【归纳规律】
（2）表中﹣2x+5的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+5的值就减少2．类似地，2x+8的值的变化规律是什么？
【问题解决】
（3）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为﹣7．
【分析】（1）将x＝2分别代入整式﹣2x+5和2x+8进行计算即可；
（2）根据表格中数据可得2x+8的值的变化规律；
（3）由题意可得此题结果是﹣x﹣7．
【解答】解：（1）由题意得，
当x＝2时，a＝﹣2×2+5＝1，
b＝2×2+8＝12，
故答案为：1；
（2）由表格中数据可得，2x+8的值的变化规律是：x的值每增加1，2x+8的值就增加2；
（3）由题意得，符合条件的代数式为：﹣x﹣7．
12．（2022秋•东台市期中）解下列方程：
（1）7x＝5x+4；
（2）．
【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1进行求解；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤进行求解．
【解答】解：（1）7x＝5x+4，
移项得7x﹣5x＝4，
合并同类项得2x＝2，
系数化为1得x＝1；
（2）去分母得3（x+1）﹣6＝2（2﹣3x），
去括号得3x+3﹣6＝4﹣6x，
移项得3x+6x＝4﹣3+6，
合并同类项得2x＝2，
系数化为1得x＝1．
13．（2022秋•天宁区校级期中）已知关于x的方程＝3x﹣2与＝x+的解互为倒数，求m的值．
【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．
【解答】解：解方程＝3x﹣2得，x＝1，
解方程＝x+得，x＝，
∵关于x的方程＝3x﹣2与＝x+的解互为倒数，
×1＝1，
解得m＝．
14．（2022秋•如东县期中）计算：
（1）计算：（）×（﹣30）；
（1）计算：﹣12020﹣6×（﹣）2+（﹣5）×（﹣3）；
（3）解方程：2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2）；
（4）解方程：＝1．
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可；
（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣27+2﹣5
＝﹣30；
（2）原式＝﹣1﹣
＝﹣1﹣+15
＝；
（3）2（2x+1）＝1﹣5（x﹣2），
去括号，得4x+2＝1﹣5x+10，
移项，得4x+5x＝1+10﹣2，
合并同类项，得9x＝9，
系数化为1，得x＝1；
（4）＝1，
去分母，得2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号，得4x+2﹣5x+1＝6，
移项，得4x﹣5x＝6﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣x＝3，
系数化为1，得x＝﹣3．
15．（2022秋•如东县期中）将连续的偶数2，4，6，8……，排成如表；如图，用十字框框住五个数，我们把中间的数叫十字数，如图中的16叫做十字数．
（1）若十字数是x，十字框内五个数的和是多少？（用x式子表示）
（2）若将十字框上下左右移动，小明认为十字框内五个数的和可以等于2015；而小红认为这五个数的和可以等于2000．请你判断两位同学的观点是否正确，若正确请求出十字数，若不正确请说明理由．
（3）若将所有的十字数按由小到大排列，第2022个十字数是 　6748　．

【分析】（1）由十字数是x，可找出十字框内另外的四个数，将五个数相加，即可用含x的代数式表示出十字框内五个数的和；
（2）小明的观点不正确，由（1）的结论结合十字框内五个数的和等于2015，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，由该值不为偶数，可得出小明的观点不正确；小红的观点不正确，由（1）的结论结合十字框内五个数的和等于2000，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，结合“10的倍数位于第5列，不能作为十字数”，即可得出小红的观点不正确；
（3）根据十字数的定义，可得出：除第一行以外，每行中间的三个数均可以为十字数，根据2022与3之间的关系，可得出第2022个十字数是第675行的第4个数，再找出该数，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵十字数是x，
∴十字框内另外的四个数分别为x﹣10，x﹣2，x+2，x+10，
∴十字框内五个数的和是x﹣10+x﹣2+x+x+2+x+10＝5x；
（2）小明的观点不正确，理由如下：
根据题意得：5x＝2015，
解得：x＝403，
又∵403不是偶数，
∴小明的观点不正确；
小红的观点不正确，理由如下：
根据题意得：5x＝2000，
解得：x＝400，
又∵10的倍数位于第5列，不能作为十字数，
∴小红的观点不正确；
（3）观察表格中的数，可知：除第一行以外，每行中间的三个数均可以为十字数．
∵2022÷3＝674，
∴第2022个十字数是第675行的第4个数，
∴该数为10×（675﹣1）+8＝6748．
故答案为：6748．
16．（2022秋•工业园区校级期中）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟．

月租费（元/月）
不加收通话费时限（分）
超时加收通话费标准（元/分）
套餐A
58
150
0.3
套餐B
88
350
0.2
（1）请用含t1（t1＞150）、t2（t2＞350）的代数式表示甲和乙的通话费用；
（2）若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；
（3）若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为 　250分钟　．
【分析】（1）利用通话费用＝月租费+超时加收通话费标准×超时的时间，即可用含t1，t2的代数式表示甲和乙的通话费用；
（2）根据甲、乙的通话费用相同，即可得出关于t2的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）当t1＝t2时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，分0＜t≤150，150＜t≤350及t＞350三种情况考虑，根据甲、乙的通话费用相同，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：甲的通话费用为58+0.3（t1﹣150）＝（0.3t1+13）元；
乙的通话费用为88+0.2（t2﹣350）＝（0.2t2+18）元．
（2）依题意得：0.2t2+18＝0.3×390+13，
解得：t2＝560．
答：乙的通话时间为560分钟．
（3）当t1＝t2时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，
当0＜t≤150时，显然不符合题意；
当150＜t≤350时，0.3t+13＝88，
解得：t＝250；
当t＞350时，0.3t+13＝0.2t+18，
解得：t＝50（不符合题意，舍去）．
∴若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为250分钟．
故答案为：250分钟．
17．（2022秋•南京期中）【知识回顾】
数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示x、y的数对应的两点之间的距离为|x﹣y|．借助数轴解决下列问题：
【概念理解】
（1）|x+3|表示数x和 　﹣3　所对应的两点之间的距离；
（2）代数式|x+3|+|x﹣5|的最小值为 　8　；
【继续推理】
（3）若|x+3|+2|x﹣5|＝10，则x的值为 　3和　；
【问题解决】
（4）已知代数式|x+3|+|2x﹣10|＝m（m是常数）．根据m的不同取值，写出对应的x的值（用含m的代数式表示）．
【分析】（1）根据题干给出的数轴上两点之间的距离可得结果；
（2）根据两点之间的距离的定义可知|x+3|+|x﹣5|的最小值就是|﹣3﹣5|；
（3）在（2）的基础上，可以看出，此时x在﹣3及右侧和5的左侧或5的右侧，再进行解答；
（4）在（2）的基础上，可知，m有三种取值：m＜8，8≤m＜16，m≥16，分别求解即可．
【解答】解：（1）|x+3|表示数x和﹣3所对应的两点之间的距离．
故答案为：﹣3；
（2）当﹣3≤x≤5时，代数式|x+3|+|x﹣5|的最小值为5+3＝8．
故答案为：8；
（3）当x在﹣3及右侧和5的左侧时，
x+3﹣2（x﹣5）＝10，
解得x＝3；
当x在5的右侧时，
x+3+2（x﹣5）＝10，
解得x＝．
故x的值为3和．
故答案为：3和；
（4）当m＜8时，x不存在；
当8≤m＜16时，x＝13﹣m或x＝；
当m≥16时，x＝或x＝．
18．（2021秋•泗阳县期末）如图1，小明买了一支铅笔和一个铅笔套．未开始使用时，铅笔长度比铅笔套长度的3倍多1cm，且铅笔长度比铅笔套长度多11cm．如图2，当铅笔套用于保护铅笔时，铅笔分界处到笔尖的距离比到套口的距离多1cm．
（1）求铅笔套的长度；
（2）如图2，铅笔使用一段时间后，当套口到铅笔顶部的距离等于套口到笔尖的距离时，测得套上铅笔套的整支笔长度为9cm，求套口到分界处的距离．

【分析】（1）设铅笔套的长度为xcm，根据铅笔长度比铅笔套长度多11cm，列一元一次方程，解出方程就可；
（2）结合（1）中的结论得出套口到铅笔顶部的距离，继而得出套口到分界处的距离；
【解答】解：（1）设铅笔套的长度为xcm，
根据题意列方程：3x+1﹣x＝11，
解得x＝5，
答：铅笔套的长度是5cm；
（2）设套口到铅笔顶部的距离为ycm，
根据题意列方程：y+5＝9，
解得y＝4，
设套口到分界处的距离为mcm，
根据题意列方程：m+m+1＝4，
解得m＝1.5，
答：套口到分界处的距离为1.5cm．
19．（2021秋•射阳县校级期末）某景区旅游团队的门票价格如下：
购票人数
不超过50人
超过50人，但不超过100人
超过100人
门票价格
100元/人
80元/人
60元/人
（1）甲旅游团共有40人，则甲旅游团共付门票费 　4000　元；
（2）乙旅游团共付门票费7200元，则乙旅游团共有 　90或120　人；
（3）丙，丁两个旅游团共有100人，其中丙旅游团人数不超过50人，两个旅游团先后共付门票费8600元，求丙、丁两个旅游团的人数．
【分析】（1）由费用＝单价×人数，可求解；
（2）分两种情况讨论，由人数＝费用÷单价，可求解；
（3）设丙旅游团人数为x人（0＜x＜50），由“两个旅游团先后共付门票费8600元”列出方程可求解．
【解答】解：（1）甲旅游团共付门票费＝40×100＝4000（元），
故答案为4000；
（2）当人数超过50人，但不超过100人，乙旅游团的人数为7200÷80＝90（人）；
当人数超过100人，乙旅游团的人数为7200÷60＝120（人）；
故答案为：90或120；
（3）∵丙，丁两个旅游团共有100人，丙旅游团人数不超过50人，
∴丁旅游团人数＞0且小于100，
设丙旅游团人数为x人（0＜x≤50），则丁旅游团人数为（100﹣x）人，
由题意可得：100x+80（100﹣x）＝8600，
解得x＝30，
∴100﹣x＝70（人），
答：丙旅游团的人数为30人、丁旅游团的人数70人．
20．（2022秋•南京期中）我们知道乌鸦喝水的故事．现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有定量的水，将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投入其中．显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化．根据如图信息，解答下列各题：
（1）投入第1个围棋子后，水位上升了 　0.25　cm，此时桶里的水位高度达到了 　12.25　cm；
（2）设投入了n个棋子，没有水溢出．用n表示此时桶里水位的高度；
（3）小亮认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由．

【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个围棋子后，量筒中的水面升高0.25cm；
（2）根据中间量筒可知，放入一个围棋子后，量筒中的水面升高0.25cm，由此可得水面高度与围棋子的个数之间的关系式；
（3）根据当n＝72时，0.25n+12＝30，即可得到答案．
【解答】解：（1）无小球时，水位12cm，加入12个围棋子时，水位增长了3cm，所以每增加一个小球，水位上升3÷12＝0.25cm．故投入第1个小球后，水位上升了0.25cm，此时量筒里的水位高度达到了12.25cm；
故答案是：0.25，12.25；
（2）∵每增加一个围棋子，水位上升0.25cm，
故桶里水位的高度为0.25n+12，
（3）同意．
理由：∵当n＝72时，0.25n+12＝30，
∴正好使水位达到桶的高度．
21．（2021秋•玄武区期末）如图，一个边长为10cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
（1）这个表面展开图的面积是 　500　cm2；
（2）你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；

（3）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 　4　条棱．
A．3
B．4
C．5
D．不确定

【分析】（1）先求出1个边长为10cm的正方形面积，再乘5即可求解；
（2）根据无盖正方体的表面展开图的特征即可求解；
（3）根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．
【解答】解：（1）10×10×5＝500（cm2）．
故这个表面展开图的面积是500cm2．
故答案为：500；
（2）如图所示：

（3）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱．
故答案为：B．
22．（2021秋•射阳县校级期末）如图是由7个相同小正方体组成的几何体，
（1）请在网格中画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图；
（2）图中共有 　7　个小正方体．
（3）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 　28　cm2．


【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据几何体的特征判断即可；
（3）根据表面积的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）图中各有7个小正方体，
故答案为：7．
（3）这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（cm）2，
故答案为：28．
23．（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，
∠AOC＝50°．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．

【分析】（1）根据∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；
（2）根据角平分线的定义求出∠AOD的度数即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，
∵OM平分∠BOE，
OM平分∠BOE，
∴∠BOM＝×140°＝70°，
∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；
（2）ON平分∠AOD，
∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，
∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DON＝∠AOD，
∴ON平分∠AOD．
24．（2022春•江都区期中）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．

【分析】根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠F＝∠A＝90°，∠FEN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM＝（180°﹣∠ENC）＝（180°﹣58°）＝61°，根据四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
25．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）45°10′﹣21°35′20″；
（2）48°39′+67°31′﹣21°17′；
（3）42°16′+18°23′×2．
【分析】（1）根据度分秒之间的进率解答；
（2）根据度分秒之间的进率解答；
（3）先计算乘法，再计算加法．
【解答】解：（1）原式＝44°69′60″﹣21°35′20″
＝23°34′40″；
（2）原式＝115°70′﹣21°17′
＝94°53′；
（3）原式＝42°16′+36°46′
＝79°2′．
26．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，BD＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且，求线段AE的长．

【分析】（1）根据中点定义，求得BC的长，再由线段的和差计算结果；
（2）分两种情况：①当点E在点B的右侧时，②当点E在点B的左侧时，分别根据线段的和差中点定义计算即可．
【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝4cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm）；
（2）①当点E在点B的右侧时，如图：

∵BD＝3cm，BE＝BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB+BE＝8+1＝9（cm）；
②当点E在点B的左侧时，如图：

∵BD＝3cm，BE＝BD，
∴BE＝1cm，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝7（cm）；
综上，AE的长为9cm或7cm．
27．（2021秋•射阳县校级期末）如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是线段AB上一点，且，求线段AE的长．

【分析】（1）先计算BD，再算CD．
（2）先算BE，再算AE．
【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点，
∴BC＝AB＝5（cm）．
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣4＝1（cm）．
（2）如图：

∵BE＝BD＝2（cm），
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣2＝8（cm）．
28．（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　40　°；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）

【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好点∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好点，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，分别解方程即可．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：

OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：

OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）

OD是OC的友好点
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）

OD是OA的友好点，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
29．（2021秋•亭湖区期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．

【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．
【解答】解：（1）①如图，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，

②如图，∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB．

综上，∠AOC+∠BOC＝∠AOB或∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB；
（2）有，射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
如图，

理由：当运动时间为9秒时，∠AOC＝15°×9＝135°，
则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝135°﹣90°＝45°，
因为∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOC＝∠BOD＝45°，
∴射线OB平分∠COD．
又∠BOD＝45°＝∠AOB，
∴射线OD平分∠AOB；
（3）①是．理由：
第（2）问中∠AOB＝90°，∠AOC＝135°，∠BOC＝45°，
则∠AOB＝2∠BOC，
所以OC是∠AOB的“优线”；
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AOB＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
30．（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝　2　，d2（点D，线段AB）＝　9　；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 　﹣8或5　；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 　﹣10或7　．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．

【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【解答】解：（1）∵点D表示的数为﹣7，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
d2（点D，线段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9，
故答案为：2，9．
（2）①当点M在点A的左侧：
有AM＝3，
∴m＝﹣8；
当点M在点B的右侧：
有BM＝3，
∴m＝5，
∴m的值为﹣8或5．
②当点N在点A的左侧：
有BN＝12，
∴n＝﹣10；
当点N在点B的右侧：
有AN＝12，
∴n＝7，
∴n的值为﹣10或7．

（3）分三种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴﹣x＝3（﹣5﹣x），
∴x＝﹣7.5，
当点E在线段AB上时，d1（点E，线段AB）＝0，不合题意舍去，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴x+7＝3（x﹣2），
∴x＝6.5，
综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．