福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 要使二次根式有意义，的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出答案．【详解】解：∵二次根式有意义，∴x-2022≥0，解得：x≥2022．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键．2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ）A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；D、方程x+＝7分式方程，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3. 观察下列每组图形，是相似图形的是（　　）A  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确；B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误；C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误；D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键．4. 下列二次根式是最简二次根式的是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，该选项符合题意；B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．5. 用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（    ）A. （x＋2）2＝1 B. （x﹣2）2＝1 C. （x＋2）2＝5 D. （x﹣2）2＝5【答案】D【解析】【分析】直接根据配方法的一般步骤进行计算即可得出答案．【详解】解：∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5，故选：D．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．6. 已知＝5，则的值是（    ）A.  B. ﹣ C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由=5，可得b=5a，然后代入，即可求出其值．【详解】解： ， ，且 ，则 ，故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a与b的关系，再确定a-b与a+b的关系．7. 下列计算正确是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵，∴选项A的结论不正确；∵，∴选项B的结论不正确；∵，∴选项C的结论不正确；∵，∴选项D的结论正确，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟记是解题的关键．8. 已知，和是它们的对应高线，若，则与的面积比是（　　）A. 25：9 B. 9：25 C. 5：3 D. 3：5【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵，和是它们的对应高线，若，∴两三角形的相似比为：，则与的面积比是：．故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．9. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019年至2021年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用2021年我国快递业务收入＝2019年我国快递业务收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10. 已知为实数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则（　　）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】D【解析】【分析】估算无理数的大小，确定的值，再代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴的整数部分，小数部分，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11. 比较大小：__________5．【答案】【解析】【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵，，而，∴，即．故答案为：<．【点睛】本题主要考查算术平方根的性质以及不等式的性质，熟练其性质是解题关键．12. 方程3x(x﹣1)=2(x+2)化成一般形式为_________.【答案】3x2-5x-4=0【解析】【详解】3x(x﹣1)=2(x+2)得，.13. 如图，AB是池塘两端，设计一方案测量AB的距离，首先取一点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE=15米，则AB=_____米.【答案】30【解析】【分析】根据三角形的中位线性质可得出AB＝2DE，由此代入数据即可解答．【详解】解：因为D、E分别是AC、BC的中点，所以DE是△ABC的中位线则AB＝2DE＝2×15＝30（米）答：AB＝30米．故答案为：30．【点睛】此题考查了三角形的中位线性质的实际应用，熟知：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．14. 方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程(2x﹣3)2+2(2x﹣3)﹣3＝0的解是__________．【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣3【解析】【分析】把（2x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同．【详解】解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3=0的解，由于另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0与已知方程的形式完全相同，∴2x+3=1或2x+3=﹣3解得x1=﹣1，x2=﹣3．故答案为：x1=﹣1，x2=﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出2x+3=1和2x+3=-3是解此题的关键．15. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是________． 【答案】##2b-2a【解析】【分析】先根据数轴的定义得出a<0，a−b<0，b>0再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．【详解】解：由题意得：a<0，a−b<0，b>0则=−a+(b−a)+b=−a+b−a+b=−2a+2b．故答案为：−2a+2b．【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出a<0，a−b<0，b>0是解题关键．16. 将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．【答案】2或【解析】【分析】设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，（1）当△B′FC∽△ABC时，有，即：，解得：；（2）当△B′FC∽△BAC时，有，即：，解得：；综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或故答案为2或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 计算：．【答案】【解析】【分析】先算除法并利用二次根式的性质将各项化简，再合并同类二次根式．【详解】解：=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质以及运算法则．18. 解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，【解析】【分析】用公式法求解一元二次方程即可．【详解】解：，，判别式则，【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．19. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D、E分别在线段AB、AC上，BD＝2，CE＝5，求证：△AED∽△ABC．【答案】见解析【解析】【分析】首先计算和，得到，结合∠A为公共角，即可证明结论．【详解】证明：∵AB＝6，AC＝8，BD＝2，CE＝5，∴，，∵，，∴，又∵∠DAE=∠CAB，∴△AED∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键．20. 若关于y方程的两个实数根互为相反数，求的值．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，利用两根之和为0得到，然后求出m后利用乘方的意义计算的值．【详解】解：设的两实数根为α，β，则，∵关于y方程有两个实数根互为相反数，∴，∴，解得，经检验，时，原方程有两个不等实数根，∴．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两个根互为相反数，则”是解本题的关键．21. 如图，O为原点，两点坐标分别为，．（1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；（2）分别写出两点的对应点的坐标；（3）已知为内部一点，写出的对应点的坐标．【答案】（1）见解析    （2）点    （3）点的坐标为【解析】【分析】（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可直接得出答案．（3）观察点的变化规律，可得答案．【小问1详解】解：如图，即为所求．【小问2详解】解：由图可得，点．【小问3详解】解：由题意得，点的坐标为．【点睛】本题考查了位似图形的作图及性质，根据题意正确地作出已知图形的位似图形是解题的关键．22. 某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米．（1）若墙长为米，要围成的鸡场面积是平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成的鸡场面积能达到平方米吗？说明理由．【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米    （2）围成的鸡场面积不能达到平方米，理由见解析【解析】【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，根据根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到平方米．【小问1详解】解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，依题意得：，整理得：，解得：，．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．答：鸡场的长为米，宽为米．【小问2详解】解：围成的鸡场面积不能达到平方米，理由如下：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，依题意得：，整理得：，∵，∴该方程没有实数根，∴围成的鸡场面积不能达到平方米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时”，方程无实数根．23. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，．（1）求的长；（2）若，在上述条件和结论下，求的长．【答案】（1）6    （2）【解析】【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论．（2）由，推出，可得结论．【小问1详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴．【小问2详解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．24. 已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC ．（1）当x＝2时，△ABC最长边的长度是        （请直接写出答案）；（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【答案】（1）3    （2）＋5    （3）【解析】【分析】（1）依据△ABC三条边的长度分别是，，，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；（2）依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长；（3）依据（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．【小问1详解】解：当x＝2是，，，∴△ABC的最长边的长度是3；【小问2详解】解：由题知：解得∴，∴C△ABC＝＋＋＝＋5−x＋x＝＋5【小问3详解】解：∵C△ABC＝＋5，且又∵x为整数，且C△ABC有最大值，∴ ∴当x＝4时，三边长度分别为1，4，，但，不满足三角形三边关系∴x≠4当x＝3时，三边长度分别为2，2，3，满足三角形三边关系．此时C△ABC的最大值为7不妨设a＝2，b＝2，c＝3．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．25. 已知关于的方程有两个相等的实数根．（1）求、满足的关系式；（2）如图，若的直角顶点在轴上，，B的横坐标为，且的长恰好为方程的解．①过点作轴，交于点，求证：为定长；②求面积的最小值．【答案】（1）    （2）①证明见解析；②面积的最小值是【解析】【分析】（1）由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，代入计算即可；（2）①作辅助线，证明，可得的长，进而得点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，由点的横坐标可得的长；②利用三角形的面积和，可得的面积，再根据完全平方公式，可得的最小值，从而得结论．【小问1详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，∴；【小问2详解】①证明：如图，过作轴于，∵的长恰好为方程的解，∵方程的解为：，∴，∵点的横坐标为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，设的解析式为，则，∴，∴的解析式为：，当时，，∴为定长；②解：由①知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值是，∴面积的最小值是．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系的点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、完全平方公式，解本题的关键在利用参数表示点的坐标和线段的长．