2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市浙教版八年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市浙教版八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市慈溪市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）.
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
4．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解（　　）
A．2 B． C． D．﹣3
5．能说明命题“对于任何实数a，都有|a|＝a”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B． C．a＝1 D．
6．如图，用尺规作出∠AOB的角厉分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方迲是（　　）

A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．62° D．64°
9．若不等式组有解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
10．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2.四边形HGFP的面积为S3，△GEF面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 　 　．
12．命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是　 　．
13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　 　．

14．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝4，EC＝1，则DE的长为　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　 　．

三、解答题.（第17、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列不等式（组）
（1）求不等式的解2（3x+2）﹣2x＜0；
（2）解不等式组．
18．（1）在图1中，用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．（保留作图痕迹）
（2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为的直角三角形（各边均为无理数）．


19．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数．

20．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．

21．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．

22．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：

A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
23．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE．
（1）连接AF、OE，求证AF＝OE；
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．


24．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝2，则BD长为 　 　，∠B的度数为 　 　．
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线．
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC2＝80．若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积．




参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，从而确定三角形的形状．
解：∵∠A＝37°，∠B＝53°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
【点评】主要考查了三角形内角和定理：三角形三内角的和等于180°．
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3＝6＝6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解（　　）
A．2 B． C． D．﹣3
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜﹣，
因为只有﹣3＜﹣，
所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
5．能说明命题“对于任何实数a，都有|a|＝a”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B． C．a＝1 D．
【分析】根据真假命题的定义及绝对值的性质解答．
解：根据绝对值的性质“一个非负数的绝对值是它本身，一个非正数的绝对值是它的相反数“，
可知：|a|＝a时，a为非负数，不是任何实数，故选A．
【点评】本题考查了命题与定理，掌握真假命题的概念是解题的关键．
6．如图，用尺规作出∠AOB的角厉分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方迲是（　　）

A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【分析】由作图可得CO＝DO，CE＝DE，OE＝OE，可利用SSS定理判定三角形全等．
解：在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形全等的判定方法，解决本题的关键是掌握判定两个三角形全等的方法．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，即可求解．
解：∵AB＝AC，AD是高线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝4，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴S△ADE＝S△BDE＝S△ABD＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，△ABC≌△A′B′C′，若A′B′恰好经过点B，A′C′交AB于D，则∠BDC的度数为（　　）

A．50° B．60° C．62° D．64°
【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，再得到对应边CB＝CB′，再根据等边对等角求出∠B′BC的度数，然后根据三角形内角和定理得到∠B′CB，∠BDC的度数即可．
解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝20°，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，CB＝CB′，
∵∠B′＝∠CBA＝70°，
∵CB＝CB′，
∴∠B′＝∠B′BC＝70°，
∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．
9．若不等式组有解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≥2 C．m＜1 D．1≤m＜2
【分析】本题实际就是求这两个不等式的解集．先根据第一个不等式中x的取值，分析m的取值．
解：原不等式组可化为（1）和（2），
（1）解集为m≤1；（2）有解可得m＜2，
则由（2）有解可得m＜2．
故选：A．
【点评】本题除用代数法外，还可画出数轴，表示出解集，与四个选项对照即可．同学们可以自己试一下．
10．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD的面积为S1，四边形DCEG的面积为S2.四边形HGFP的面积为S3，△GEF面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【分析】设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，S3+S阴影＝（c﹣a），S3+S4＝b，把b＝c﹣a代入即可得到结论．
解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，
如图2，∵S3+S阴影＝（c﹣a），S3+S4＝b，
∵c＝a+b，
∴b＝c﹣a，
∴S3+S阴影＝S3+S4，
∴S4＝S阴影，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S4，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．“x的2倍与3的差是非负数，”用不等式表示为 　2x﹣3≥0　．
【分析】首先表示出x的2倍与3的差为2x﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x﹣3≥0．
解：由题意得：2x﹣3≥0．
故答案为：2x﹣3≥0．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
12．命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是　如果a＝0，则ab＝0　．
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答．
解：命题“如果ab＝0，则a＝0”的逆命题是“如果a＝0，则ab＝0”，
故答案为：如果a＝0，则ab＝0．
【点评】本题考查的是逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　5　．

【分析】设EC＝x，在Rt△ABE中，由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，即可解得答案．
解：设EC＝x，则BE＝8﹣x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE＝EC＝x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴EC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能应用勾股定理列方程解决问题．
14．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于　﹣6　．
【分析】先用字母a，b表示出不等式组的解集2b+3＜x＜，然后再根据已知解集是﹣1＜x＜1，对应得到相等关系2b+3＝﹣1，＝1，求出a，b的值再代入所求代数式中即可求解．
解：解不等式组可得解集为2b+3＜x＜
因为不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以2b+3＝﹣1，＝1，
解得a＝1，b＝﹣2代入（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝4，EC＝1，则DE的长为　　．

【分析】根据直角三角形的性质得到GA＝GD，得到∠GAD＝∠GDA，根据三角形的外角的性质得到∠DGC＝∠DCG，得到DC＝DG，根据勾股定理计算即可．
解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴AD⊥DE，∠CAD＝∠ACB，
∵∠ACD＝2∠ACB，
∴∠ACD＝2∠CAD，
∵AD⊥DE，G为AF的中点，
∴GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DC＝DG＝4，
∴DE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　　．

【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得结论．
解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．

∵∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝5，
∴BC＝，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝，
∴PM+MN+PN≥，
∴PM+MN+PN的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短．
三、解答题.（第17、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．解下列不等式（组）
（1）求不等式的解2（3x+2）﹣2x＜0；
（2）解不等式组．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去括号得：6x+4﹣2x＜0，
移项合并得：4x＜﹣4，
系数化为1得：x＜﹣1，
∴不等式的解集为x＜﹣1；
（2），
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（1）在图1中，用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P．（保留作图痕迹）
（2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为的直角三角形（各边均为无理数）．


【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可．
解：（1）如图1中，直线EF，点P即为所求；
（2）如图2中，△ABC即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，无理数，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，易得∠BAD＝2∠C；由等腰三角形的性质及三角形内角和定理，易知：∠ABD＝（180°﹣∠BAD），由此可求出∠ABD的度数．
解：∵AB＝AC，∠C＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵DA＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝65°．
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形外角的性质；先找着各角之间的关系利用三角形外角的性质求解角度是熟悉解题的常用方法之一，要熟练掌握．
20．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．

【分析】（1）由△ABD≌△CFD，得出∠BAD＝∠DCF，再利用三角形内角和即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝DC，即可得出BD＝DF，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；

（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．

【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键．
21．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD＝∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝DE，再根据等边对等角证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC＝OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．
【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC；

（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC＝OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
22．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表：

A型车销售量（辆）
B型车销售量（辆）
总利润（元）
第一周
10
12
2240
第二周
20
15
3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各销售方案，再利用总利润＝每辆的利润×销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
解：（1）依题意得：，
解得：．
答：a的值为80，b的值为120．
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得：，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12．
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80+15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80+14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80+13×120＝2520（元）．
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE．
（1）连接AF、OE，求证AF＝OE；
（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．


【分析】（1）证△ABF≌△EBO（SAS），即可得出结论；
（2）过E作ED⊥OM于点D，先证△EBD≌△BAO（AAS），得DE＝OB，DB＝OA＝8，再证△DPE≌△BPF（AAS），得PB＝PD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，
∴BF＝BO，BA＝BE，∠OBF＝∠ABE＝90°，
∴∠ABF＝∠EBO＝90°+∠ABO，
在△ABF和△EBO中，
，
∴△ABF≌△EBO（SAS），
∴AF＝OE；
（2）解：PB的长度不变，理由如下：
如图，过E作ED⊥OM于点D，
∵AO⊥OM，BF⊥OM，
∴∠BDE＝∠AOB＝∠PBF＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，
在△EBD和△BAO中，
，
∴△EBD≌△BAO（AAS），
∴DE＝OB，DB＝OA＝8，
∵OB＝BF，
∴DE＝BF，
在△DPE和△BPF中，
，
∴△DPE≌△BPF（AAS），
∴PD＝PB，
∴PB＝DB＝×8＝4，
∴PB的长度不变，PB的长度为4．

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝2，则BD长为 　　，∠B的度数为 　45°　．
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线．
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC2＝80．若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积．


【分析】（1）利用勾股定理求出AD，再根据等腰直角三角形的性质求出BD即可；
（2）证明∠EBD＝90°，DE＝DC，可得结论；
（3）如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CD＝1，AC＝2，
∴AD＝＝＝，
∵△ABC是智慧三角形，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝，∠B＝45°，
故答案为：，45°

（2）证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
∵△EDB是直角三角形，
∴△BEC是智慧三角形，ED是△EBC的智慧线；

（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．

有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形．
∵BC2＝80，
∴BC＝4，
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2，
∴AH＝＝＝，
∵S△ABC＝•BC•AH＝•AB•CD，
∴CD＝＝4，
∴AD＝＝＝3，
∴S△BCD＝•BD•CD＝×8×4＝16，
设CD′＝x，DD′＝y，
∴，
解得，
∴S△CBD′＝××4＝，
综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了智慧三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．