专题18.46 平行四边形几何模型——中点四边形（专项练习）-2八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.46 平行四边形几何模型——中点四边形（专项练习）-2八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.46 平行四边形几何模型——中点四边形
（专项练习）
一、单选题
1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是　　
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
2．若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（       ）
A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的四边形 D．矩形
二、填空题
3．四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________．
4．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形．

5．顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是___________．
6．依序连接菱形各边中点所得的四边形是___________（指特殊四边形）．
7．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是________．
8．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是______形．
9．若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________
10．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加______________条件，才能保证四边形是矩形．

三、解答题
11．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？




12．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 　 　．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．



13．(1)任意四边形四边中点围成的四边形是__________；
(2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是__________；
(3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是__________；并证明．



14．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．





15．把顺序连结四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形？
（3）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是矩形？




16．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点，中点四边形是_______________．
（2）如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．





17．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．




18．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形．
（2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点．
①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积．
②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由．
























参考答案
1．B
【解析】
【分析】
中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形．由此即可解答.
【详解】
选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故选B.
【点拨】本题考查了中点四边形的性质，熟知中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质是解决问题的关键.
2．B
【解析】
【详解】
因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.
故选B.
3．菱形
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理和菱形的判定定理，即可得到答案．
【详解】
解：∵E，F分别是DC，AD的中点，
∴EF=AC，EF∥AC，
同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=GF，
∴平行四边形EFGH为菱形．
故答案是：菱形．

【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．
4．AC⊥BD，AC=BD## AC=BD， AC⊥BD
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理即可得解．
【详解】
解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
【点拨】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理是解题的关键．
5．正方形
【解析】
【分析】
根据中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定即可求解．
【详解】
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形各边的中点所得的四边形是正方形．
故答案为：正方形．
【点拨】本题考查对角线互相垂直四边形的性质,中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定,掌握对角线互相垂直四边形的性质,中点四边形性质,中位线,正方形性质与判定是解题关键.．
6．矩形
【解析】
【分析】
由菱形和中位线的性质可得四边形EFGH是矩形．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，E，F，G，H是各边的中点，
∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥GF，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案是：矩形．

【点拨】本题主要考查矩形的判定定理以及菱形的性质，中位线的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
7．
【解析】
【分析】
如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=，GF=AE=，再根据菱形四条边相等的性质，可得出AC与BD的关系．
【详解】
如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

∵点E、F是AB、BC的中点
∴EF=
同理可得：AG=EF=，GF=AE=
∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH
∴只需AC=BD即可
故答案为：AC=BD
【点拨】本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质，解题关键是得出AG=EF=，GF=AE=．
8．平行四边形
【解析】
【分析】
根据中点四边形的性质判断即可；
【详解】
如图所示，

四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案是平行四边形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键．
9．AC⊥BD
【解析】
【分析】
如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【详解】
顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由：
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直．
故答案为AC⊥BD．

【点拨】此题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论．
10．ACBD
【解析】
【分析】
根据中位线的性质易得四边形EFGH为平行四边形，那么只需让一组邻边互相垂直即可，然后只需要证明∠2为90°即可．
【详解】
解：∵E、F为AD、AB中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=BD，
同理可得GH∥BD，GH=BD，FG∥AC，FG=AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD.

【点拨】本题考查矩形的判定，有一个角是90°的平行四边形是矩形和中位线定理，解题的关键是了解矩形的判定定理，难度不大．
11．（1）平行四边形，理由见解析；（2）平行四边形；理由见解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证．
【详解】
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1：

∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴ ， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴ ， ，
∴EH∥GF，EH =FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2：

∵E，F分别是DA，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= ，
∵M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形MNEF是平行四边形；
（3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下：
已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF=BD，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH= AC，
又∵AC=BD，
∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形，
理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD， ，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形；
如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形，理由如下：
已知正方形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF∥BD，GF=BD，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，

∴AC⊥EH，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是正方形．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形
【解析】
【分析】
（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．
【详解】
解：（1）如图1，连接BD，

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，
理由：如图2，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∴EF=FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（3）结论：四边形EFGH是正方形，
理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中点四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．
13．     平行四边形     菱形     矩形
【解析】
【分析】
（1）连接任意四边形的中点，如图，连接AC，根据三角形的中位线定理，可以证得HG=FE= AC，并且HG∥EF，所以利用平行四边形的判定定理可知，该中点四边形是平行四边形． 
（2）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF的一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形． 
（3）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF中有一个角是直角，所以根据矩形的定义可知该中点四边形是矩形．
【详解】
（1）如图所示，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
连接AC，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线，
∴HG∥AC∥EF，HG=EF=AC，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图所示，四边形ABCD的对角线AC=BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得，HG=EF=AC，
∵AC=BD，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形；

（3）如图所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
解：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得，HG∥AC∥EF，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥BD⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．

【点拨】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合解答．
14．（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析
【解析】
【分析】
（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可．
【详解】
（1）解：（1）①连接AC、BD，

∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
故答案为：菱；矩；
（2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：
分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
【点拨】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键．
15．（1）平行四边形；理由见解析；（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形.
【解析】
【分析】
（1）连接BD、由点E、H分别为边AB、AD的中点，同理知FG∥BD、FG=BD，据此可得EH=FG、EH∥FG，即可得证；
（2）同理根据对角线相等，可知邻边相等，中点四边形是菱形；
（3）同理根据对角线互相垂直，可知有一个角是直角，中点四边形是矩形．
【详解】
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由是：
如图1，连接BD，

∵点E、H分别为边AB、AD的中点，
∴EH∥BD、EH=BD，
∵点F、G分别为BC、DC的中点，
∴FG∥BD、FG=BD，
∴EH=FG、EH∥FG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；
证明：与（1）同理：EH=FG=BD=AC=EF=HG，得它的中点四边形是菱形；
（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形；
证明：与（1）同理：EH∥FG∥BD，AC∥EF∥HG，
∵AC⊥BD，
∴EH、FG分别与EF、HG垂直，
∴得它的中点四边形是矩形．
【点拨】本题主要考查中点四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形的判定与性质．
16．（1）平行四边形；（2）四边形是菱形，证明见解析；（3）四边形是正方形．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理可得：EH∥FG，，然后利用平行四边形的判定定理即可证明；
（2）四边形EFGH是菱形．先证明，得到，再利用三角形中位线定理可得，根据菱形的判定定理即可证明；
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明，利用，得，即可证明，然后根据正方形的判定定理即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图1中，连接BD，

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，，
∴EH∥FG，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：如图2中，连接，，

∵，
∴
即，
在和中，
，
∴，
∴
∵点，，分别为边，，的中点，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（3）四边形EFGH是正方形，
证明：如图2中，设AC与BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【点拨】题目主要考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位线的性质，熟练掌握知识点并作出相应辅助线是解题关键．
17．（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得；
（2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形．
【详解】
（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：
连接AC，如图，

在△ABC和△ADC中，
∵EF、GH分别为其中位线，
∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形，
连接BD ，如图，

在△BCD中，
∵GF为其中位线，
∴GF=BD ，
∵EF=AC（已证），且AC=BD，
∴EF=GF ，
又∵四边形EFGH为平行四边形（已证），
∴四边形EFGH为菱形．
【点拨】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半．
18．（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当时，四边形是正方形，首先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角即可；
（2）①如图2中，作于．根据计算，求出相关线段即可；②如图3中，设与相交于点，连接，只要证明当且、、共线时，四边形的面积最大即可．
【详解】
解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，
矩形的对角线相等，
矩形一定是等角线四边形，
故答案为：矩形；
②当时，四边形是正方形．
理由：如图1，

、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是正方形．
故答案为：；
（2）①如图2，作于．

在中，，，，
，
，，
，
四边形是等角线四边形，
，
在中，，



．
四边形的面积为；
②如图3中，设与相交于点，连接，

作于，于．则，，
四边形是等角线四边形，
，
，
即，
当、重合时，即时，等号成立，
，
，
即线段最大时，四边形的面积最大，
，
，
，
的最大值为6，
当、、共线时，取等号，
四边形的面积的最大值为．
故答案为：18．
【点拨】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是理解等角线四边形的定义，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．