专题18.32 与四边形有关几何模型-构造平行四边形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.32 与四边形有关几何模型-构造平行四边形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共41页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.32 与四边形有关几何模型-构造平行四边形
（专项练习）
一、单选题
1．如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（ ）

A．13 B．10 C．12 D．5
2．如图，在中，，，点、分别是边及延长线上的动点，且，连接，交于点，过点作交于点，设，，则下列能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，中，点是的中点，，，则长（ ）．

A．7 B．8 C．9 D．10
4．在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为( )s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（ ）

A．2 B．3 C．6 D．2或6

二、填空题
5．如图，在梯形中， ，对角线，且，则梯形的中位线的长为_________.

6．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积是_____．


三、解答题
7．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．



8．如图所示，，是的中点，，，求证．



9．如图所示，中，，，分别为，上一点，，，求证：.





10．已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．

（1）求证：
（2）如图2，在延长线上，且，求证：

（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．

11．如图，D为ABC的AB边上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD．
（1）当AB=AC时，求证：DE>BC
（2）当AB≠AC时，DE与BC有何大小关系？给出结论，画出图形，并证明．

12．如图所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求证：.




13．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）．
（3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论．




14．如图所示，四边形中，，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.




15．如图所示，是的中线，，求证：.




16．如图所示，在三角形中，是中线及角平分线，求证：.




17．如图所示，中，是的中点，，，.求证：.



18．如图所示，中，，于，平分交于，交于，交于.求证：.




19． 如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．
（1）若 ，求的大小．
（2）求证：．
（3）若正方形的边长为1，，求的长．



20．如图，四边形ABCD中，，，，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ分原四边形为两个新四边形；则当P，Q同时出发_____秒后其中一个新四边形为平行四边形．



21．如图所示，四边形中，，以，为边作平行四边形，的延长线交于，求证：.

22．如图1，在▱ABCD中，BD＝6，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，动点E在边上，，动点F在射线BD上，BF＝5x．
（1）若点P是BC边上一点，在点E，F运动过程中，是否存在x的值，使得以P，D，E，F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G．过点E作交DG的于点H连接FH，把△DHF沿FH翻折得到△D'HF，当D'F与△DBG的一边平行时，HG的长　 　．（直接写出答案）

23．如图，在△ABC中，已知∠BDC＝∠EFD，∠AED＝∠ACB．
（1）试判断∠DEF与∠B的大小关系，并说明理由；
（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S△DEF＝4，S△ABC=







参考答案
1．B
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．

【点拨】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】
过点作交于点，证明与均为等腰直角三角形，得到， ，从而证明 ，得到，，根据，再利用中，，，求出，得到 ，故函数图象是平行于轴的直线的一部分，即可判断.
【详解】
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
如解图，过点作交于点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴其图象是平行于轴的直线的一部分，
故选C.

【点拨】
此题主要考查函数图像与几何综合，解题的关键是熟知平行四边形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的运用.
3．C
【分析】
求BE的长，可转化为，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD，使，连接BG，CG，判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H，使，判断四边形BECI为平行四边形，求证即可求解．
【详解】
延长AD，使，连接BG，CG，
∵，，
∴四边形ABGC为平行四边形，
∴，
在DG上取一点H，使，连接并延长交于，


∵，
∴四边形BECI为平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答本题的关键．
4．D
【分析】
分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】
①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选D．
【点拨】
本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
5．5
【详解】
解：过C作CE∥BD交AB的延长线于E，

∵AB∥CD，CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD
∵等腰梯形ABCD中，AC=BD∴CE=AC
∵AC⊥BD，CE∥BD，
∴CE⊥AC
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AC=，
∴AE =AC=10，
∴AB+CD =AB+BE=10，
∴梯形的中位线=AE=5，
故答案为5．
【点拨】
本题考查了梯形的中位线定理，牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法．
6．8
【分析】
连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．
【详解】
连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，

∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC＝3CF
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝24，
∴CF×hCF＝16，
∴阴影部分的面积是×16＝8，
故答案为：8．
【点拨】
此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键．
7．证明见解析
【分析】
方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．
方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.
【详解】
方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC

方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，
则.
，，
，
.
，，
，，
又，
，
.

【点拨】
本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.
8．见解析
【分析】
延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，构造平行四边形，利用条件证明△ABF≌△CAD，可得出∠BAF＝∠ACD，再结合条件可得到∠ANC＝90°，可证得结论．
【详解】
证明：延长AM到F，使MF＝AM，交CD于点N，
∵BM＝EM，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF＝AE，∠ABF＋∠BAE＝180°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＋∠BAE＝180°，
∴∠ABF＝∠CAD，
∵BF＝AE，AD＝AE，
∴BF＝AD，
在△ABF和△CAD中，，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF＝∠ACD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°，
∴∠ACD＋∠CAF＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴AM⊥CD．

【点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，通过辅助线构造平行四边形证明三角形全等得到∠BAF＝∠ACD是解题的关键．
9．见解析
【解析】
【分析】
过作，且，连，，则ADBG为平行四边形．再证明，则GE=BE，得△ADF为等腰直角三角形即可证明结论
【详解】
证明：过作，且，连，，则四边形为平行四边形，

∵∠C=90°，
∴∠GAE=∠C=90°，
在△AEG和△CBE中，
，
，
∴GE=BE，∠GEA=∠EBC，
∴∠GEB=90°.
为等腰直角三角形，
∴
【点拨】
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，平角的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7
【分析】
（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可证明△AEB≌△AFC，即可解答；
（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；
（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得，FK=16，过点A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=,，从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）连接AC，如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠BAE+∠EAC=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACP=60°，
∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，
∴∠BAE=∠CAP，
在△AEB和△APC中， ，
∴△AEB≌△APC，
∴BE=CF
∴；

（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H

∵FH∥AB
∴∠H=∠CGH=60°
∴△FHC是等边三角形
∴CF=CH=FH
又∵△ABC是等边三角形
∴CA=CB
∴AF=BH
又∵FB=FE
∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC
在△HBF和△CEF中
∴△HBF≌△CEF
∴BH=EC
∴AF=EC
（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，

∵BK∥FC，FH∥AB
∴四边形KBAF是平行四边形
∴KB=AF=EC=6，
∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16
过点A作AM⊥FH
由（2）可知，∠CFH=60°
∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°
∴MF=,
∴KM=16-3=13
在Rt△AKM中，
∴AO=7．
【点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点．
11．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：
（1）如图1，过点D作DF∥BC，过点C作CF∥AB，连接EF，从而可得DF=BC，这样就把分散的线段集中到了△DEF中，只需证DE>DF即可；易证∠1=∠2，∠3=∠4，∠3>∠5，从而可得∠DFE>∠DEF，∴DE>DF，从而得到：DE>BC；

（2）当ABAC时，我们要分AB>AC和ABAC，且AB=AE时，如图2，结合已知条件此时我们易证△ABC≌△AED，从而得到BC=DE；

②当AB>AC，且AB>AE时，如图3，延长AE到F，使AF=AB，在AB上截取AN=AC，易证△ABC≌△AFN，得到∠F=∠B；再过D作DM∥BC，过C作CM∥BD，得到四边形DBCM是平行四边形，由此可得∠DMC=∠B=∠F，DM=BC；连接ME，则法通过在△DME中证∠DEM>∠DME得到DM>DE，从而得到BC>DE；

③当AB>AC，且AB∠F得到∠ABC>∠AED；再作DM∥BC，CM∥AB，可得四边形DBCM是平行四边形，得到DM=BC，∠DMC=∠ABC，就可得∠DMC>∠AED；连接ME，在△DME中通过证∠DME>∠DEM，得到DE>DM，就可得到DE>BC；

④当AB