专题 19.1 变量与函数（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 19.1 变量与函数（知识讲解）

【学习目标】

1．理解变量、常量的基本概念，并能识别函数中的常量和变量；

2．能初步理解函数的概念；掌握一些简单的函数中的变量取值范围，给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；

3．初步理解函数的三种表示法-解析法、列表法、图象法；

【要点梳理】

 要点一、变量、常量

  在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量 ；数值始终不变的量叫做常量。

 要点二、函数的概念

函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

概念特征：唯一性、确定性

 要点三、函数中自变量取值范围的常见求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数；

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；

       用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数；

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围；

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

【典型例题】

类型一、函数概念 

1．下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量，如果对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数．

（1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义；

（3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；

（4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；

（5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数；

故选：B．

【点拨】本题主要考查函数的定义，知晓函数的定义并且准确的判断出结论是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（       ）

A．B．C． D．

【答案】B

【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x和y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．

解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应，

所以A、C、D不合题意．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

【变式2】变量，有如下关系：①；②．其中是的函数的是________．（填序号）

【答案】①

【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可．

解：①y=3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；

②y2=8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；

故答案为：①．

【点拨】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应．

类型二、函数解析式 

2．如图，长为32米，宽为20米的长方形地面上，修筑宽度均为m米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是60元/米2．

(1)  写出买地砖需要的钱数y（元）与m（米）的函数关系式_________．

(2)  计算当m＝3时，地砖的费用．

【答案】(1) ；(2) 8820元

【分析】

（1）利用地砖的钱数=阴影部分的面积×60，即可列出钱数y（元）与m（米）的函数关系式；

（2）把m＝3直接代入（1）中的函数关系式求值即可．

(1) 解：根据题意得，

∴ ；

故答案为：；

(2)  当时，（元），

∴当时，地砖的费用为8820元．

【点拨】本题考查了列函数关系式及求函数值，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 在直角坐标系中，已知点A（8，0），动点P（x，y）在第一象限，且x＋y＝10，△OPA的面积为S．求：

(1)  S关于x的函数表达式，并求x的取值范围．

(2)  当S＝28时，点P的坐标．

【答案】(1)；(2)（3，7）．

【分析】

（1）首先把x+y=10，变形成y=10-x，再利用三角形的面积求法：底×高÷2=S，可以得到S关于x的函数表达式；由P在第一象限，可得到x的取值范围；

（2）把S=28代入函数解析式即可得答案．

解：(1) ∵x+y=10，

∴y=10-x，

∴S=×8×（10-x）=40-4x，

即S关于x的函数表达式为S=40-4x；

∵P（x，y）在第一象限，

∴ x＞0且y＞0，

∴ x＞0且10-x＞0，

∴x的取值范围是0＜x＜10；

（3）∵S=28，

∴28=40-4x，

解得x=3，

∴y=10-3=7，

∴当S=28时，点P的坐标是（3，7）．

【点拨】此题考查了列函数表达式，以及三角形的面积，解题时一定要注意自变量的取  值范围．

【变式2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6立方米时，水费按a元/立方米收费；每户每月用水量超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/立方米收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：

（1）求a、c的值；

（2）写出每月用水量x不超过6立方米和超过6立方米时，水费y与用水量x之间的关系式；

（3）已知某户5月份的用水量为8立方米，求该用户5月份的水费．

【答案】（1）a=1.5，c=6；（2）时，，时，；（3）该用户5月份的水费为21元．

【分析】

（1）根据题意列出方程组，解出即可求解；

（2）分时和当时，列出函数关系式，即可求解；

（3）根据 ，将 代入，即可求解．

解：（1）根据题意得：

，

解得： ；

（2）当时，，

当时，；

（3）∵ ，

∴该用户5月份的水费（元）．

【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，求函数值，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

类型三、函数自变量的取值范围 

3．已知三角形的周长为y(cm),三边长分别为9cm，5cm，x(cm)．

(1)  求y关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围．

(2)  当x=6时，求y 的值．

(3)  当y=19.5时，求x的值．

【答案】(1) y=14+x（4<x<14）；(2) y =20； (3) x=5.5

【分析】

（1）根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据三角形三边的关系，可得自变量的取值范围；

（2）根据自变量的值，代入函数关系式，可得函数值；

（3）根据函数值，代入函数关系式，可得自变量的值．

解：(1)  由三角形的周长公式，得：

y=9+5+x，即y=14+x

由三角形得三边的关系，得：

9-5<x<9+5，即4<x<14．

（2）当x=6时，y=14+6

解得：y=20．

(3) 当y=19.5时，19.5=14+x

解得：x=5.5．

【点拨】本题考查了函数关系式，利用了三角形的周长公式，三角形三边的关系．

举一反三：

【变式1】求函数的自变量的取值范围．

【答案】或.

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0且分母不为0，即可得出自变量的取值范围．

解：要使函数有意义，

则， 即①或②，

解不等式组①得，

解不等式组②得

∴自变量取值是或．

【点拨】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，必须满足分母不为0，若函数表达式中有二次根式，则也要满足被开方数大于等于0．

【变式2】求出下列函数中自变量的取值范围

（1）；    （2）；    （3）

【答案】（1）且； （2）且； （3）

【分析】

（1）根据分式有意义的条件和零指数幂底数不为0进行求解即可；

（2）根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可；

（3）根据二次根式有意义的条件进行求解即可．

解：（1）要使有意义，需，解得且；

（2）要使有意义，需，解得且；

（3）要使有意义，需，解得．

【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂底数不为0，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

类型四、求函数自变量的值或函数值 

4．当和时，分别求出下列函数的函数值：

(1)                 (2)

【答案】(1) 当时，y=；当时，y=11

(2) 当时，y=4；当时，y=4

【分析】

（1）分别把和代入计算即可；

（2）分别把和代入计算即可；

解： (1)  当时，==；

当时，==11；

（2）当时，==4；

当时，==4；

【点拨】本题考查了求函数值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．

举一反三：

【变式1】函数y＝－x2＋4，当函数值为－4时，自变量x的取值为________，当函数值为4时，自变量x的取值为________．

【答案】     ±2     0

【分析】分别将函数值代入函数关系式，然后解方程即可求出自变量x的值．

解：函数值为-4时，-x2+4=-4，

x2=8，

x=±2；

函数值为4时，-x2+4=4，

x2=0，

x=0．

故答案为±2；0．

【点拨】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

【变式2】根据如图所示的计算程序计算变量y的对应值，若输入变量x的值为﹣，则输出的结果为_____

【答案】-1.5

解：∵-2<<1，

∴x=时，y=x-1=，

故答案为.

类型五、表格法表示函数关系 

5．某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入-支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：

根据表格中的数据，回答下列问题：

(1)观察表中数据可知，当乘客量达到     人以上时，该公交车才不会亏损；

(2)请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y=             ；

(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？

【答案】(1) 300； (2)2x-600；

(3)当乘车人数为800人时，利润为1000元

【分析】

（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；

（2）由表中数据可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可解答；

（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．

解：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，

故答案为：300；

（2）由题意得：

y＝0＋×100＝2x−600，

∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x−600，

故答案为：2x−600；

（3）把y＝1000代入y＝2x−600中可得：

2x−600＝1000，

解得：x＝800，

答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．

【点拨】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 为了提高天然气使用效率，保障居民的用气需求，某市推进阶梯式气价改革，若一户居民的年用气量不超过300m3，价格为2.5元/m3，若年用气量超过300m3，超出部分的价格为3 元/m3，

（1）根据题意，填写表：

（2）设一户居民的年用气量为xm3，付款金额为y元，求y关于x的解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）若某户居民一年使用天然气所付的金额为870元，求该户居民的年用气量．

【答案】（1）375，900；（2）y=；（3）340m3．

【分析】

（1）根据两种收费标准进行求解即可；

（2）分两种情况：①当x≤300时，②当x＞300时，根据题目所给收费标准求解即可；

（3）先根据，得到，然后把y=870代入y=3x－150中进行求解即可．

解：（1）由题意得：当一户居民的年用气量为的时候，付款金额为元，

当一户居民的年用气量为的时候，付款金额为元，

故答案为：375，900；

（2）分两种情况：

①当x≤300时，y=2.5x；

②当x＞300时，y=2.5×300+3×(x－300)=3x－150．

综上所述，y关于x的解析式为y=；

（3）∵，

∴

∴将y=870代入y=3x－150，

得870=3x－150，解得x=340．

∴该户居民的年用气量为340m3．

【点拨】本题主要考查了根据表格求函数关系式，解题的关键在于能够准确读懂题意．

 类型六、解析法表示函数关系 

6．甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元；乙商店的樱桃价格为65元．若一次购买以上，超过部分的樱桃价格打8折．

(1)设购买樱桃，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求，关于的函数解析式；

(2)春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？

【答案】(1)，；(2)见解析

【分析】

（1）根据两个商店的樱桃价格列出对应的关系式即可；

（2）根据（1）所求函数关系式，列出不等式或方程求解即可．

解：（1）由题意可得：，

当时，，

当时，，

；

（2）当时，即时，到甲商店购买樱桃更省钱；

当时，即时，到甲、乙两家商店购买樱桃花费相同；

当，即时，到乙商店购买樱桃更省钱．

【点拨】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出函数关系式是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图所示，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．

(1)  在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

(2)  如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积，请写出y与x的关系式；

(3)  当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？

【答案】(1)自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积

(2) ； (3) 由变为

【分析】

（1） 根据题意可知阴影部分面积随着小正方形的边长变化而变化，故自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；

（2） 根据阴影部分面积=大正方形面积－4个小正方形面积，列出关系式即可；

（3）分别计算出小正方形边长为1cm，和2.5cm时阴影部分面积，即可知阴影部分的面积发生的变化．

解：(1) 自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；

(2)  y与x的关系式为：；

(3) 当时，，

当时，，

∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变为．

【点拨】本题考察列函数解析式解决几何问题，以及数形结合结合思想，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．

 类型七、图象法表示函数关系 

7．小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）

【答案】④

【分析】

根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢，后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题．

①距离越来越远，选项错误；

②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误；

③距离越来越远，选项错误；

④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确；

故答案为：④．

【点拨】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．

举一反三：

【变式1】某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：

（1）图中的自变量是_________，因变量是_________；

（2）无人机在75米高的上空停留的时间是_________分钟；

（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为_________米/分；

（4）图中a表示的数是_________；b表示的数是_________；

（5）图中点A表示_________．

【答案】     操控无人机的时间；     无人机的飞行高度；     5；     25；     2；     15；     在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．

【分析】

（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；

（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留时间为分钟即可；

（3）根据“速度=路程÷时间”计算即可；

（4）根据速速、时间与路程的关系式，列式计算求解即可；

（5）根据点的实际意义解答即可．

解：（1）横轴代表的是无人机被操控的时间，纵轴是无人机飞行的高度，所以自变量是操控无人机的时间；因变量是无人机的飞行高度；

（2）无人机在75米高的上空停留时间为分钟；

（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为：米/分；

（4）图中表示的数为：分钟；图中表示的数为分钟；

（5）图中点A表示，在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．

【点拨】本题考查变量之间的关系在实际中的应用，根据图象学会分析是解题重点．