泰州市姜堰区励才实验学校2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

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泰州市姜堰区姜堰区励才实验学校2022-2023学年九年级上学期
12月月考数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 是二次函数，则m的值为（ ）
A. 0，-3 B. 0,3 C. 0 D. -3
2. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）

A. B.
C. D.
4. 已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A. B. C. D.
5. 将抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（　　）
A. （﹣2，2） B. （﹣1，1） C. （0，6） D. （1，﹣3）
6. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论错误的是（　　）
x
…


0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

A. 对称轴是直线 B. 与x轴的交点坐标是，
C. 抛物线开口向下 D. 的解是
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
8. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
9. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________．
10. 若一条抛物线与y=2x2图像的形状相同且开口向下，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为________．
11. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，则DE的长为________．

12. 若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则方程x2﹣2x+c＝0的两根为 _____．
13. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大关系是__________．（用“<”连接）
14. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________．

15. 如图，点在上．若，，，则的长度为__．

16. 在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足，且，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是________．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
18. 求下列函数的最大（或小）值：
（1）；（配方法）
（2）．（公式法）
19. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦，垂足为E，连结．

（1）若，求的长；
（2）若，，求的长度．
20. 如图，在中，，，．

（1）用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边上，经过点，且与边相切的，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．
（2）求（1）中所作的半径．
21. 如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0 （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
22. 已知二次函数（m是常数，）．
（1）当该函数的图象与x轴没有交点时，求m的取值范围；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方；
（3）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
23. 利用函数图像探究方程的实数根的个数．

（1）设函数，则这个函数的图像与直线的交点的________坐标（填“横”或“纵”）就是方程的实数根．
（2）分类讨论：当时，；当时，_____；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像；
（4）在给定的坐标系中画直线，观察图像可知方程的实数一个根有______个；
（5）深入探究：若关于x的方程有3个实数根，则m的取值范围是_______．
24. 在平面直角坐标系中抛物线（）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，为等腰直角三角形．
（1）写出抛物线的对称轴为直线______；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），其中，直线L与函数（）的图象交于点（，），若，求的取值范围．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，为半径的交x轴于点C、D（点C在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接，交x轴于点F，且．

（1）判断直线m与的位置关系，并说明理由：
（2）求的度数：
（3）若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接交x轴于点G，交于点H，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
26. 如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x－b与y轴交于点B；抛物线L：y=－x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 是二次函数，则m的值为（ ）
A. 0,-3 B. 0,3 C. 0 D. -3
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：∵是关于x的二次函数，
∴m≠0，m2+3m+2=2，
解得：m=-3．
故选D.
2. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理即可得．
【详解】解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
3. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
4. 已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】这个三角形的外接圆的半径就是三角形的外心到其中一个顶点的长度，把圆的问题解决为三角形的问题求值即可.
【详解】解：设正△ABC的中心为O，

如图，连接OB，作OD⊥BC，由正三角形的边长可知BC=12，∠OBD=30°，
BD=6，
OB=BD÷cos∠OBD=6÷ =4 .
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形和圆．关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解．
5. 将抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（　　）
A. （﹣2，2） B. （﹣1，1） C. （0，6） D. （1，﹣3）
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可确定平移后的抛物线的函数解析式，再逐一判断即可．
【详解】抛物线y＝4﹣（x+1）2的顶点坐标为(−1，4)，抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为(0，2)，则平移后的抛物线解析式为；
当x=−2时， ，即点（﹣2，2）不在抛物线上；
当x=−1时， ，即点（﹣1，1）在抛物线上；
当x=0时， ，即点（0，6）不在抛物线上；
当x=1时， ，即点（1，3）不在抛物线上；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、点与函数图象的关系，二次函数图象的平移关键是抓住抛物线顶点的平移．
6. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论错误的是（　　）
x
…


0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…

A. 对称轴是直线 B. 与x轴的交点坐标是，
C. 抛物线开口向下 D. 的解是
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A.由图可知，抛物线的对称轴为直线，故A选项正确，不符合题意；
B.由表格可知，抛物线图象与x轴的一个交点为，由抛物线的对称性可知，另一个交点为，故B选项正确，不符合题意；
C.∵在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴抛物线的开口向下，则a＜0，抛物线开口方向向下，故C选项正确，不符合题意；
D.由表格可知，，即时，x的值为或2，故的解为或，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中的数据求出抛物线的对称轴为直线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
【答案】圆内
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系：d>r,点在圆外；d=r,点在圆上；d 【详解】∵OA=3cm<4cm，∴点A在⊙O内，
故答案为圆内.
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．
8. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）求解．
【详解】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
故答案为2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中、为直角边，为斜边）．
9. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线．
【详解】∵底面半径为3,
∴底面周长=2×3π=6π．
∴圆锥的母线=．
故答案为:4．
【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径．
10. 若一条抛物线与y=2x2图像的形状相同且开口向下，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为________．
【答案】y=-2x2+2
【解析】
【分析】设抛物线解析式为y=ax2+2，根据抛物线与y=2x2图象的形状相同且开口向下，即可求得a=-2，即可确定出解析式．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，2），
∴设抛物线解析式为y=ax2+2，
∵抛物线与y=2x2图象的形状相同且开口向下，
∴a=-2，
∴抛物线解析式为y=-2x2+2，
故答案为：y=-2x2+2．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
11. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，，，则DE的长为________．

【答案】8
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，再求出DE的长即可．
【详解】，
，
，，，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出正确的比例式是解题的关键．
12. 若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则方程x2﹣2x+c＝0的两根为 _____．
【答案】x1=-1，x2=3## x1=3，x2=-1
【解析】
【分析】将(-1，0)代入y=x2-2x+c即可求出c的值，将c的值代入x2-2x+c=0，再求出方程的两个根即可．
【详解】解：将(-1，0)代入y=x2-2x+c得，0=1+2+c，
解得c=-3，
∴x2-2x-3=0，
∴(x+1)(x-3)=0，
∴x1=-1，x2=3．
故答案为：x1=-1，x2=3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线上的点符合函数的解析式，同时要知道一元二次方程的解法．
13. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大关系是__________．（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14. 如图，半径为5的扇形中，，点C在上，点E在上，点D在弧上，四边形是正方形，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点F．由正方形的性质得出，．即根据扇形面积公式求出扇形的面积即可．
【详解】如图，连接，交于点F．

∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，扇形的面积公式．理解是解题关键．
15. 如图，点在上．若，，，则的长度为__．

【答案】
【解析】
【分析】设圆心为O，连接OA、OB、OC、BC，过点C作CT⊥AB于T，由直角三角形的性质与判定可得圆的半径与∠AOB的度数，再根据弧长公式可以得到答案．
【详解】解：如图，设圆心为，连接，，，，过点作于．

，，，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与直角三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形的性质与判定、圆周角定理及弧长公式是解题关键．
16. 在平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足，且，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是________．

【答案】2
【解析】
【分析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接OD．

∵∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴A，O，D，C四点共圆，
∴∠DOC＝∠DAC＝45°，
∴点D在第一象限的角平分线上运动，
当点C与B重合时，点D与O重合，
当点C与P重合时，如图：作DE⊥y轴于E，作DF⊥x轴于F，

∴DE⊥DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠PDF＋∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠PDF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，DE＝BD，
设点D的坐标为（x，y），
∴DE＝x＝BD＝y，
∵A（0，−2），P（6，0），AE＝PF，
∴2＋x＝6−x，解得：x＝y＝2，
∴点D的坐标为（2，2），
∴当点C由点B运动到点P时，
线段AD扫过的面积即△OAD的面积＝×OA×DE＝×2×2＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，轨迹，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，结合二次根式的加减运算算法则进行计算即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2），
因式分解得：，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则以及一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
18. 求下列函数的最大（或小）值：
（1）；（配方法）
（2）．（公式法）
【答案】（1）最大值为16
（2）最小值为
【解析】
【分析】（1）利用配方法把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）利用公式法求出顶点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：


，
∴该函数图象的顶点坐标为，
∵，
∴该函数有最大值，最大值为16；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，

∴该函数图象的顶点坐标为，
∵，
∴该函数有最小值，最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用配方法和公式法求出顶点坐标是解题的关键．
19. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦，垂足为E，连结．

（1）若，求的长；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可；
（2）根据圆周角定理，和弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：连接，

∵AB是直径，弦，，
∴，
设圆的半径为，则：，
∴ ，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵AB是直径，弦，
∴，
∴，
∴的长度．

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理以及弧长公式，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
20. 如图，在中，，，．

（1）用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边上，经过点，且与边相切的，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．
（2）求（1）中所作的半径．
【答案】（1）作图见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）具体作法是，作的角平分线，交于点，连接，分别以点，为圆心，以大于为半径作弧交于点，，连接交于点，连接，以点为圆心，以为半径画圆，即为所有图形，点的位置即为所有点的位置，由此即可求解；
（2）根据（1）中作图（见详解）可知，，设的半径为，且，根据相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解： 第一步，先画的角平分线：如图所示，

以点为圆心，以大于为半径画弧，交，于点，，连接，分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则是的角平分线；
第二步，画线段的垂直平分线：如图所示，

分别以点，为圆心，以大于为半径作弧交于点，，连接交于点，连接，以点为圆心，以为半径画圆，即为所有图形，点的位置即为所有点的位置．
【小问2详解】
解：如图所示，

的圆心在的斜边上，过点，为的切线，切点为点，
∴，，是的切线，
∴，，
∴，
设，则，且，
∴，即，解方程得，，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合运用，角平分线，垂直平分线，相似三角形的判定和性质，理解掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21. 如图，已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当0 （3）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值，
（2）根据图象即可求出y的取值范围，
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．
【小问1详解】
解：将点A（﹣1，0），B（3，0）两点代入y＝+bx+c

解得，
抛物线的解析式为：，
；
【小问2详解】
，物线的对称轴为，开口向下，y的最大值为4，
如图，

0＜x＜3时，；
【小问3详解】
设P（x，y），
△PAB的高为|y|，
A（﹣1，0），B（3，0），
，
，
解得，
当时，
，
此时方程无解，
当时，
，
解得，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 已知二次函数（m是常数，）．
（1）当该函数的图象与x轴没有交点时，求m的取值范围；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方；
（3）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程与二次函数的关系可得∶当二次函数与x轴没有交点时，即可求解；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，即可求解；
（3）先将二次函数配方，可求得二次函数顶点坐标，当二次函数与x轴有一个交点时，则顶点坐标的纵坐标为0，即可求出二次函数沿y轴向上平移的单位长度．
【小问1详解】
解：∵，且函数的图象与轴没有交点，
∴，
∴时，该函数的图象与轴都没有交点；
【小问2详解】
解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
∵该函数的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴，且，
解得：；
【小问3详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴把函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线平移以及判别式的运用；熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线的顶点坐标是解决问题（3）的关键．
23. 利用函数图像探究方程的实数根的个数．

（1）设函数，则这个函数的图像与直线的交点的________坐标（填“横”或“纵”）就是方程的实数根．
（2）分类讨论：当时，；当时，_____；
（3）在给定的坐标系中，已经画出了当时的函数图像，请根据（2）的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图像；
（4）在给定的坐标系中画直线，观察图像可知方程的实数一个根有______个；
（5）深入探究：若关于x的方程有3个实数根，则m的取值范围是_______．
【答案】（1）横； （2）；
（3）函数图像见解析；
（4）3； （5）．
【解析】
【分析】（1）函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根；
（2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意x的取值范围；
（3）根据（2）的函数解析式，得到特殊点坐标，通过描点，连线，画出当时的函数图像即可；
（4）根据两个函数图象交点的个数，找出方程解的个数；
（5）根据两个函数图像相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得．
【小问1详解】
解：函数的图像与直线的交点的横坐标就是方程的实数根，
故答案为：横；
【小问2详解】
解：当时，，
，
故答案为；
【小问3详解】
解：当时，，
顶点坐标为，
当时，或2，
函数与轴交点坐标为、，
描点，连线，函数图像如图；
【小问4详解】
解：如（3）函数图像，直线的图像与的图像有三个交点，则可知方程的实数根有 3个，
故答案为：3；
【小问5详解】
解：根据图像可知，当时，，
关于x的方程有3个实数根，
即直线的图像与的图像有三个交点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了方程与函数的关系，两个图像的交点就是方程的解，方程和函数互相转化，利用数形结合分析问题是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中抛物线（）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，为等腰直角三角形．
（1）写出抛物线的对称轴为直线______；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），其中，直线L与函数（）的图象交于点（，），若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式，即可求解；
（2）将解析式配方成顶点式得到其顶点A坐标，及对称轴与x轴交点B的坐标，由为等腰直角三角形即，可得，即可求解；
（3）先根据抛物线的对称性可知且，由直线L与双曲线交于点R知，即，由此可得，再根据可知点R一定位于对称轴上或右侧，即从而得出答案．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
顶点A的坐标为
由（1）可知对称轴为，
点B的坐标为 ，
为等腰直角三角形，
，即，
解得，
故抛物线的解析式为：；
【小问3详解】
解：垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），
且，
又直线L与函数（）的图象交于点（，），
，即，
，
，
点R一定位于对称轴上或右侧，即，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的性质及待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等知识点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，为半径的交x轴于点C、D（点C在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接，交x轴于点F，且．

（1）判断直线m与的位置关系，并说明理由：
（2）求的度数：
（3）若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接交x轴于点G，交于点H，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）直线m与相切
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，求得直线，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据与轴交于点A，与y轴交于点B，求得，得到，根据三角函数的定义得到，求得，根据三角形外角的性质即可得到结论；
（3）连接，根据垂直的定义得到，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：直线m与相切
理由：连接










直线
是的半径
直线m与相切
【小问2详解】
解：与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，得，
令，得，


tan








【小问3详解】
解：连接，








【点睛】本题考查了圆的综合题，圆周角定理、切线的判定，三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26. 如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x－b与y轴交于点B；抛物线L：y=－x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
【答案】（1）b=4，（2，－2 ）；（2）1；（3）；（4）当b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【解析】
【分析】（1）求出A、B的坐标，由AB=8，可求出b的值．从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；
（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离，配方即可得出结论；
（3）由题意得y1+y2=2y3，进而有b+x0－b=2（－x02+bx0）解得x0的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得出结论；
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=－x2+2019x直线解析式a：y=x－2019，美点”总计4040个点，②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=－x2+2019.5x，直线解析式a：y=x－2019.5，“美点”共有1010个．
【详解】（1）当x=0时，y=x－b=－b，
∴B（0，－b）．
∵AB=8，而A（0，b），
∴b－（－b）=8，
∴b=4，
∴L：y=－x2+4x，
∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x－4=－2，
∴L的对称轴与a的交点为（2，－2）；
（2）y=－（x）2，
∴L的顶点C（，）．
∵点C在l下方，
∴C与l的距离b（b－2）2+1≤1，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）∵y3是y1，y2的平均数，
∴y1+y2=2y3，
∴b+x0－b=2（－x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．
∵x0≠0，
∴x0=b，对于L，当y=0时，0=－x2+bx，即0=－x（x－b），解得：x1=0，x2=b．
∵b＞0，
∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间的距离b－（b）．
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=－x2+2019x，直线解析式a：y=x－2019．
联立上述两个解析式可得：x1=－1，x2=2019，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且－1和2019之间（包括－1和－2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2021个整数点，
∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，
∴美点”的个数：4042－2=4040（个）；
②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=－x2+2019.5x，
直线解析式a：y=x－2019.5，
联立上述两个解析式可得：x1=－1，x2=2019.5，
∴当x取整数时，在一次函数y=x－2019.5上，y取不到整数值，
因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，
当x为偶数时，函数值y可取整数，可知－1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．