2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市姜堰区九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】“mathematics”中共11个字母，字母m有2个，根据概率公式可得答案．
【详解】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母m有2个，
∴抽中字母m的概率为，
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2. 的半径为3，若点P在内，则的长可能为( )
A. 2B. 3C. 4D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，当时，点P在上，当时，点P在内，当时，点P在外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵点P在内，的半径为5，
∴，
A、，故本选项正确；
B、，此时P在圆上，故本选项错误；
C、，此时P在圆外，故本选项错误；
D、以上都有可能，不对，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，注意：点P和圆O有三种位置关系：当的半径是R，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在上，②当时，点P在内，③当时，点P在外．
3. 将关于x的函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是( )
A. 开口方向不变B. 对称轴不变
C. 与y轴的交点不变D. 自变量x的取值范围不变
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数的图像向下平移两个单位时，函数解析式变为，图像开口方向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点均发生变化．
【详解】解：将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、自变量x的取值范围不变，与y轴的交点改变，故选项C符合条件，选项A、B、D均不符合条件，
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图像，解题的关键是熟知二次函数图像平移的特点．
4. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( )
A. 平均数不变，方差变小B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可．
【详解】解：换人前平均身高为：，
换人后平均身高为：，
换人前的方差为：
，
换人前的方差为：
，
∵，，
∴平均数不变，方差变大，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
5. 如图，用一张矩形纸片覆盖等边，且，若边被、三等分，则被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得出，，进而得出，，设，则，，得出，未被覆盖的面积为：，再求解即可．
【详解】解：
∵，边被、三等分，
∴
∴，，
∴，，
设，
则，，
∴，
∴未被覆盖的面积为：，
被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 如图，在中，，点D、E分别在上，交于F，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，则，证明，则，解得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 若锐角α满足sinα=，则∠α的度数是_____．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
详解】解：由锐角α满足sinα=，
则∠α的度数是30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
8. 二次函数，当时，随的增大而______．（填“增大”或“减小”）．
【答案】增大
【解析】
【分析】根据函数解析式求得对称轴为直线，抛物线开口向上，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
9. 若a，b是方程的两根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，进行求解即可．
【详解】解：由韦达定理得：
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
10. 在阳光下，身高为m的小强在地面上的影长为m，同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为m，则这座建筑物的高度为______m．
【答案】16
【解析】
【分析】设建筑物的高度为，根据同时同地物高与影长成正比列方程求解即可．
【详解】解：设建筑物的高度为，
由题意得，，
解得，
∴这座建筑物的高度为，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握同时同地物高与影长成正比．
11. 已知关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数图像特点解答即可．
【详解】解：∵关于x的二次函数的图像不经过第一、二象限
∴，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，根据二次函数解析式的系数确定图像位置是解答本题的关键．
12. 如图，四边形内接于，若，，则______．
【答案】70
【解析】
【分析】如图，连接，由圆周角定理得，，，则，，由，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，把按相似比缩小，得到．若点A的坐标为，则第一象限内点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：是以点O为位似中心，且与的相似比为的位似图形，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标为 或
即点C的坐标为或，
∴第一象限内点C的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，熟记位似变换的性质是解题的关键．
14. 若，则的最大值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得，代入可得，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．
15. 公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可．
【详解】解：由题意知，，设的半径为，则，
∴，即，
解得，
∴，
故答案：4．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积．
16. 如图，中，，，，P是上方一动点，射线，连接交的外接圆于点D，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，取中点M，连接，，中，根据，，可得，即可得是直角三角形，且，再根据，可得，进而得，即有点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，结合图形有，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，即当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解．
【详解】解：连接，取中点M，连接，，如图，
∵中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，
∵如图，，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，
∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
即有最小值，最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是直角三角形，点D在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算或解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2），
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
，．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
18. 近年来，随着电商的高速发展，越来越多的消费者投入到“网购”的热潮当中，下图是年双十一成交总额统计图及2022年双十一前十品类成交总额统计图．
（1）年期间，较前一年，成交总额增长最多的是______年，2022年双十一前十品类成交总额的中位数是______；
（2）根据图2中数据，要清楚地反映各品类销售占比，适合的统计图是______；
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图
（3）请结合图中数据，对电商的发展作出分析．
【答案】（1）2020；594
（2）C （3）近年来电商发展迅速，越来越多的人热衷于网购等（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）结合条形图可知年、年两年的增长相比于前一年均增长超过亿，即算出相应的增长量，比较即可；根据图2，结合中位数即可作答；
（2）根据各类统计图的特点即可作答；
（3）根据两幅条形图的特点作答即可．
【小问1详解】
结合条形图可知：年、年两年的增长相比于前一年均增长超过亿，
2019年，（亿）；
2020年，（亿）；
∵，
∴较前一年，成交总额增长最多的是2020年；
根据条形图中的数据，从右往左一次增大，这10个数据中，排在第5和第6的数据分别为：，，
即中位数为：，
故答案为：2020，594；
【小问2详解】
扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
故选：C；
【小问3详解】
根据两幅条形图的特点，可知：近年来电商发展迅速，越来越多的人热衷于网购，家用电器、手机数码、服装是电商销售的三大领域等（结合图形作答即可）．
【点睛】本题考查了条形统计图、中位数以及统计图的选择等知识，掌握相应的考点知识，注意数形结合的思想，是解答本题的关键．
19. 甲、乙两人到古镇溱潼旅游，准备从溱湖湿地公园（用S表示）、溱湖海洋馆（用H表示）、溱湖动物园（用D表示）和溱潼千年茶花（用C表示）这4个景点中随机选择1个景点游览．
（1）甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是______；
（2）用树状图或者列表法求甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）先根据题意画出树状图，然后再用概率公式进行运算即可．
【小问1详解】
解：甲选择的景点是溱湖湿地公园的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有16种等可能的情况，甲、乙两人选择的景点恰好相同的有4种情况，
∴甲、乙两人选择的景点恰好相同的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据概率公式进行运算，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．
20. 如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③．
请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）
【答案】见详解
【解析】
【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可．
【详解】（1）条件：①②，结论③；
（2）条件：①③，结论②；
（3）条件：②③，结论①；
以上三个命题均是真命题．
选择（1）进行证明，
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键．
21. 苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．
（1）该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；
（2）求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．
【答案】（1）(答案不唯一)
（2）75.6m
【解析】
【分析】（1）根据构建平面直角坐标系时，尽量使得抛物线的解析式比较简单的原则，可以的类型即可求解；
（2）由（1）可根据抛物线的解析式求每根柱子的长，从而可求．
【小问1详解】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则有，
设抛物线解析式为，
解得：，
．
【小问2详解】
解：当时，
，
当时，
，
当时，
，
．
答：这七根立柱共需要的不锈钢管．
【点睛】本题考查了构建平面直角坐标系，二次函数的实际应用，掌握构建平面直角坐标系及理解二次函数中的自变量和因变量的实际意义是解题的关键．
22. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部N沿人行道垂直方向拉一皮卷尺到B处，在之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置，使得小明能在镜中看到两灯全貌，其视线如图所示，图中标注字母的点均在同一平面内，D、P、F三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，．
（1）灯杆的高度：
（2）求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，即可求解；
（2）过点E作，根据即可求出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴m；
【小问2详解】
解：过点E作，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
即，
解得：m，
∴m，
∴m；
【点睛】本题考查了相似三角形，灵活运用所学知识是解题关键．
23. 如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，于是得到结论；
（2）连接，先证明，在中求出，利用勾股定理求出，再在在中即可求出的长．
【小问1详解】
连接 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵ 是 的半径，
∴是 的切线；
【小问2详解】
连接．
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接近球门，他在哪里射门时射门角度最大？
【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门的张角时，在上取一点Q，过A、B、Q三点作圆，发现直线与该圆相交或相切．如果直线与该圆相交，如图1，那么球员P由M向N的运动过程中，的大小______：（填序号）
①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大
【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点Q，那么球员P运动到切点Q时最大，如图2，试证明他们的发现．
【实际应用】如图3，某球员P沿垂直于方向的路线带球，请用尺规作图在上找出球员P的位置，使最大．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】操作感知：③；猜想验证：见解析；实际应用：见解析
【解析】
【分析】操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，利用圆周角定理和三角形外角的性质证明即可得到结论；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求．
【详解】解：操作感知：如图所示，设直线与的外接圆的另一个交点为D，分别在射线，射线上取一点F，E，连接交的外接圆于H，连接交的外接圆于G，连接，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴；
在上取一点T，连接并延长交的外接圆于S，连接，
∴，
∵，
∴，
∴球员P由M向N的运动过程中，的大小是先变大后变小，
故答案为：③；
猜想验证：如图所示，在上任取一点G（不与Q重合），连接交的外接圆于H，连接，
∴，
∵，
∴，即，
∴上异于点Q的其他所有点对的张角都小于，
∴球员P运动到切点Q时最大；
实际应用：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，延长交于F，以点A为圆心，的长为半径画弧交直线于O，以O为圆心，以的长为半径画弧交直线于P，点P即为所求；
理由如下：∵，
∴，
∵，且，即是两条平行线间的距离，
∴也是这两条平行线间的距离，
∴，
∴ 直线与相切，
∴由“猜想验证”可知，当直线与相切于点P时，最大．
【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，三角形外角的性质，圆周角定理，确定圆心，线段垂直平分线的尺规 作图，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 如图1，P为内一点，连接，如果与相似，那么称点P为的“黄金点”
（1）①等边三角形______“黄金点”（填“存在”或“不存在”）：
②中，，，若点P是的“黄金点”，则______°；
（2）如图2，中，，，的中线交于点P，试说明：点P是的“黄金点”；
（3）如图3，中，，，，若点P是的“黄金点”，且点P在的平分线上，求的长．
【答案】（1）①不存在；②
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）①证明不可能是等边三角形，则与一定不相似，即可得到结论；②分三种情况讨论即可得到答案；
（2）在中，，，可设,则，，则，，，同时得到，则，，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，,得到，即可得到结论；
（3）若点P是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，先证明，则,得到，，则，，由，则，代入数值即可得到的长．
【小问1详解】
解：①∵点P是为等边三角形内一点，
∵是等边三角形，
∴,
∵点P是为等边三角形内一点，
∴，，
即，，
∴不可能是等边三角形，
∴与一定不相似，
∴等边三角形不存在 “黄金点”，
故答案为：不存在
②∵在中，，，
∴，
若，
则,，
∴此种情况不存在；
若，
则，
即点P在上，
∴与P为内一矛盾，
∴此种情况不存在；
若，
则,，，
∴此种情况成立；
综上可知，
故答案为：
【小问2详解】
在中，，，可设,
∴，
∵的中线交于点P，
∴，是的中位线，，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，,
∴，
∴点P是的“黄金点”；
【小问3详解】
若点P是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，
∴，
∵点P在的平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的长为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理及其逆定理、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 【小题热身】如图1，过抛物线上一点作轴交抛物线于点B，延长到点D，使，过点D作交抛物线于点C，连接，求的值．
【举一反三】参加学校“举一反三”社团的小明在解答完成上述问题后，运用学到的“控制变量法研究该题，并发现：①只改变点A在抛物线上的位置，的值不变化；②只改变a的大小或只改变的长，的值改变．于是运用“问题一般化”的方法研究该题，并提出如下问题：
过抛物线上一点作射线轴交抛物线于点B，在射线上取一点D，使，过点D作交抛物线于点C，连接，如图1和图2，请选择图1或图2，求的值．（用含a、b的代数式表示）
【拓展延伸】如图3，在抛物线上任取一点A，过点A作射线轴交抛物线于点B，在射线上点B的左右两侧各有一个动点D、E，分别过D、E作垂线交抛物线于C、F，交于点G，连接，则、、、中有两个三角形的面积始终相等，请写出你的发现，并证明．
【答案】[小题热身]2；[举一反三]；[拓展延伸]与面积始终相等，证明见解析
【解析】
【分析】[小题热身]将代入求得抛物线解析式为，由抛物线的对称性可得，，，当，，则，根据，计算求解即可；
[举一反三]过程同[小题热身]；
[拓展延伸]由举一反三可得，，则，根据等底等高证明三角形面积相等即可．
【详解】[小题热身]解：将代入得，，
∴，
由抛物线的对称性可得，
∴，，
当，，
∴，，
∴；
[举一反三]解：如图1，由抛物线的对称性可得，
∴，，
当，，
∴，，
∴；
如图2，由抛物线的对称性可得，
∴，，
当，，
∴，，
∴；
∴的值为；
[拓展延伸]解：与面积始终相等，证明如下：
证明：由举一反三可得，，
∴，
∴，
∴与面积始终相等．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，正切．解题的关键在于理解题意并正确表示点坐标与线段长．