第一次月考（10月）（空间立体几何、直线与圆）检测模拟试卷-【巅峰课堂】最新高二数学上学期热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

高二第一次月考（10月）模拟试卷

(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一 第一、二章)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．与向量反向的单位向量的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用与向量反向的单位向量为求解即可.

【详解】因为，

所以与向量反向的单位向量为．

故选：A

2．已知直线与直线，若，则（    ）

A．6 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.

【详解】解：因为直线与直线，且，

所以，解得，

故选：A.

3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.

【详解】解：因为点在圆的外部，

所以，解得.

故选：C．

4．如图，三棱锥中，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合向量线性运算即可求得

【详解】，分别是，的中点，.

故选：D.

5．某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】讨论在x轴和y轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.

【详解】当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，

设直线的方程为，代入点，则，解得，

当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，

设直线的方程为，代入点，则，解得，

所以所求直线的方程为，即，

综上，该直线的斜率是或．

故选：D

6．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ）

A． B．5 C． D．10

【答案】A

【解析】由直线过圆心得满足的关系式，说明点在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值．

【详解】由题意直线过已知圆的圆心，圆心为，∴，即，

点在直线上，

表示直线的点到点的距离，

∴最小值为．

故选：A．

【点睛】方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出满足的条件，得点在一条直线上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．

7．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解

【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，

所以，

故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，

又，

所以，，

所以的取值范围为．

故选：D．

8．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，，

当的坐标为时，，

由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为.

【详解】可化为，

故圆N的圆心为，半径为，

由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，

所以且，故，

当的坐标为时，，

在△NAB中，，

又，在上单调递减，

故为锐角，且当时，最大，

又在上单调递增，

所以当最大时，取得最大值，且最大值为，

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．已知空间中三点，，，则（    ）

A． B．

C． D．A，B，C三点共线

【答案】AB

【详解】易得，，，，A正确;

因为，所以，B正确，D错误;

而，C错误.

故选: AB.

10．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可.

【详解】因为直线不能构成三角形，

所以存在，过与的交点三种情况，

当时，有，解得；

当时，有，解得；

当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；

综上：或或.

故选：ABD.

11．已知曲线的方程为，则（    ）

A．曲线关于直线对称

B．曲线围成的图形面积为

C．若点在曲线上，则

D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为

【答案】ABC

【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.

【详解】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有，

即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确；

对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称，

当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)，

因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，

所以曲线围成的图形面积是，B正确；

对于C，点在曲线上，则，

则有，即，解得，而，C正确；

对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确.

故选：ABC

12．已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（    ）

A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小

B．直线AB过定点

C．点Q到直线AB的距离为定值

D．

【答案】ACD

【分析】A由题意圆P的面积最小只需最小，结合圆的性质判断；B应用特殊点，讨论为圆O在x轴交点分别判断直线的位置即可判断；C由两圆相交弦所在直线的求法确定直线，再由点线距离公式判断；D由垂直平分，结合弦心距、半径、弦长关系得到关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围.

【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时最小，此时圆P的面积最小，正确；

B：若圆P的半径为且，

如下图，当为圆O在x轴右侧交点，此时，显然直线垂直于x轴，在点右侧；

如下图，当为圆O在x轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于x轴，在点左侧；

所以直线不可能过定点，错误；

C：由对称性，不妨设，则，

所以圆P方程为，又直线为两圆相交弦，

则圆P、圆O相减并整理得：直线，

所以Q到直线AB的距离为定值，正确；

D：由题意，与交于C且垂直平分，

令，则，可得，故，

所以，正确；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项C利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到关于圆P半径的表达式.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．把直线绕点顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．

【答案】

【分析】利用差角正切公式求旋转后直线斜率，由点斜式写出直线方程.

【详解】若为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为，

而，故，

所以旋转后直线为，则.

故答案为：

14．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.

【答案】5

【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.

【详解】如图，圆是圆关于直线 的对称圆，

所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知，

五点共线时， 有最小值，

此时，

所以的最小值为5.

故答案为：5.

15．设正方体的棱长为2，为过直线的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是________.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，设与棱的交点为，利用空间向量计算到的最小距离和最大距离可得面积的最值.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则，设与棱的交点为 ，与棱的交点为 ，则四边形为平行四边形.

在面内过作的垂线，垂足为，则截面的面积为.

设，，则，.

因为，故即，故.

因，故.

又

，其中，

所以，故，填.

【点睛】空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.

16．已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.

【详解】由题意设点，，，

因为，是圆的切线，所以，，

所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:

，又在圆上，

将两个圆的方程作差得直线的方程为：，

即，所以直线恒过定点，

又因为，，，，四点共线，所以，

即在以为直径的圆上，

其圆心为，半径为，如图所示:

所以，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线：与圆交于，，求.

【答案】(1)；(2).

【分析】（1）由题意，设圆心且半径，由圆所过的点列方程求参数，结合与轴的正半轴相切确定圆的方程；

（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求.

（1）

若圆心，则圆的半径，即，

又圆经过，，则，可得，

所以或，又圆与轴的正半轴相切，

故圆的标准方程为.

（2）

由（1）知：到直线的距离为，圆的半径为，

所以.

18．（12分）如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)见解析(2)

【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解，

（2）利用向量法求解点面距离即可．

（1）

建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，

，分别为，的中点，

，1，，，1，，

，0，，，2，，

设平面的法向量为，

则,即，令，则

因为，，所以

平面．

（2）

,,

设点到平面的距离为，所以

19．（12分）已知中，点，边所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.

(1)求点和点的坐标；

(2)以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）由题意，设所求点的坐标，结合中点坐标公式，代入对应直线方程，解得答案；

（2）由题意，分别求点到的距离，比较大小，可得答案.

（1）

设，，的中点，

由题意可得直线的直线方程：，则，解得，

，解得，故，.

（2）

，，

，

由，则圆方程为.

20．（12分）如图，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).

【分析】（1）若为中点，连接，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定证结论；

（2）构建空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角坐标表示求线面角的正弦值；

（3）由是面的一个法向量，结合（2）并应用向量夹角坐标表示求面面角的余弦值；

（1）

若为中点，连接，又、为、的中点，底面为矩形，

所以且，而且，

所以且，故为平行四边形，

故，又面，面，则面.

（2）

由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，

所以，，，，则，，，

若是面的一个法向量，则，令，故，

所以与平面所成角的正弦值为.

（3）

由（2）知：是面的一个法向量，又是面的一个法向量，

所以，故平面与平面的夹角的余弦值.

21．（12分）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为A，B

(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)求线段AB中点的轨迹方程；

(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.

【答案】(1)(2)(3)

【分析】（1）把直线看成圆和圆公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点；

（2）利用几何的知识得到中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；

（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到，，再把表示出来求最小值即可.

（1）

因为，为圆的切线，所以，所以点在以为直径的圆上，又点在圆上，所以线段AB为圆和圆的公共弦，

因为圆：①，所以，，中点为，

则圆：，整理得②，

②-①得直线AB的方程为，所以，所以直线AB过定点.

（2）

∵直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，

设AB的中点为点，直线AB过的定点为点，

易知HF始终垂直于FM，所以点的轨迹为以HM为直径的圆，，，

∴点的轨迹方程为；

（3）

设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设PA，PB的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．

22．（12分）已知圆，圆过作圆的切线，切点为（在第二象限）.

（1）求的正弦值；

（2）已知点，过点分别作两圆切线，若切线长相等，求关系；

（3）是否存在定点，使过点有无数对相互垂直的直线满足，且它们分别被圆、圆所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐标为或者.

【分析】（1）连接，利用可求的正弦值.

（2）利用直线与圆相切求出过且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的关系式.

（3）设的斜率为且，利用、分别被圆、圆所截得的弦长相等且两圆半径相等得到对无穷多个恒成立，整理后可得关于的方程组，从而可求的坐标.

【详解】

（1）连接，因为与相切于，故.

又，

在中，，故.

（2）因为过作两圆的切线且切线长相等，

故，整理得到，

故的关系为.

（3）设的斜率为且，

则，，

因为它们分别被圆、圆所截得的弦长相等且两圆半径相等，

所以到直线的距离等于到直线的距离，

故即对无穷多个恒成立，

所以对无穷多个恒成立.

故，解得或者.

17．故存在且其坐标为或者.