天津市河西区2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份天津市河西区2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，全集，，，
可得，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
2. 已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 设命题：，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
本题根据题意直接写出命题的否定即可.
【详解】解：因为命题：，
所以的否定：，
故选：B
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.
4. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.
【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，
则，整理得：，
当时，，当时，，因此，由得：，解得，
所以此户居民本月的用水量为.
故选：D
5. ，，这三个数之间的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可
【详解】解：因为在上为减函数，且，
所以，
因为在上为增函数，且，
所以，
因为在上为增函数，且，
所以，
综上，，
故选：C
6. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.
7. 若一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B. 0C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得．
【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，
∴，
解得，k＝﹣1，m＝﹣1，
故m+k＝﹣2，
故选：C．
8. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可．
【详解】解：f（x）＝＝1+，
若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则，故k≤﹣2，
故选：C．
9. 已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再将问题转化成求两个函数图象公共点个数作答.
【详解】因定义域为的单调递增函数满足：，有，
则存在唯一正实数使得，且，即，于是得，
而函数在上单调递增，且当时，，因此，，
方程，
于是得方程的解的个数是函数与的图象公共点个数，
在同一坐标系内作出函数与的图象如图，
观察图象知，函数与的图象有3个公共点，
所以方程解的个数为3.
故选：A
【点睛】思路点睛：图象法判断方程的根的个数，常常将方程变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
10. 已知角的终边经过点，则的值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案.
【详解】角的终边经过点，
，，
.
故答案为：.
11. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，
并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．
Rt△AOC中，r=AO==，
从而弧长为 α×r=2×=，
故答案为．
考点：弧长公式．
12. 已知，那么的值为___________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由诱导公式直接可得.
详解】
.
故答案为：
13. 已知，则函数的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.
【详解】∵函数
∴
由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.
∴函数的最大值是
故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14. 下列四个命题中：
①若奇函数在上单调递减，则它在上单调递增
②若偶函数在上单调递减，则它在上单调递增；
③若函数为奇函数，那么函数的图象关于点中心对称；
④若函数为偶函数，那么函数的图象关于直线轴对称；
正确的命题的序号是 ___________.
【答案】②③
【解析】
【分析】根据奇函数、偶函数的性质可判断①②，结合平移变换可判断③④.
【详解】奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性，故①错误，②正确；因为函数为奇函数，图象关于原点对称，的图象可以由的图象向右平移1个单位长度得到，故的图象关于点对称，故③正确；函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位长度得到，因为为偶函数，图象关于y轴对称，所以的图象关于直线轴对称，故④错误.
故答案为：②③
15. 若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.
【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，
则当时，，，
所以当时，；
依题意，在上单调递增，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16 计算下列各式：
（1） （式中字母均为正数）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.
（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
.
17. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）.
（1）求这一天6~14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的解析式；
（3）预测当天12时的温度（，结果保留整数）.
【答案】（1）20℃；
（2）()；
（3）27℃.
【解析】
【分析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答；
（2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答；
（3）求出当时的y值作答.
【小问1详解】
观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃，
所以这一天6~14时的最大温差为20℃.
【小问2详解】
观察图象，由解得：，周期，，即，则，
而当时，，则，又，有，
所以这段曲线的解析式为：，.
小问3详解】
由（2）知，当时，，
预测当天12时的温度为27℃.
18. 已知.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最值并写出取最值时自变量的值；
（3）若函数为偶函数，求的值.
【答案】（1）；
（2）当时，；当时，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求解作答.
（2）利用（1）中函数，借助正弦函数的最值计算作答.
（3）求出，再利用三角函数的奇偶性推理计算作答.
【小问1详解】
依题意，，
由得：，
所以函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
由（1）知，当，即时，，
当，即时，，
所以，当时，，当时，.
【小问3详解】
由（1）知，，因函数为偶函数，
于是得，化简整理得，而，则，
所以的值是.
19. 已知函数（，）．
（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可；
（2）当时，时，不等式等价于，从而分类讨论，，三种情况即可求出不等式所对应的解集．
【小问1详解】
解：的不等式的解集为，
，且，3是方程的两个实数根，
，，解得，，
不等式等价于，即，
故，解得或，
所以该不等式的解集为；
【小问2详解】
解：当时，不等式等价于，即，
又，所以不等式等价于，
当，即时，不等式为，解得；
当，即时，解不等式得或；
当，即时，解不等式得或，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
20. 已知.
（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式；
（2）若和在区间上都是减函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下， 比较和的大小.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得出关于和的等式组，即可解得函数和的解析式；
（2）利用已知条件求得；
（3）化简的表达式，令，分析关于的函数在上的单调性，由此可得出与的大小.
【小问1详解】
由已知可得，，，
所以，，
，解得.
即.
【小问2详解】
函数在区间上是减函数，
则，解得，
又由函数在区间上是减函数，得，则且，
所以 .
【小问3详解】
由（2），
令，
因为函数和在上为增函数，
故函数在上为增函数，
所以，，
而，
所以，
即.
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3