山西省晋中市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2022年1月晋中市高一年级期末调研测试

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符合题目要求．）

1. 300°化为弧度制是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据角度和弧度转化关系，直接求值即可.

【详解】根据，得.

故选：B.

2. 已知集合，集合，实数，则m可能是（    ）．

A.  B. -1 C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式，再求交集，进而得出m的可能值.

【详解】解不等式得，由于，

则，则m可能是2．

故选：D

3. “”是“”（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据，求得；再根据，求得，即可从充分性和必要性进行判断.

【详解】由于时，角的终边可能在第一象限，

也可能在第三象限，计算得；

同理，当时，，存在两种可能，

因此“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：.

4. 对任意大于0的实数x，y，均满足的函数是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】举反例结合对数的运算判断即可.

【详解】对于A，；对于B，；对于C，；对于D，根据对数的运算公式，可得D正确．

故选：D

5. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.

【详解】是奇函数，但是减函数，而是增函数，

因此是减函数，A不符合题意；

的定义域为，不是奇函数，B不符合题意；

是定义在R上的奇函数，并且和均是增函数，

则也是增函数，C正确；

是偶函数，D不符合题意．

故选：C

6. 已知，则函数的最小值为（    ）．

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】B

【解析】

分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由于，则，

故

当且仅当，即时取到等号，

因此的最小值为6．

故选：B

7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由对数函数的单调性得出，再结合指数函数的单调性得出大小关系.

【详解】由于，并且，则；，即；．故．

故选：B

8. 如图所示的是函数（）的图像，是图像上任意一点，过点作轴的平行线，交图像于另一点（，可重合）.设线段的长为，则函数的图像是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】时，

时表示递减的一次函数

所以选A.

点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 若a，b满足，则下列不等式中，一定成立的是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题可得，然后利用幂函数、指数函数及正切函数性质即得.

【详解】若a，b满足，则，

由于，都在上单调递增，则A，C正确；

由于在上单调递减，故B正确；

而在上不具有单调性，如，故D错误．

故选：ABC.

10. 下列各组函数中，与是同一函数的有（    ）．

A. ，

B.

C. ，

D. ，

【答案】BCD

【解析】

【分析】分别判断定义域以及对应关系即可.

【详解】对于A选项，的定义域为，的定义域为，因此这两个函数不是同一函数；

对于B，C选项，两个函数定义域相同，，，对应关系相同，因此是同一函数；

对于D选项，由于恒成立，因此与是同一函数．

故选：BCD

11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为为有理数，为无理数），关于函数，下列说法正确的是（    ）．

A. 既不是奇函数，也不是偶函数

B. ，

C. 是周期函数

D. ，使得

【答案】BCD

【解析】

【分析】分别讨论为有理数与为无理数时的情况，结合函数奇偶性与周期性的定义对选项逐一判断.

【详解】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对，，故是偶函数，故A错误；当为有理数时，，当为无理数时，，当为有理数时，，当为无理数时，，所以恒成立，B正确；若是有理数，是有理数，则是有理数；若是无理数，是有理数，则是无理数，所以任取一个不为0的有理数，恒成立，即是周期函数，故C正确；若，为无理数，则也为无理数，所以，故D正确．

故选：BCD

12. 已知函数（其中，均为常数）的部分图象如图所示，则等于（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数图象判断出周期范围进而求出，排除A选项，结合特殊点坐标代入，得到BC选项正确，而D选项错误.

【详解】根据图上所标注两点之间的图象，可判断周期，,即，解得：，A错误；

B选项，，当时，，当时，，所以，均在函数图象上，符合要求，因此B正确，

由于恒成立，故C正确．

图象过，D错误．

故选：BC

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填入答题卡中对应的位置．）

13. 已知，则______．

【答案】9

【解析】

【分析】根据对数的运算结合解析式得出函数值.

【详解】

故答案为：

14. 已知，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由为奇函数得出.

【详解】由于，即，故，令，则，即在定义域内是奇函数，满足，则，故．

故答案为：

15. _______.

【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：.

考点：1、诱导公式；2、倍角公式.

16. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，今年推出的促销项目为“跨店购买每满200元，可减20元”，比如某商品总价为450元（满400元），则可减40元，最终实付款额为410元，若某购物者持有500元的预算，打算在双十一活动中购买生活用品，则他最终的实付款额y关于商品总价x的函数是一个分段函数，该函数解析式为______．（实付款额＝商品总价－跨店满减额），若该购物者最终实付款额为370元，则他所购买的商品总价为______元．

【答案】    ①     ②. 390或410

【解析】

【分析】（1）根据题中的付款规则，对的取值进行分类讨论，即可求得函数关系式；

（2）根据第一空中所求的函数关系，令，即可求得对应的.

【详解】由题意可知，当元时，没有活动可参加，实付款额和商品总价相同；

当时，跨店满减额为20元，因此；

当商品总价为元时，跨店满减额为40元，因此，

故实付款额y关于商品总价x的函数关系式为，

当元时，若，则，得（元）；

若，则，得（元），

因此他购买的商品总价为390元或410元．

故答案为：；390或410.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （1）求值：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用指数和对数的运算性质求解，

（2）利用诱导公式化简后再代值求解

【详解】解：（1）原式．

（2）因为，

所以．

18. 已知集合A为函数的定义域，集合，．

（1）用区间表示集合A；

（2）从下面的三个条件中任选其中一个：①；②；③，求解实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）选①，；选②，；选③，

【解析】

【分析】（1）根据被开方数的范围得出定义域；

（2）根据交集和包含关系得出实数a的取值范围．

【小问1详解】

根据被开方数的范围得，解得，用区间表示；

【小问2详解】

（2）由于．

若选①，，则只需，则；

若选②，，则只需，得，则；

若选③，，只需，则．

19. 已知是定义在上的奇函数，当时，

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）（2）.

【解析】

【分析】

（1）当时，，利用，结合条件及可得解；

（2）分析可得在上递增，进而得，从而得解.

【详解】（1）当时，，则，

为上的奇函数，且，

；

（2）因为当时，，所以在上递增，

当时，，所以在上递增，

所以在上递增，

因为，所以由可得，

所以不等式的解集为

20. 已知，．

（1）求的值；

（2）若，请比较与的大小关系，并给出证明．

【答案】（1）；   

（2），证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求得，再求结果即可；

（2）根据题意，由基本不等式，即可判断和证明.

【小问1详解】

由于，

则，，又，

则.

【小问2详解】

，证明如下：

根据题意有，

，

根据基本不等式，得，

当且仅当时，取到等号，又，故．

21. 如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．

（1）求扇形圆心角的大小；

（2）点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．

【答案】（1）；   

（2）点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.

【解析】

【分析】（1）利用扇形的面积公式可求得的大小；

（2）连接，设，将、用的代数式表示，利用三角恒等变换化简矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值及其对应的值，即可得出结论.

【小问1详解】

解：设，根据扇形面积公式可得，得.

【小问2详解】

解：连接，设，则，，

在中，，则，

于是矩形的面积

，

由于，则，

当，即当时，矩形的面积最大，最大为，此时点是弧的中点．

因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为.

22. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为 ①（其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．

（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于的最小整数）

（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为（其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．

（ⅰ）求满足的正整数的最小值；

（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．

参考数据：，，，．

【答案】（1）40，（2）（ⅰ）24，（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克

【解析】

【分析】（1）由题意得，两边取自然对数求出，所以，然后代入求出的值；

（2）（ⅰ）由题意得，解不等式可得答案，（ⅱ）由（ⅰ）可知当时，，然后求出的值与400千克比较可得结论

【详解】解：（1）由题意可得，则，

，

所以，

所以，

所以，

当时，，

所以，

，

所以

所以大约40年后我国人口达到13亿，

（2）（ⅰ）由，得，

所以，

化简得，

即，

解得，

因为为正整数，

所以正整数的最小值为24，

（ⅱ）由（ⅰ）当时，，

所以当时，最大，

，

即，

所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克