河北省石家庄市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份河北省石家庄市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
石家庄市2021～2022学年度第一学期期末教学质量检测高一数学（时间120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则　　A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．【详解】因为，，所以，故选C．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2. 若幂函数的图象经过点，则＝A  B.  C. 3 D. 9【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值．【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点，∴2α，解得α，∴f（x），∴f（3）．故选B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3. 祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A、B的体积相等，q：A、B在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p是q的（    ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据与的推出关系判断【详解】已知A，B为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则是的必要不充分条件故选：C4. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5. 设，，则（    ）A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】B【解析】【分析】容易得出，，即得出，，从而得出，．【详解】，.又，即，，，．故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．6. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保险时间是（    ）小时A. 6 B. 12 C. 18 D. 24【答案】A【解析】【分析】先阅读题意，再结合指数的运算即可得解.【详解】解：由题意有，，则，即，则，即该食品在的保险时间是6小时，故选A.【点睛】本题考查了指数幂的运算，重点考查了解决实际问题的能力，属基础题.7. 黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形中，，根据这些信息，可得（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，结合二倍角余弦公式、平方关系求得，再根据诱导公式即可求.【详解】由题设，可得，，所以，又，所以.故选：B8. 已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为与图象有四个交点，，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；的图象如下：所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，由图及函数性质知：，易知：，，所以故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列结论中，正确的是（    ）A. 函数是指数函数B. 函数的值域是C. 若，则D. 函数的图像必过定点【答案】BD【解析】【分析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.选项B. 当时，，故B正确.选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.10. 若，则下列关系式中一定成立的是（    ）A.  B. （）C. （是第一象限角） D. 【答案】BC【解析】【分析】由已知得，根据各选项对应函数的单调性判断大小即可.【详解】由知：，∴，，即A错误，B正确；且，即，则有，故C正确；的大小不确定，故D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、如：单调增函数；2、对于，根据所在象限确定其范围即可应用的单调性判断大小；3、由于无法确定的大小，的大小也无法确定.11. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.【详解】由题设，，，，所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：由图及、对称性知：，且，所以A、D正确，B、C错误.故选：AD12. 已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数x恒成立，则称是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（    ）A. 函数是回旋函数B. 函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是C. 若函数为回旋函数，则D. 函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点【答案】BCD【解析】【分析】A选项，得到，不存在，符合题意；B选项，得到，从而得到充要条件是；C选项，化简得到有解，则；D选项，赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点.【详解】是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，故A错误；函数（其中a为常数，）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是，B正确；在R上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，C正确；由题意得：，令得：，所以与异号，即，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ______【答案】##【解析】【分析】根据分数指数幂、对数运算性质及诱导公式化简即可.【详解】原式故答案为：14. 已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式可求得答案.【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.故答案为.【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15. 已知，且，则______【答案】##【解析】【分析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.【详解】由题设，，又，即，且，所以，故.故答案为：16. 设函数（e为自然对数的底数，a为常数），若为偶函数，则实数______；若对，恒成立，则实数a的取值范围是______【答案】    ①. 1    ②. 【解析】【分析】第一空根据偶函数的定义求参数，第二空为恒成立问题，参变分离后转化成求函数最值【详解】由，即，关于恒成立，故恒成立，等价于恒成立令，，，故a的取值范围是故答案为：1，四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在非空集合①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，已知集合______，使“”是“”的充分不必要条件，若问题中a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．【答案】答案见解析【解析】【分析】由题设可得A不为空集，，根据所选的条件，结合充分不必要关系判断A、B的包含关系，进而列不等式组求参数范围.【详解】由题意知，A不为空集，．i．如果选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则，解得，所以实数a的取值范围是；ii．如果选②，因为“”是“”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，则，此时，所以不存在a使“”是“”充分不必要条件；iii．如果选③，因为“”是“”的充分不必要条件所以A是B的真子集，则，解得，此时无解．不存在a使“”是“”的充分不必要条件．18. 已知.  (1)求的值       (2)求的值.【答案】（1）   （2）【解析】【分析】（1）由两边平方可得，利用同角关系；（2）由（1）可知从而.【详解】（1）∵.∴，即， （2）由（1）知＜0，又    ∴∴【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．19. 已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）由，对分类讨论，判断与的大小，确定不等式的解集.（2）利用把用表示,代入表示为的函数，利用基本不等式可求.【详解】解：（1）因为，所以，由，得，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；（2）因为，由已知，可得，∴，∵，∴，∴，当且仅当时取等号，所以最小值为．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于中档题.20. 已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为，；    （2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和递减区间.（2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域.【小问1详解】由题设，，所以的最小正周期为，令，，解得，，因此，函数的单调递减区间为，．【小问2详解】由（1）知，，将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，∵，则，∴，则．∴在上的值域为．21. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.【答案】（1）；    （2）函数在上是增函数，证明见解析；    （3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.【小问2详解】证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.【小问3详解】解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.22. 某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度是时间（单位：小时）的一个连续不间断的函数其函数表达式为，其中时间是午夜零点后的小时数，为常数.（1）求的值；（2）求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间；（3）若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.【答案】（1） （2）昆虫密度的最小值为0，出现最小值的时间为和 （3）至至【解析】【分析】（1）由题意得，解出即可；（2）将看成一个整体，将函数转化为二次函数，根据二次函数的单调性即可得出结论；（3）解不等式即可得出结论．【详解】解：（1）因为它是一个连续不间断的函数，所以当时，得到，即；（2）当时，，，则当时，达到最小值0，，解得，所以在和时，昆虫密度达到最小值，最小值为0；（3）时，令，得，即，即，即，解得，，因为，令得，令得所以，所以，在至至内，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．【点睛】本题主要考查分段函数在实际问题中的应用，同时考查了三角函数的应用，属于中档题．