北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，则下列数据中，不能作为第三边长的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
3．（3分）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（　　）

A．60° B．120° C．130° D．150°
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．115°
5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．（3分）阅读下面材料：
已知线段a，b．
求作：Rt△ABC，使得斜边BC＝a，一条直角边AC＝b．
作法：
（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．
（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．
（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．
（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．
上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．AAS D．SSA
8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）

A．36° B．30° C．45° D．40°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝　 　°．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝　 　．

14．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝　 　°．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　 　．

16．（3分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　 　cm．

17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　 　．

18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，BC长为半径作呱，交直线MN于点E，则∠BEC的度数为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，19-23每题5分，24-26题每题7分，共46分）
19．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．

20．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．

21．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，AE＝2，求ED长度．

22．（5分）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．

23．（5分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点C1的坐标；
（3）若P（a，a﹣1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，求点P'的坐标．

24．（7分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

25．（7分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．
②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．


26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，5），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A'B'C'．给出如下定义：如果点M在△A'B'C'的内部或边上，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．
（1）当a＝0时，在点D（﹣，3），E（﹣2，2），F（﹣3，4）中，△ABC关于直线l的“称心点”是 　 　；
（2）当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值；
（3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围．


2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形概念进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，则下列数据中，不能作为第三边长的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】由三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可判断．
【解答】解：设这个三角形第三边长是x，由三角形三边关系定理得：
5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
∴9不能作为这个三角形第三边长，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
3．（3分）如图，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度数为（　　）

A．60° B．120° C．130° D．150°
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）
＝360°﹣240°
＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）

A．75° B．95° C．105° D．115°
【分析】根据一副三角板可知∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，进一步求出∠ACF，再根据外角的性质即可求出∠1．
【解答】解：如图所示：

根据题意，得∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACF＝45°，
∴∠1＝∠A+∠ACF＝60°+45°＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】先根据角平分线的性质得到DC＝DE＝4，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【解答】解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC，
∵BC＝15cm，
∴MN＝5cm．
故选：A．

【点评】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．（3分）阅读下面材料：
已知线段a，b．
求作：Rt△ABC，使得斜边BC＝a，一条直角边AC＝b．
作法：
（1）作射线AD、AE，且AE⊥AD．
（2）以A为圆心，线段b长为半径作弧，交射线AE于点C．
（3）以C为圆心，线段a长为半径作弧，交射线AD于点B．
（4）连接BC．则△ABC就是所求作的三角形．
上述尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．AAS D．SSA
【分析】由作法可知，根据HL即可判定三角形全等．
【解答】解：题干尺规作图过程中，用到的判定三角形全等的依据是HL．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．
8．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等边对等角可得∠DAC＝40°，根据角的差可得∠BAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE的长．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×6＝3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出∠BAE＝30°．
9．（3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数是（　　）

A．36° B．30° C．45° D．40°
【分析】根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等，
所以∠ABC＝＝108°，
∵正五边形的每个条边相等，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝（180°﹣108°）÷2＝36°．
故选：A．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【分析】因为∠CAD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故②是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，则△ABC的周长为　12　．
【分析】由条件易证△ABC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周长．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝4，
∴△ABC的周长为12．
故答案为12．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质，突出了对基础知识的考查．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，则∠B＝　60　°．

【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，
∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD＝　6　．

【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
14．（3分）如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝　12　°．

【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝100°，再由角平分线定义得∠ACE＝50°，利用三角形外角的性质得∠CED＝78°，再利用角的和差关系得出答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，
∵CD是高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°−∠CED＝90°−78°＝12°，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 　2　．

【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出D到AB的距离是解题关键．
16．（3分）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　8　cm．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×5×AD＝20，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△CDM周长的最小值＝（BM+MD）+CD＝AD＝8．
故答案为：8．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
17．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则B点的坐标是　（1，4）　．

【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴则B点的坐标是（1，4），
故答案为：（1，4）．

【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线各种全等三角形．
18．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，再以点B为圆心，BC长为半径作呱，交直线MN于点E，则∠BEC的度数为 　72°或36°　．

【分析】分两种情形：画出图形分别求解即可．
【解答】解：

∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴BD＝BC，
当点E与D重合时，满足条件，此时∠BEC＝72°，
当点E在AB的左侧时，BE＝BD，
∴∠ABD＝∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝108°，
∴∠BEC＝∠BCE＝36°，
综上所述，满足条件的∠BEC的度数为72°或36°．
故答案为：72°或36°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，19-23每题5分，24-26题每题7分，共46分）
19．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．

【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD＝CD．
【解答】证明：在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．
20．（5分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．

【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝∠EFC，根据角平分线的定义得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的内角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根据三角形的外角定理即可求解．
【解答】解：∵AE⊥CD交CD于点F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠EAC＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°，
∴∠CEA＝70°，
∴∠EAC＝70°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解题的关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，AB＝5，AE＝2，求ED长度．

【分析】先根据线段的和与差得BE的长，由角平分线和平行线的性质得：∠EDB＝∠EBD，从而得结论．
【解答】解：∵AB＝5，AE＝2，
∴BE＝5﹣2＝3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能得出DE＝BE是解此题的关键．
22．（5分）如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC＝AB．

【分析】延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：延长AE，BC交于点F，

∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED＝CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ADE≌△FCE．
23．（5分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点C1的坐标；
（3）若P（a，a﹣1）是△ABC内部一点，点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，求点P'的坐标．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点C1的坐标；
（3）根据点P关于y轴对称点为P'，且PP′＝6，即可求点P'的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）点C1的坐标为（﹣5，1）；
（3）∵点P关于y轴对称点为P'，
∴P′（﹣a，a﹣1），
∵PP′＝6，
∴a﹣（﹣a）＝6，
∴a＝3，
∴点P'的坐标为（﹣3，2）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
24．（7分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．
（2）结论：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠BDC＝∠MDN＝90°，
∴∠BDN＝∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM．

（2）结论：NE﹣ME＝CM．
证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN．
作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD，
∴DF＝FN，
在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM，
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
25．（7分）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．
小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．
（2）【类比探究】
老师引导同学继续研究：
①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．
②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．


【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的长；
（2）①过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的长；
②过点P作PF∥BC交BC的延长线于点F，可证△APF是等边三角形，可得EF＝AF，通过证明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的长．
【解答】（1）解：如图，过点P作PF∥BC交AC于点F，

∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC，
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，
又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），
∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1．
（2）①解：过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F，

∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC，
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，
又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），
∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1．
②证明：

过点P作PF∥BC交BC的延长线于点F，
∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF为等边三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），
∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1，
∴DE长度保持不变．
【点评】本题考查三角形的综合应用，通过作辅助线构建新的等边三角形，通过证明三角形全等确定边之间的关系是解题的关键．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，作直线l垂直x轴于点P（a，0），已知点A（1，1），点B（1，5），以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限△ABC关于直线l对称的图形是△A'B'C'．给出如下定义：如果点M在△A'B'C'的内部或边上，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．
（1）当a＝0时，在点D（﹣，3），E（﹣2，2），F（﹣3，4）中，△ABC关于直线l的“称心点”是 　D、E　；
（2）当△ABC的边上只有1个点是△ABC关于直线l的“称心点”时，直接写出a的值；
（3）点H是△ABC关于直线l的“称心点”，且总有△HBC的面积大于△ABC的面积，求a的取值范围．

【分析】（1）作出△ABC关于y轴的对称图形，描出点D、E、F观察可得；
（2）作出图形，直观观察可得结果；
（3）作AF∥BC，作BH″∥x轴交AF于H″，延长AC至H′，使CH′＝AC，作DE∥BC，作CH′∥x轴，交DE于H′，根据平行线之间的距离相等，分别找出点C和点B关于x＝a的对称点，使其和BC构成的三角形面积相等时的临界，从而得出总大于的结果．
【解答】解：（1）如图1，

从图中可知：D、E是△ABC关于直线l的“称心点”，
故答案是：D、E；
（2）如图2，

从图可知：a＝3；
（3）如图3，

作AF∥BC，作BH″∥x轴交AF于H″，延长AC至H′，使CH′＝AC，作DE∥BC，作CH′∥x轴，交DE于H′，
当点C与点H′是对称点时，S△BCH′＝S△ABC，此时a＝5，
当点B与B″是对称点时，S△BCH″＝S△ABC，此时a＝﹣1，
∴当a＞5或a＜﹣1时，总有△HBC的面积大于△ABC的面积．
【点评】本题是阅读理解题，考查了轴对称作图和性质，平行线之间的距离等知识，解决问题的关键理解题意，画出图形，是数形结合．