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安徽省淮北市五校联考2021-2022学年九年级（上）第三次月考数学试卷(含答案)
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这是一份安徽省淮北市五校联考2021-2022学年九年级（上）第三次月考数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知x：y＝5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（4分）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
3．（4分）反比例函数y＝的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
4．（4分）抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x+2）2﹣3
5．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
6．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
7．（4分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
9．（4分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中：
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为 m．
12．（5分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD是矩形，则它的面积为 ．
13．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6、AD＝4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF＝120°，AE＝x、DF＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
14．（5分）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y＝﹣（x﹣h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．
16．（8分）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 ．
18．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，折痕为DE，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：．
2021-2022学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知x：y＝5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据合比性质，可判断A，根据分比性质，可判断B，根据合比性质、反比性质，可判断C，根据分比性质、反比性质，可判断D．
【解答】解：A、由合比性质，得＝，故A正确；
B、由分比性质，得＝，故B正确；
C、由反比性质，得y：x＝2：5．由合比性质，得＝，再由反比性质，得＝，故C正确；
D、由反比性质，得y：x＝2：5．由分比性质，得＝．再由反比性质，得＝，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键．
2．（4分）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
【分析】延长BD交地面于点E，根据勾股定理求出BD，根据∠B的正切值，根据坡度的概念解答即可．
【解答】解：延长BD交地面于点E，
由题意得：∠BDC＝90°，
则BD＝＝6（米），
∴tanB＝＝＝1：2.4，
∵∠OEC＝∠BDC＝90°，∠OCE＝∠BCD，
∴∠O＝∠B，
∴斜坡的坡度为1：2.4，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
3．（4分）反比例函数y＝的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
【分析】根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵在在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k﹣1＞0是解此题的关键．
4．（4分）抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x+2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是：y＝（x﹣2）2+2﹣5，即y＝（x﹣2）2﹣3；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
【分析】已知抛物线的对称轴为x＝2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．
【解答】解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为（4，3）
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的对称性．
6．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．
7．（4分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】把∠α放入直角三角形中，根据三角函数定义即可得答案．
【解答】解：如图：
由网格的特征可知，△ABC是直角三角形，
∴AB＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查网格中求三角函数值，解题的关键是将∠α放入直角三角形，掌握三角函数的定义．
8．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与D正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得B正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当＝，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当＝，即BC2＝CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
9．（4分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中：
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】直接利用二次函数的对称轴以及开口方向结合函数解析式分别分析得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，
∴a＜0，c＞0；1＝﹣，
则ac＜0；故①错误；
2a﹣b＝0，故②正确；
∵图象与x轴两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵当x＝1时，二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）取到最值，
∴a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确数形结合分析是解题关键．
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为 4 m．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ＝；即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2，FD＝8；
∵∠ECD+∠FCD＝90°，
∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴＝；
即DC2＝ED•FD，
∴代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
12．（5分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD是矩形，则它的面积为 3 ．
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为2，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为5，
∴矩形ABCD的面积为5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6、AD＝4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF＝120°，AE＝x、DF＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
【分析】由∠A＝∠D＝120°，∠BEF＝120°可得△ABE∽△DEF，进而求解．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝120°，
∴∠ABE+∠AEB＝60°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB+∠DEF＝60°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝，
∵AE＝x、DF＝y，AB＝6、AD＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质．
14．（5分）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y＝﹣（x﹣h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 16 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 9＜h＜18.5 ．
【分析】（1）由第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，列出方程即可得到答案；
（2）由在当月中旬日销售额达到最大值和第18天后的日销售额呈下降趋势，列出不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
∴[﹣（18﹣h）2+k]﹣[﹣（19﹣h）2+k]＝5，
∴37﹣2h＝5，解得h＝16，
∴y＝﹣（x﹣16）2+k，
∵﹣1＜0，
∴x＝16即第16天，日销售额最大；
故答案为：16；
（2）∵在当月中旬日销售额达到最大值，
∴9＜h＜21，
又第18天后的日销售额呈下降趋势，
∴h＜，即h＜18.5，
故答案为：9＜h＜18.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程或不等式．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣×﹣2×+﹣1＝﹣﹣+﹣1＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
【分析】首位根据已知条件判定ED＝AD；然后利用相似三角形△BED∽△BCA的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC．
∵ED∥CA，
∴∠DEA＝∠EAC．
∴∠DAE＝∠DEA．
∴ED＝AD．
∵ED∥CA，
∴△BED∽△BCA．
∴＝，
∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，
∴＝．
∴ED＝．
∴AD＝．
故AD的长为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 （2a，2b） ．
【分析】（1）由以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得A1、B1、C1的坐标，继而画出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变换后对应的点P′的坐标．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（a，b），
∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
【点评】此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键．
18．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝求出k2＝2，得到双曲线的解析式为y＝，再把B（m，﹣1）代入y＝确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当x＞1或﹣2＜x＜0时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k1x+b＞．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，2），
∴k2＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
∵点B（m，﹣1）在双曲线y＝上，
∴m＝﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝k1x+b，解得，
∴直线的解析式为：y＝x+1．…（2分）
（2）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ADB＝69°，再由tan69°＝即可得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠ACF＝30°，由tan30°＝得出AF的长，故可得出BF的长，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵AE∥BD，∠EAD＝69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB＝69°，
∵tan69°＝，
∴BD＝．
∴BD≈≈30（m）；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，CF＝BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC＝30°，
∴∠ACF＝30°．
∵tan30°＝，
∴AF＝CF•tan30°＝30×，
∴CD＝BF＝80﹣10（m）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．
【分析】（1）由平行四边形和∠AEF＝∠CAB，证明出∠AEF＝∠ACD，即可证明结论；
（2）设CF＝x，AF＝2x，列出相似比代入即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵∠AEF＝∠CAB，
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD；
（2）解：AF＝2CF，设CF＝x，AF＝2x，
由△AEF∽△ACD得，
，
∴AF×AC＝AE×AD，即2x•3x＝4•（4+5），
解得x＝，
∴AC＝3x＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，第二问的关键是设出未知数列出对应边的比．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法可得问题的答案；
（2）令y＝0可得点CD的坐标，过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，然后根据矩形、三角形的面积和差关系可得答案；
（3）先求得AB的长，设P（x，0），表示出PA，BP，分两种情况讨论：①当∠BAP1＝90°时，PA2+AB2＝PB2，②当∠ABP21＝90°时，PB2+AB2＝PA2，列出方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）把（0，n）代入y＝ax2﹣x+2中得，
n＝2，即A（0，2），
把（0，2）代入y＝x+b中得，
b＝2，
∴y＝x+2，
把B（m，4）代入y＝x+2中得，
+2＝4，
∴m＝6，即B（6，4），
把B（6，4）代入y＝ax2﹣x+2中得，36a﹣10+2＝4，
∴a＝，即y＝x2﹣x+2，
∴直线表达式是y＝x+2，
抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；
（2）解方程x2﹣x+2＝0，得
x1＝2，x2＝3，
∵点C在点D右侧，
∴C（3，0），D（2，0），
过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，
∴F（6，0），
∵A（0，2），B（6，4），C（3，0），D（2，0），
∴AO＝2，DO＝2，CE＝3，BE＝4，OE＝6，
∴S四边形ABCD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BCE
＝（AO+BE）•OE﹣AO•OD﹣BE•CE
＝×（2+4）×6﹣×2×2﹣×3×4
＝18﹣2﹣6
＝10，即四边形ABCD的面积为10；
（3）设P（t，0），A（0，2），B（6，4），
∴PA2＝t2+4，BP2＝（t﹣6）2+16，
AB2＝36+4＝40，
①当∠PAB＝90°时，
∴t2+4+40＝（t﹣6）2+16，
∴t＝，即P（，0）；
②当∠APB＝90°时，
∴t2+4+（t﹣6）2+16+40，
∴x＝2或4，
∴P（2，0）或P（4，0），
综上所述△PAB以AP为直角边时，P（，0）或P（2，0）或P（4，0）．
【点评】此题考查的是二次函数的性质、待定系数法求解析式、两点间的距离、面积法等知识，掌握待定系数法求的解析式是解决此题关键．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，折痕为DE，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，由折叠的性质得出∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，证出∠AB'E＝∠B'DC＝α，设AE＝a，AB'＝n，得出BE＝2n﹣a，由勾股定理a2+n2＝（2n﹣a）2，求出n＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）方法同（1）可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）同理可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（4）设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，设AE＝a，则B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，由勾股定理得出a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，求出a＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，
∴∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，
∴∠AB'E+∠DB'C＝135°，
∵∠B'DC+∠DB'C＝135°，
∴∠AB'E＝∠B'DC＝α，
∵＝1，
∴AB＝AC＝2AB'，
设AE＝a，AB'＝n，
∴BE＝2n﹣a，
∴B'E＝2n﹣a，
∵AE2+AB'2＝EB'2，
∴a2+n2＝（2n﹣a）2，
∴n＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝；
故答案为：；
（2）∵＝2，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝2n，
∴BE＝B'E＝3n﹣a，
∴a2+（2n）2＝（3n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：；
（3）∵＝3，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝3n，
∴BE＝B'E＝4n﹣a，
∴a2+（3n）2＝（4n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：．
（4）；
理由如下：
当＝n时，则AB′＝nB′C，
设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，
设AE＝a，则B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，
∴a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，
∴a＝，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：．
【分析】（1）由∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，得∠ABG＝∠C，再由∠AEC＝∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，且∠AEF＝∠ABC得∠BAG＝∠CEF，可证明△ABG∽△ECF；
（2）在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，先证明△AEB≌△CEH，得EG＝EH，再证明∠EFH＝∠EHF，则EF＝EH，于是有EG＝EF；
（3）过点G作GM∥AC交BC于点M，则△EGM∽△EAC，得，再证明GM＝BG，EG＝EF，则有．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，
∴∠ABG＝∠C；
∵∠AEC＝∠ABC+∠BAG，∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴∠BAG＝∠CEF，
∴△ABG∽△ECF．
（2）证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，
∵∠EBG＝∠ABG，∠ABG＝∠C，
∴∠EBG＝∠C，
∵BE＝CE，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴EG＝EH，∠BGE＝∠CHE，
∵△ABG∽△ECF，
∴∠AGB＝∠EFH，∠AGB+∠BGE＝180°，
∴∠EFH+∠BGE＝180°，
∵∠EHF+∠CHE＝180°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（3）证明：如图3，过点G作GM∥AC交BC于点M，
∴△EGM∽△EAC，
∴，
∵∠EBG＝∠C＝∠EMG，
∴GM＝BG，
∵EG＝EF，
∴．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的判定等知识与方法，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造全等三角形、相似三角形、等腰三角形，以便于根据这些图形的性质解决问题．
2021-2022学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知x：y＝5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（4分）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
3．（4分）反比例函数y＝的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
4．（4分）抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x+2）2﹣3
5．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
6．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
7．（4分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
9．（4分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中：
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为 m．
12．（5分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD是矩形，则它的面积为 ．
13．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6、AD＝4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF＝120°，AE＝x、DF＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
14．（5分）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y＝﹣（x﹣h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．
16．（8分）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 ．
18．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，折痕为DE，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：．
2021-2022学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）已知x：y＝5：2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据合比性质，可判断A，根据分比性质，可判断B，根据合比性质、反比性质，可判断C，根据分比性质、反比性质，可判断D．
【解答】解：A、由合比性质，得＝，故A正确；
B、由分比性质，得＝，故B正确；
C、由反比性质，得y：x＝2：5．由合比性质，得＝，再由反比性质，得＝，故C正确；
D、由反比性质，得y：x＝2：5．由分比性质，得＝．再由反比性质，得＝，故D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住性质是解题关键．
2．（4分）如图，学校旁边一处斜坡OA上有一棵风景树，树高BC为6.5米，903班数学活动小组在某个时刻测得树的影长CD为2.5米，此时阳光恰好垂直照射在斜坡上，则这个斜坡的坡度为（ ）
A．1：2.6 B．1：2.4 C．12：13 D．13：12
【分析】延长BD交地面于点E，根据勾股定理求出BD，根据∠B的正切值，根据坡度的概念解答即可．
【解答】解：延长BD交地面于点E，
由题意得：∠BDC＝90°，
则BD＝＝6（米），
∴tanB＝＝＝1：2.4，
∵∠OEC＝∠BDC＝90°，∠OCE＝∠BCD，
∴∠O＝∠B，
∴斜坡的坡度为1：2.4，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
3．（4分）反比例函数y＝的图象的两个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＞0 C．k＞3 D．k＜0
【分析】根据反比例函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵在在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k﹣1＞0是解此题的关键．
4．（4分）抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+7 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x+2）2﹣3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到的抛物线的表达式是：y＝（x﹣2）2+2﹣5，即y＝（x﹣2）2﹣3；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
【分析】已知抛物线的对称轴为x＝2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．
【解答】解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，
可知A、B两点为对称点，
∴B点坐标为（4，3）
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的对称性．
6．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴相似比是2：3，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为2：3．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．
7．（4分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】把∠α放入直角三角形中，根据三角函数定义即可得答案．
【解答】解：如图：
由网格的特征可知，△ABC是直角三角形，
∴AB＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查网格中求三角函数值，解题的关键是将∠α放入直角三角形，掌握三角函数的定义．
8．（4分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列一个条件仍不能判断△ADB与△ABC相似的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．BC2＝CD•AC D．AB2＝AD•AC
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与D正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得B正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当＝，即AB2＝AC•AD时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当＝，即BC2＝CD•AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
9．（4分）二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中：
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】直接利用二次函数的对称轴以及开口方向结合函数解析式分别分析得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，
∴a＜0，c＞0；1＝﹣，
则ac＜0；故①错误；
2a﹣b＝0，故②正确；
∵图象与x轴两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵当x＝1时，二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）取到最值，
∴a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确数形结合分析是解题关键．
10．（4分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度约为 4 m．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ＝；即DC2＝ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2，FD＝8；
∵∠ECD+∠FCD＝90°，
∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠FCD，
又∵∠EDC＝∠FDC＝90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴＝；
即DC2＝ED•FD，
∴代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
12．（5分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD是矩形，则它的面积为 3 ．
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为2，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为5，
∴矩形ABCD的面积为5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6、AD＝4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF＝120°，AE＝x、DF＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
【分析】由∠A＝∠D＝120°，∠BEF＝120°可得△ABE∽△DEF，进而求解．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝120°，
∴∠ABE+∠AEB＝60°，
∵∠BEF＝120°，
∴∠AEB+∠DEF＝60°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝，
∵AE＝x、DF＝y，AB＝6、AD＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质．
14．（5分）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y＝﹣（x﹣h）2+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 16 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 9＜h＜18.5 ．
【分析】（1）由第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，列出方程即可得到答案；
（2）由在当月中旬日销售额达到最大值和第18天后的日销售额呈下降趋势，列出不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
∴[﹣（18﹣h）2+k]﹣[﹣（19﹣h）2+k]＝5，
∴37﹣2h＝5，解得h＝16，
∴y＝﹣（x﹣16）2+k，
∵﹣1＜0，
∴x＝16即第16天，日销售额最大；
故答案为：16；
（2）∵在当月中旬日销售额达到最大值，
∴9＜h＜21，
又第18天后的日销售额呈下降趋势，
∴h＜，即h＜18.5，
故答案为：9＜h＜18.5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程或不等式．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣×﹣2×+﹣1＝﹣﹣+﹣1＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
【分析】首位根据已知条件判定ED＝AD；然后利用相似三角形△BED∽△BCA的对应边成比例求得答案．
【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC．
∵ED∥CA，
∴∠DEA＝∠EAC．
∴∠DAE＝∠DEA．
∴ED＝AD．
∵ED∥CA，
∴△BED∽△BCA．
∴＝，
∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，
∴＝．
∴ED＝．
∴AD＝．
故AD的长为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变化后对应的点P′的坐标是 （2a，2b） ．
【分析】（1）由以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得A1、B1、C1的坐标，继而画出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变换后对应的点P′的坐标．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（a，b），
∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
【点评】此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键．
18．（8分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝求出k2＝2，得到双曲线的解析式为y＝，再把B（m，﹣1）代入y＝确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当x＞1或﹣2＜x＜0时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k1x+b＞．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，2），
∴k2＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
∵点B（m，﹣1）在双曲线y＝上，
∴m＝﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝k1x+b，解得，
∴直线的解析式为：y＝x+1．…（2分）
（2）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度（精确到1m）；
（参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）先根据平行线的性质得出∠ADB＝69°，再由tan69°＝即可得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠ACF＝30°，由tan30°＝得出AF的长，故可得出BF的长，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵AE∥BD，∠EAD＝69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB＝69°，
∵tan69°＝，
∴BD＝．
∴BD≈≈30（m）；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，CF＝BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC＝30°，
∴∠ACF＝30°．
∵tan30°＝，
∴AF＝CF•tan30°＝30×，
∴CD＝BF＝80﹣10（m）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．
【分析】（1）由平行四边形和∠AEF＝∠CAB，证明出∠AEF＝∠ACD，即可证明结论；
（2）设CF＝x，AF＝2x，列出相似比代入即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵∠AEF＝∠CAB，
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD；
（2）解：AF＝2CF，设CF＝x，AF＝2x，
由△AEF∽△ACD得，
，
∴AF×AC＝AE×AD，即2x•3x＝4•（4+5），
解得x＝，
∴AC＝3x＝3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，第二问的关键是设出未知数列出对应边的比．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，直线y＝x+b和抛物线y＝ax2﹣x+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y＝ax2﹣x+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形ABCD的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法可得问题的答案；
（2）令y＝0可得点CD的坐标，过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，然后根据矩形、三角形的面积和差关系可得答案；
（3）先求得AB的长，设P（x，0），表示出PA，BP，分两种情况讨论：①当∠BAP1＝90°时，PA2+AB2＝PB2，②当∠ABP21＝90°时，PB2+AB2＝PA2，列出方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）把（0，n）代入y＝ax2﹣x+2中得，
n＝2，即A（0，2），
把（0，2）代入y＝x+b中得，
b＝2，
∴y＝x+2，
把B（m，4）代入y＝x+2中得，
+2＝4，
∴m＝6，即B（6，4），
把B（6，4）代入y＝ax2﹣x+2中得，36a﹣10+2＝4，
∴a＝，即y＝x2﹣x+2，
∴直线表达式是y＝x+2，
抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；
（2）解方程x2﹣x+2＝0，得
x1＝2，x2＝3，
∵点C在点D右侧，
∴C（3，0），D（2，0），
过B作BE⊥y轴于E，作BF⊥x轴于F，
∴F（6，0），
∵A（0，2），B（6，4），C（3，0），D（2，0），
∴AO＝2，DO＝2，CE＝3，BE＝4，OE＝6，
∴S四边形ABCD＝S梯形ABCD﹣S△AOD﹣S△BCE
＝（AO+BE）•OE﹣AO•OD﹣BE•CE
＝×（2+4）×6﹣×2×2﹣×3×4
＝18﹣2﹣6
＝10，即四边形ABCD的面积为10；
（3）设P（t，0），A（0，2），B（6，4），
∴PA2＝t2+4，BP2＝（t﹣6）2+16，
AB2＝36+4＝40，
①当∠PAB＝90°时，
∴t2+4+40＝（t﹣6）2+16，
∴t＝，即P（，0）；
②当∠APB＝90°时，
∴t2+4+（t﹣6）2+16+40，
∴x＝2或4，
∴P（2，0）或P（4，0），
综上所述△PAB以AP为直角边时，P（，0）或P（2，0）或P（4，0）．
【点评】此题考查的是二次函数的性质、待定系数法求解析式、两点间的距离、面积法等知识，掌握待定系数法求的解析式是解决此题关键．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，折痕为DE，记∠CDB′＝α．
（1）当＝1时，tanα＝ ；
（2）当＝2时，tanα＝ ；
（3）当＝3时，tanα＝ ；
（4）猜想：当＝n时，tanα＝ ，并证明你的结论．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，由折叠的性质得出∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，证出∠AB'E＝∠B'DC＝α，设AE＝a，AB'＝n，得出BE＝2n﹣a，由勾股定理a2+n2＝（2n﹣a）2，求出n＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（2）方法同（1）可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（3）同理可求出n＝a，得出AB'＝a，由锐角三角函数的定义可得出答案；
（4）设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，设AE＝a，则B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，由勾股定理得出a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，求出a＝，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵把∠B折叠，使点B落在AC上的点B′处，
∴∠B＝∠DB'E＝45°，BE＝B'E，
∴∠AB'E+∠DB'C＝135°，
∵∠B'DC+∠DB'C＝135°，
∴∠AB'E＝∠B'DC＝α，
∵＝1，
∴AB＝AC＝2AB'，
设AE＝a，AB'＝n，
∴BE＝2n﹣a，
∴B'E＝2n﹣a，
∵AE2+AB'2＝EB'2，
∴a2+n2＝（2n﹣a）2，
∴n＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝；
故答案为：；
（2）∵＝2，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝2n，
∴BE＝B'E＝3n﹣a，
∴a2+（2n）2＝（3n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：；
（3）∵＝3，
∴，
同理设AE＝a，AB'＝3n，
∴BE＝B'E＝4n﹣a，
∴a2+（3n）2＝（4n﹣a）2，
∴n＝a，
∴AB'＝a，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝＝，
故答案为：．
（4）；
理由如下：
当＝n时，则AB′＝nB′C，
设AB＝AC＝（n+1）x，则AB′＝nx，
设AE＝a，则B′E＝BE＝[（a+1）x﹣a]，
∴a2+（nx）2＝[（n+1）x﹣a]2，
∴a＝，
∴tanα＝tan∠AB'E＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF＝∠ABC．
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG＝EF；
（3）求证：．
【分析】（1）由∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，得∠ABG＝∠C，再由∠AEC＝∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，且∠AEF＝∠ABC得∠BAG＝∠CEF，可证明△ABG∽△ECF；
（2）在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，先证明△AEB≌△CEH，得EG＝EH，再证明∠EFH＝∠EHF，则EF＝EH，于是有EG＝EF；
（3）过点G作GM∥AC交BC于点M，则△EGM∽△EAC，得，再证明GM＝BG，EG＝EF，则有．
【解答】（1）证明：如图1，∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABG＝2∠C，
∴∠ABG＝∠C；
∵∠AEC＝∠ABC+∠BAG，∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠ABC+∠BAG＝∠AEF+∠CEF，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴∠BAG＝∠CEF，
∴△ABG∽△ECF．
（2）证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝BG，连接EH，
∵∠EBG＝∠ABG，∠ABG＝∠C，
∴∠EBG＝∠C，
∵BE＝CE，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴EG＝EH，∠BGE＝∠CHE，
∵△ABG∽△ECF，
∴∠AGB＝∠EFH，∠AGB+∠BGE＝180°，
∴∠EFH+∠BGE＝180°，
∵∠EHF+∠CHE＝180°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH，
∴EG＝EF．
（3）证明：如图3，过点G作GM∥AC交BC于点M，
∴△EGM∽△EAC，
∴，
∵∠EBG＝∠C＝∠EMG，
∴GM＝BG，
∵EG＝EF，
∴．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的判定等知识与方法，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，构造全等三角形、相似三角形、等腰三角形，以便于根据这些图形的性质解决问题．
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