2022岳阳高一上学期期末数学含解析

岳阳市2022年高中教学质量监测试卷

高一数学

一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据特定字母表示的具体数集判断元素是否在集合中

【详解】因为﹣1是整数，不是自然数，所以A不正确；

因为0不是正整数，所以B正确；

因为是无理数，不是有理数，所以C不正确；

因为是实数，所以D不正确.

故选：B

2. 若，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由基本不等式可判断各选项

【详解】由于，可知a与b同号，显然当，时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；

由，得，，所以，选项C错误；

显然，，，，选项D正确.

故选：D

3. 已知角为第三象限角，则点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由各象限角三角函数的符号可判断选项

【详解】∵角为第三象限角，，，

∴点在第四象限.

故选：D.

4. 已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，由与直线有两个交点，可得的取值范围．

【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则

故选：D

5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：∵，即，即，，即，所以.

故选：A.

6. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由二次函数和对数函数的性质，即可判断出结果.

【详解】当时，单调递增，开口向上，不过原点，且对称轴，可排除AB选项；

当时，单调递减，开口向下，可排除D，故选C

【点睛】本题主要考查函数的图像问题，通过对数函数的单调性，以及二次函数的对称性和开口方向，即可判断出结果，属于基础题型.

7. 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的一个对称中心是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据图象变换，求出变换后函数解析式，然后根据解析式求解中心.

【详解】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：，再向右平移个单位得到图象的解析式

当时，，所以是函数的一个对称中心.

故选：B.

8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复合函数的单调性，即可计算结果.

【详解】根据复合函数的单调性可知，若函数在区间上单调递增，

需满足，解得：.

故选：D

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，若为偶函数，则通过解析式判断函数在上的单调性确定选项

【详解】解：

对于A，函数是奇函数，故A不符合题意；

对于B，是偶函数，且易判断在区间上单调递增，故B符合题意；

对于C，，故为奇函数；

对于D，为偶函数，且在单调递增，故D符合题意；

故选:BD.

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 是第二象限角

B. 函数的最小正周期是

C. 若，则

D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：根据负角的定义和象限角的范围进行判断即可；

B：根据正弦函数的周期性，结合绝对值的性质进行判断即可；

C：根据同角的三角函数关系式中的商关系进行求解判断即可；

D：利用弧长公式、扇形面积公式进行求解判断即可.

【详解】解：对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，故A正确；

对于B：因为函数的最小正周期是，

所以函数的最小正周期是，故B正确；

对于C：若，则，故C错误；

对于D：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为，故D正确.

故选：ABD.

11. 若函数（且）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（    ）

A  B. 2 C. 3 D. 4

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用分段函数单调性的判定，列出相应不等式组可解出的范围，并判断各选项

【详解】解：因为函数且在R上为单调递增函数，

则函数需满足：，即：.

故选：BCD

12. 下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的零点所在区间为，则

B. 函数的图象恒过一定点，这个定点是

C. “”是“”的必要条件

D. “”是“关于x的方程有一正根和一负根”的充要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据零点存在定理、指数函数的图象与性质、不等式的性质、及二次函数根的分布可判断各选项

【详解】对于A：函数是单调函数，故函数最多存在一个零点，且，，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间内，故.所以A正确；

对于B：函数，令，得，此时

∴函数的图象过定点，所以B正确；

对于C：“”推不出“”，所以C错误；

对于D：方程有一正一负根（设为，）等价于，即，

则“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，所以D正确.

故选：ABD.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若函数，则___________.

【答案】1

【解析】

【分析】先求的值，然后根据分段函数代入可求结果.

【详解】解：，则.

故答案为：1

14. 计算____．

【答案】3

【解析】

【分析】由指数幂运算以及对数运算法则，即可求出结果.

【详解】,故答案为3

【点睛】本题主要考查指数幂运算以及对数运算法则，属于基础题型.

15. 求值：___________.

【答案】.

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式展开变形后可以求值

【详解】因为

即：

故：

故答案为：.

16. 如果函数同时满足下列两个条件：①函数图象关于直线对称；②函数图象关于点对称，那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出一个这样的“点轴对称函数”___________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据题意，设，由“点轴对称型函数”的定义可知的图象关于直线对称，且关于点对称，从而得出，当时，解方程求出，即可得出的解析式.

【详解】解：根据题意，设，

由于的图象关于直线对称，且关于点对称，

则，即，

当时，解得：，

所以或.

故答案为：或.

四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，集合，

（1）若，求和；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，得到，，再利用补集、并集和交集运算求解；

（2）由，得到，分， 求解.

小问1详解】

解：时，，

所以，

所以

；

【小问2详解】

∵，

，

①若时，，解得，符合题意；

②若时，，解得.

综上可得.

18. 已知，为锐角，，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】(1)由二倍角正切公式即可求得；

(2)由同角三角函数的关系，可得和的值，再由二倍角公式，得解；

(3)先由二倍角公式求得的值，再由同角三角函数的平方关系求得的值，根据，结合两角差的正弦公式与角的范围，得解.

【小问1详解】

;

【小问2详解】

因为为锐角，且，所以，，

所以.

【小问3详解】

由知，，

因，为锐角，，所以，

，

又，为锐角，∴，故.

19. 已知函数 ．

（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）； （2）不存在.

【解析】

【分析】（1）结合题意得到关于实数的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；

（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数的值，得到答案．

【详解】（1）由题意，函数且，设，

因为当时，函数恒有意义，即对任意时恒成立，

又由，可得函数在上为单调递减函数，

则满足，解得，

所以实数的取值范围是．

（2）不存在，理由如下：

假设存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为，

可得，即，即，解得，即，

又由当时，，此时函数为意义，

所以这样的实数不存在．

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．

20. 设函数的最小正周期为，其中.

（1）求函数的递增区间；

（2）求函数在上的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；

（2）由，可求出，并进而求出的值域.

【小问1详解】

由已知，解析式可化简为
 

∵的最小正周期为，且，∴，解得，

∴，设，

∵函数的递增区间是，

由，得.

∴函数的递增区间是；

【小问2详解】

当时，..

∴，故函数在上的值域是.

21. 经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求的函数关系式；

（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

【解析】

【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出的函数关系式；

（2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值；第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．

【详解】解：（1），

所以；

（2）当时，，

所以当时，取最大值为元，

当时，，

而，

当且仅当即时取等号，

所以元，

综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

22. 设函数(且)是定义在上的奇函数.

（1）若，求使不等式对恒成立的实数的取值范围；

（2）设函数的图像过点，函数.若对于任意的，都有，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为.

【解析】

【分析】

（1）根据是奇函数可求得，由可得，继而判断是增函数，将不等式化为，利用单调性可得对恒成立，即可求解；

（2）由点求得，可判断在上单调递增，进而可得，求出的最大最小值即可.

【详解】解：（1）∵是定义在上的奇函数，

∴，∴，解得，

则，此时，满足题意，

而等价于，

若，则，结合且，解得，

则为增函数，

结合，可得，

根据题意，对恒成立，

则，解得；

（2）∵函数的图像过点，∴，

解得(不符，舍去)或，

∴，

在上单调递增，

在上单调递增，

∵对于任意的，都有，

且在区间上恒有，∴，

则，，

则，即的最小值为.

【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为，利用单调性求解.