山西省晋中市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份山西省晋中市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山西省晋中市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．（3分）刘徽是中国历史上最杰出的数学家之一，他的一部专著是中国最早的测量数学专著，使中国的测量学达到了世界的巅峰．这部著作是（　　）

A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《孙子算经》 D．《海岛算经》
3．（3分）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（　　）

A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
4．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（4，y2）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
5．（3分）如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
7．（3分）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝2Ω时，I＝6A．若电阻R增大1Ω，则电源I为（　　）

A．3A B．4A C．7A D．12A
8．（3分）为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从2019年的12元/件连续降价至2021年的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x，则所列方程为（　　）

A．12（1﹣x）2＝9.72 B．12（1﹣2x）＝9.72
C．9.72（1+x）2＝12 D．9.72（1+2x）＝12
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC＝2：1，AE与BD交于点F，则△BEF与△ABD的面积之比是（　　）

A．2：3 B．4：9 C．4：15 D．9：15
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若＝，则＝　 　．
12．（3分）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 　 　（填写“平行投影”或“中心投影”）．

13．（3分）第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为 　 　m2．

14．（3分）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深远．老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影长EF约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度DE约为 　 　米．

15．（3分）如图，四边形OABC是正方形，OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的负半轴上，反比例函数y＝﹣在第二象限的图象与BC，AB分别交于点E，F．若∠EOF＝30°，则线段OE的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（5分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
17．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，说明如下：
将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为（x+2），宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形．图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即：4x（x+2）+22＝4×35+4，
可得新方程：（x+x+2）2＝144，
∵x表示边长，
∴2x+2＝12．
∴x＝5．
任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 　 　；
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．演绎思想
D．公理化思想
②用配方法解方程：x2+2x﹣35＝0．
任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是 　 　．（写出一条即可）

18．（7分）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．
（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标 　 　；
（2）若以点A1为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2：1．

19．（8分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌的真实历史．为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．请判断四边形BFCD的形状，并加以证明．

21．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，a），B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出点B的坐标，并直接写出△AOB的面积；
（3）根据图象，请直接写出不等式﹣x+4＞的解集．

22．（8分）2021年12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．

23．（11分）问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝　 　．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．

24．（13分）如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，边OA，OC分别落在x轴和y轴上，顶点B的坐标（8，4），点D是边BC上一动点，过点D作反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB交于点E．
（1）如图1，连接DE，AC，若BD：BC＝3：4．
①填空：点D的坐标为 　 　，点E的坐标为 　 　；
②请判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连接OB，OD，若线段OB平分∠DOA．
①求k的值；
②若动点M在y轴上运动，当线段ME与MD的差最大时，请直接写出点M的坐标．


2021-2022学年山西省晋中市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（3分）刘徽是中国历史上最杰出的数学家之一，他的一部专著是中国最早的测量数学专著，使中国的测量学达到了世界的巅峰．这部著作是（　　）

A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《孙子算经》 D．《海岛算经》
【分析】结合《九章算术注》相关知识直接回答得出答案．
【解答】解：刘徽给《九章算术》写过注文，《海岛算经》是刘徽所著，
故选：D．
【点评】此题主要考查了数学常识，正确掌握《九章算术注》有关知识是解题关键．
3．（3分）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（　　）

A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
【分析】根据相似图形的定义即可得到结论．
【解答】解：∵利用放大镜将标尺上的数码放大，放大后的数码与标尺上的数码形状相同，
∴放大后的数码与标尺上的数码是相似图形，
∴这种图形变换是相似变换，
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟练掌握相似图形的定义是解决问题的关键．
4．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（4，y2）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】利用待定系数法求出函数值y1，y2即可判断．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（4，y2）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，
∴x＝﹣3时，y1＝4，
x＝4时，y2＝﹣3，
∴y1＞y2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数坐标特点，由反比例函数确定函数值即可．
5．（3分）如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
6．（3分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，则∠AED＝∠AFB＝90°，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的判定得出△AED≌△AFB，根据全等三角形的性质得出AD＝AB，再根据菱形的判定得出即可．
【解答】解：设重叠部分的图形是四边形ABCD，过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，则∠AED＝∠AFB＝90°，

∵丝带的对边平行且宽度相同，
∴AE＝AF，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，
在△AED和△AFB中，
，
∴△AED≌△AFB（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
即重叠部分的图形是菱形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定和全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
7．（3分）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝2Ω时，I＝6A．若电阻R增大1Ω，则电源I为（　　）

A．3A B．4A C．7A D．12A
【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．
【解答】解：设I＝，当R＝2Ω时，I＝6A时，
则6＝，
解得：U＝12，
故I＝，
若电阻R增大1Ω，则电流I为：I＝＝4（A）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
8．（3分）为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有2种，
∴抽到“作业”和“手机”的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从2019年的12元/件连续降价至2021年的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x，则所列方程为（　　）

A．12（1﹣x）2＝9.72 B．12（1﹣2x）＝9.72
C．9.72（1+x）2＝12 D．9.72（1+2x）＝12
【分析】利用2021年快递的平均单价＝2019年快递的平均单价×（1﹣每年降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：12（1﹣x）2＝9.72．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC＝2：1，AE与BD交于点F，则△BEF与△ABD的面积之比是（　　）

A．2：3 B．4：9 C．4：15 D．9：15
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可得，＝，即可求解．
【解答】解：∵BE：EC＝2：1，
∴BE：BC＝2：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，＝，
∴设S△BEF＝4x，S△ADF＝9x，
∵BF：DF＝2：3，
∴S△ABF＝6x，
∴S△ABD＝15x，
∴△BEF与△ABD的面积之比＝4：15，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若＝，则＝　　．
【分析】根据比例设a＝3k，b＝7k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝3k，b＝7k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简便．
12．（3分）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是 　中心投影　（填写“平行投影”或“中心投影”）．

【分析】根据中心投影的定义判断即可．
【解答】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影，
故答案为：中心投影．
【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型．
13．（3分）第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为 　0.9　m2．

【分析】用长方形的面积乘以骰子落在会徽图案上的频率的稳定值即可．
【解答】解：估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为3×2×0.15＝0.9（m2），
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14．（3分）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深远．老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影长EF约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度DE约为 　38　米．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设文峰塔DE的高度为x米，
则可列比例为＝，
解得x＝38．
所以文峰塔的高度DE约为38米．
故答案为：38．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
15．（3分）如图，四边形OABC是正方形，OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的负半轴上，反比例函数y＝﹣在第二象限的图象与BC，AB分别交于点E，F．若∠EOF＝30°，则线段OE的长为 　4　．

【分析】先根据反比例函数图象的得到△OCE≌△OAF，再根据∠EOF＝30°，得到∠COE＝∠AOF＝30°，进而求得CE的长度，即可得到最后答案．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE＝90°，
∵反比例函数y＝﹣在第二象限的图象与BC，AB分别交于点E，F，
∴CE×OC＝AF×OA＝8，
∴CE＝AF，
在△OCE与OAF中，
，
∴△OCE≌△OAF（SAS），
∵∠EOF＝30°，
∴∠COE＝∠AOF＝30°，
∴OC＝CE，
∵CE×OC＝8，
∴CE＝2，
∴OE＝2CE＝4，
故答案为：4．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（5分）解方程：2（x2﹣1）＝3x+3．
【分析】方程整理后利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣5＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）
＝9+40
＝49＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
17．（7分）阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，说明如下：
将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为（x+2），宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形．图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即：4x（x+2）+22＝4×35+4，
可得新方程：（x+x+2）2＝144，
∵x表示边长，
∴2x+2＝12．
∴x＝5．
任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 　B　；
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．演绎思想
D．公理化思想
②用配方法解方程：x2+2x﹣35＝0．
任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是 　漏解　．（写出一条即可）

【分析】任务一：①观察构造图形的方法判断即可；
②方程利用配方法求出解即可；
任务二：找出构造图形方法的缺点即可．
【解答】解：任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想；
故选：B；
②方程x2+2x﹣35＝0，
移项得：x2+2x＝35，
平方得：x2+2x+1＝36，即（x+1）2＝36，
开方得：x+1＝±6，
解得：x1＝5，x2＝﹣7；
任务二：利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是漏解．
故答案为：漏解．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，数学常识，以及勾股定理的证明，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
18．（7分）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．
（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标 　（0，2）　；
（2）若以点A1为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2：1．

【分析】（1）对应点连线的交点为位似中心；
（2）取A1B1的中点B2，A1C1的中点C2，连接B2C2．
【解答】解：（1）如图，点M即为所求，M（0，2）；
（2）如图，△A1B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
19．（8分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌的真实历史．为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，
∴小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．请判断四边形BFCD的形状，并加以证明．

【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝AB＝AD＝BD，证明△AED≌△FEC，根据全等三角形的性质得到CF＝DB，根据菱形的判定定理证明即可．
【解答】解：四边形BFCD是菱形，
理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
则CD＝AB＝AD＝BD，
∵CF∥AB，
∴∠CFA＝∠DAE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴CF＝AD＝DB，
∵CF∥AB，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵CD＝BD，
∴平行四边形BFCD是菱形．
【点评】本题考查的是菱形的判定、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键．
21．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，a），B两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出点B的坐标，并直接写出△AOB的面积；
（3）根据图象，请直接写出不等式﹣x+4＞的解集．

【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数y＝求k．
（2）联立方程求出交点，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点A（3，a）代入y＝﹣x+4，得a＝1，
∴A（3，1）
把A（3，1）代入反比例函数y＝，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）联立两个函数的表达式得，
解得或，
∴点B的坐标为B（1，3）
当c＝0时，y＝﹣x+4＝4，
∴点C（0，4），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝4；
（3）观察图象，不等式﹣x+4＞的解集是x＜0或1＜x＜3．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，根据函数图象解不等式；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决函数解析式的重要方法；数形结合解不等式是本题正确求解的关键．
22．（8分）2021年12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．

【分析】利用总价＝单价×数量可求出购买10个“神舟载人飞船”模型的费用，由该值小于900可得出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个，设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人飞船”模型的价格为（45﹣0.5x）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每个模型最低单价不低于30元，即可得出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量．
【解答】解：∵40×10＝400（元），400＜900，
∴学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个．
设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人飞船”模型的价格为40﹣0.5（x﹣10）＝（45﹣0.5x）元，
依题意得：（45﹣0.5x）x＝900，
整理得：x2﹣90x+1800＝0，
解得：x1＝30，x2＝60．
当x＝30时，45﹣0.5x＝45﹣0.5×30＝30，符合题意；
当x＝60时，45﹣0.5x＝45﹣0.5×60＝15＜30，不符合题意，舍去．
答：学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为30个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（11分）问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD＝6．
动手实践：
（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点A'处，折痕为DE，连接A'E，然后将纸片展平，得到四边形AEA'D．试判断四边形AEA'D的形状，并加以证明．
（2）如图2，永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F，连接DF，使∠CDF＝30°，将△CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的点G处．连接DG，GF，将纸片展平，
①求△DFG的面积；
②连接CG，线段CG与线段DF交于点M，则CG＝　4　．
深度探究：
（3）如图3，探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一点N，使DN：A'N＝1：2，将△AND沿线段AN折叠得到△AND'，连接A'D'，探究并直接写出A'D'的长度．

【分析】（1）由矩形的性质得∠A＝∠ADC＝90°，再由折叠的性质得∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，则四边形AEA'D是矩形，然后由AD＝AD'，即可得出结论；
（2）①由折叠的性质得DC＝DG，CF＝GF，∠CDF＝∠GDF＝30°，求出∠ADG＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AG＝DG＝DC＝AB，则AG＝BG，然后由勾股定理求出DG＝4，GF＝4，即可解决问题；
（3）过D'作PQ∥AD，交A'D于P，交AE于Q，则PQ⊥A'D，PQ⊥AE，由题意得DN＝2，A'N＝4，设D'P＝x，则D'Q＝6﹣x，再由折叠的性质得：DN＝D'N，AD'＝AD＝6，∠AD'N＝∠D＝90°，然后证△D'NP∽△AD'Q，求出x＝，即可解决问题．
【解答】解：（1）四边形AEA'D是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
由折叠的性质得：∠DA'E＝∠A＝90°，AD＝A'D，
∴∠A＝∠DA'E＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEA'D是矩形，
又∵AD＝AD'，
∴四边形AEA'D是正方形；
（2）①由折叠的性质得：DC＝DG，CF＝GF，∠CDF＝∠GDF＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC，BC＝AD＝6，
∴∠ADG＝90°﹣∠CDF﹣∠GDF＝30°，
∴AG＝DG，
∴AG＝DC＝AB，
∴AG＝BG，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG2+AD2＝DG2，
即（DG）2+62＝DG2，
解得：DG＝4（负值已舍去），
∴AG＝2，
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF2+BG2＝GF2，
∵BG＝AG＝2，BF＝6﹣CF＝6﹣GF，
∴（6﹣GF）2+（2）2＝GF2，
解得：GF＝4，
∴S△DFG＝GF•DG＝×4×4＝8；
②由①得：∠GDF＝∠CDF＝30°，CD＝DG，
∴∠CDG＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CG＝DG，
∴CG＝4，
故答案为：4；
（3）过D'作PQ∥AD，交A'D于P，交AE于Q，如图3所示：
则PQ⊥A'D，PQ⊥AE，
∴PQ＝AD＝6，DP＝AQ，∠D'PN＝∠D'PA＝∠D'QA＝90°，
∵四边形AEA'D是正方形，
∴A'D＝AD＝6，
∵DN：A'N＝1：2，
∴DN＝2，A'N＝4，
设D'P＝x，则D'Q＝6﹣x，
由折叠的性质得：DN＝D'N，∠AD'N＝∠D＝90°，
∴∠PD'N+∠AD'Q＝90°，
∵∠PD'N+∠D'NP＝90°，
∴∠AD'Q＝∠D'NP，
∴△D'NP∽△AD'Q，
∴＝＝，
即＝＝＝，
解得：AQ＝3x，NP＝2﹣x，
∵DP＝AQ，
∴2+2﹣x＝3x，
解得：x＝，
∴DP＝AQ＝3x＝，
∴A'P＝A'D﹣DP＝6﹣＝，
∴A'D'＝＝＝．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质和正方形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（13分）如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，边OA，OC分别落在x轴和y轴上，顶点B的坐标（8，4），点D是边BC上一动点，过点D作反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的边AB交于点E．
（1）如图1，连接DE，AC，若BD：BC＝3：4．
①填空：点D的坐标为 　（2，4）　，点E的坐标为 　（8，1）　；
②请判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连接OB，OD，若线段OB平分∠DOA．
①求k的值；
②若动点M在y轴上运动，当线段ME与MD的差最大时，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）①首先求出点D的坐标，得出反比例函数解析式，从而得出点E的坐标；
②由，且∠B＝∠B，说明△BDE∽△BCA，得∠BDE＝∠BCA，从而得出结论；
（2）①由角平分线和平行线的性质可证明OD＝BD，设OD＝BD＝x，则CD＝8﹣x，由勾股定理得，42+（8﹣x）2＝x2，解方程即可；
②连接ED，并延长交y轴于M，此时ME﹣MD最大，利用待定系数法求出直线ED的函数解析式为y＝﹣x+，即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵BD：BC＝3：4，BC＝8，
∴BD＝6，
∴CD＝2，
∴D（2，4），
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝8时，y＝1，
∴E（8，1），
故答案为：（2，4），（8，1）；
②DE∥AC，理由如下，
∵B（8，4）D（2，4），E（8，1），
∴BC＝8，AB＝4，BD＝6，BE＝3，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BDE＝∠BCA，
∴DE∥AC；
（2）①∵OB平分∠DOA，
∴∠DOB＝∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴OD＝BD，
设OD＝BD＝x，则CD＝8﹣x，
由勾股定理得，42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴CD＝3，
∴D（3，4），
∴k＝3×4＝12；
②连接ED，并延长交y轴于M，此时ME﹣MD最大，

由①知，k＝12，
∴E（8，），
∴直线ED的函数解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，证明OD＝BD是解题的关键．