专题27.34 相似三角形几何模型-一线三等角（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题27.34 相似三角形几何模型-一线三等角（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题27.34 相似三角形几何模型-一线三等角（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的点P共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
3．如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是(     )

A．与相似 B．与相似
C．与相似 D．与相似
4．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，图中相似的三角形有（　　）对．

A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在矩形中，点分别在边上，于点，与交于点，与交于点，则下列结论错误的是

A． B．
C． D．
6．如图，已知矩形中，点是边上的任一点，连接，过作的垂线交延长线于点，交边于点，则图中共有相似三角形（   ）

A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
7．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（       ）

A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
8．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（       ）

A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________．

12．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，折痕为，点落在点处，与交于点，则的周长是________．

13．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处，再沿折叠，使点落在矩形内的点处，且、、在同一直线上，若，，则______， ______．

14．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为_____．

15．如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．

17．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．

18．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕，且，那么该矩形的周长为______cm．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点M是BC边上的一个动点（点M不与点B、C重合），BM＝x，将△ABM沿着AM折叠，使点B落在射线MP上的点B′处，点E是CD边上一点，CE＝y，将△CME沿ME折叠，使点C也落在射线MP上的点C′处，当y取最大值时，△C′ME的面积为_____．

20．如图，在中，已知，，是边上的一动点（不与点、重合）.连接，，边与交于点，当为等腰三角形时，则之长为_________.

三、解答题
21．如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．


22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．



23．如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．






24．如图，已知，.
（1）若，，，请问在上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
（2）若，，，请问在上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求的长.







25．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC与DE交于点G，点D是AB的中点，BC与DF交于点K，连接GK.
（1）写出两对相似（不含全等）三角形；
（2）求证：；
（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立.
     






26．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．

(1)如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
(2)如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离；
(3)如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．





































参考答案
1．C
【分析】
如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．则△ADP1∽△△P1CB，，△ADP2∽△△P2CB，取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则△ADP3∽△P3CB，由此可得结论．
解：如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．

∵AB为⊙O直径，
∴ ，
∴ ，
为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADP1∽△P1CB，
同理△ADP2∽△P2CB，
取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则同理△ADP3∽△P3CB，
故选：C．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．A
【分析】
根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP；
∵∠FEP=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共有6对，
故选A．

【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
3．C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点拨】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．
4．C
【分析】
由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，证出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．
解：图中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACD，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
5．D
【分析】
根据矩形四个角都是直角，又，利用等角的余角相等，逐个判别可以得出结论.
解：如图：

A. 在中，
∵四边形是矩形，且
∴，
，且
，A正确；
B. 在中，
∵四边形是矩形，且
∴，，则
∵，，则
，B正确；
C. 在中
由前面知：，又，, 则,
又∵，
，C正确；
D.在中
已经知道：，而AE并不是的角平分线，
∴,
,错误.
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，同角或等角的余角相等，相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题的关键.
6．A
【分析】
根据的性质得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根据邻补角的定义得到∠PCF=90°，根据余角的性质得到∠ABE=∠DEP，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选A.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．D
【分析】
对于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于③，先利用同角的余角相等转化为①，即可进行判断，对于⑤，利用比例的性质和勾股定理进行判断.
解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当时，则，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断①②③④的关键，对于⑤，则需综合运用比例的性质和勾股定理进行判断.
8．C
【分析】
设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，，即，
解得，，
当△PAE∽△CBP时，，即，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
9．A
【分析】
作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，先通过角度等量代换证明，求出，再证明，求出，，则，，由此可解．
解：如图，

作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，
∵点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，
∴，，，
∵轴，轴，轴，
∴，
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是．
故选A．
【点拨】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键．
10．A
【分析】
如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，则，，证明，则，即，计算求出、的长，进而可得点坐标．
解：如图，过作轴于点，延长交于，

由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造、，利用相似的判定与性质求出线段、的长．
11．2或8或5
【分析】
需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP的长度即可．
解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，
①当△APD∽△PBC时，
可得，即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
可得，即，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案为：2或8或5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．12
【分析】
首先根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=xcm，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再证出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=xcm，则AF=(6−x)cm，
∵点E是AB的中点，
∴，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+(6−x)2=x2，
解得，
∴，，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BEG =∠AFE，
又∵∠B=∠A=90°，
∴△BGE∽△AEF，
∴，
即，
∴BG=4cm，EG=5cm，
∴△EBG的周长=3+4+5=12(cm)．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，利用相似三角形的性质求出△EBG各边的长是解题的关键．
13．     4     ##2.5
【分析】
根据折叠的性质得到BE=EF，，利用勾股定理求出AC，进而求出CF，设，则，，在中，由勾股定理得，即，解方程求出BE，进而求出CE，再证，即有，则问题得解．
解：根据折叠的性质有BE=EF，，
∵，，
则设，则，，，
在中，由勾股定理得，
∴，
根据折叠的性质有∠B=∠AFE=90°,
则有∠EFC=90°，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：4，．
【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，证得进而得到是解答本题的关键．
14．y＝（0＜x≤2）
【分析】
作FH⊥BC于H．证明△DBE≌△EHF，则FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由求得自变量的范围，根据FH∥AB，得＝，即可求解．
解：作FH⊥BC于H．

∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，
∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△DBE和△EHF中，
，
∴△DBE≌△EHF，
BE＝DB，
∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，
, AB＝4，
，即
∵FH∥AB，

∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x≤2）．
故答案为：y＝（0＜x≤2）．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系式，证明是解题的关键．
15．22
【分析】
作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
解：如图，作GH⊥BC，

则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴四个小正方形的面积之和.
故答案为：22.
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
16．
【分析】
通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
解：如图，

∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为：．
【点拨】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．
17．3
【分析】
先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
【点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．
18．72
【分析】
根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据，设CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵，
∴设CE=3k，CF=4k，
∴，
∵∠BAF=∠EFC，且∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE，
∴，即，
∴BF=6k，
∴BC=BF+CF=10k=AD，
∵AE2=AD2+DE2，
∴500=100k2+25k2，
∴k=2
∴AB=CD =16cm，BC=AD=20cm，
∴四边形ABCD的周长=72cm
故答案为72.
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19． ．
【分析】
由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，得出∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，得出∠BAM＝∠EMC，证出△ABM∽△MCE，得出，求出，当x＝时，y取最大值，即CE＝，由三角形面积公式即可得出△C'ME的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，
∵∠AMB'+∠AMB+∠EMC'+∠EMC＝180°，
∴∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，
∴∠BAM＝∠EMC，
∴△ABM∽△MCE，
∴
∴，
当x＝时，即CE＝即BM＝，CM＝BC﹣BM＝时，y取最大值，即CE＝，
此时△C'ME的面积＝△CME的面积，
故答案为．
【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
20．2或
【分析】
分别讨论AP=PD、PD=AD、PA=AD三种情况，当AP=PD时，可证明△APB≌△PDC，可得PC=AB，进而可求出PB的长；当PD=AD时，可证明△APC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出PC的长，进而可得PB的长；当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；综上即可得答案.
解：①当AP=PD时，
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠B=∠APD，
∴∠DPC=∠BAP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C，∠DPC=∠BAP，AP=PD，
∴△APB≌△PDC，
∴PC=AB=4，
∴PB=BC-PC=2，
②当PD=AD时，
∵AD=PD，∠APD=∠B，
∴∠APD=∠PAD=∠B，
∵∠PAD=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，即，
解得：PC=，
∴PB=BC-PC=.
③当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；
综上所述：PB的长为2或.
故答案为2或
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理及性质并运用分类思想是解题关键.
21．当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【分析】
设DP=x，则BP=BD-x=14-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即，
解得；
当时，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
22．（）见分析；（2）或．
【分析】
（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
解：（1）
在中，


又
；
（2），
是等腰直角三角形

BC=6，
AB=AC=BC=3
①当AD=AE时，则
，



点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②当AD=DE时，如图，


由（1）可知
又
AB=DC=
．
③当AE=DE时，如图

，

平分,
．
综上所述：或．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
23．见详解．
【分析】
由等边对等角得，由三角形的内角和定理，得到，即可得到结论成立．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．
24．（1）存在，，见分析；（2）存在2个点P点，或，见分析.
【分析】
（1）存在1个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在两个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可.
解：（1)存在1个P点.
设，则.
∵，，
∴.
当时，，即.
整理，得，
∵，
∴此方程没有实数解；
②当时，，
即，解得.
综上所述，的长为；
(2)存在2个点P.
设，则.
∵，，∴.
①当时，，即，
解得；
②当时，即，即，
解得.
综上所述，的长为6或.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，根据题意进行分类讨论是解题关键．
25．（1），；（2）见分析；（3）成立.
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例，证出AD=BD=2，得出，证出△KDG∽△KBD即可；
（2）由（1）知：△KDG∽△KBD，根据相似三角形的对应角相等可得出结论；
（3）解法同（1）（2）.
解：（1），.
理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴，
又∵∠B=∠GDK=60°，
∴；
（2）∵，
∴.
（3）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴ ，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴，
∴△KDG∽△KBD，
∴∠GKD=∠BKD.
【点拨】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
26．(1)见分析(2)(3)
【分析】
（1）根据“AAS”证明即可；
（2）过作于点，过作交延长线于点，可根据“AAS”证即可求解；
（3）过作交的延长线于点，可得，由平行四边形ABCD易证，故，由相似三角形的性质可求．
(1)证明：∵，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
(2)解：如图，过作于点，过作交延长线于点．

∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
在和中，
，
∴，
∴，即点到边的距离为．
(3)解：如图，过作交的延长线于点，

∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，∴．
∵，，
∴，∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．