专题27.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题27.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则BE的长是（ ）
A．12B．15C．D．
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（ ）
A．B．C．2D．3
4．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝3，AE＝2，∠AED＝∠B，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点是边上一点，且，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．5.5
7．如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为( )

A．B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）
A．4B．C．D．5
10．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为（ ）
A．7.5米B．米C．7米D．9.5米
二、填空题
11．如图，在矩形中，是上的点，点在上，要使与相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．
12．如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时， AE和EF保持垂直．则①△ABE∽△FCE;②当BE=a时、梯形ABCF的面积最大；③当点E运动到BC中点时Rt ABE∽Rt△AEF;④当Rt ABE∽Rt△AEF时cs∠AFE=其中正确结论的序号是 ．
13．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为________．
14．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．
15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______．
16．如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，
（1）写出和∠CDE相等的角：______；
（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为______．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=3，AE=4，DE=1.2，则EF=_____．
18．如图，是等边三角形的边上一点，且：：，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且：的值为______．
19．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______．
20．如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为 _____．
三、解答题
21．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．
22．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
(1) 求证：△ABP∽△PCD；
(2) 若PC=2，求CD的长．
23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1) 证明：；
(2) 若，，求AB的长．
24．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．
25．在矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】
根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．
解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∵P为BC中点，
∴BP=PC=AB=3，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴，
∴DE=CD-CE=，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．
2．C
【分析】
利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．
3．B
【分析】
先证明△BPD∽△CDQ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BPD+∠BDP=180°-∠B=120°，
∵∠PDQ=60°，
∴∠BDP+∠CDQ=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵∠B=∠C=60°，
∴△BPD∽△CDQ，
∴，
∴，
∴2BP2-8BP+3a=0，
∵满足条件的点P有且只有一个，
∴方程2BP2-8BP+3a=0有两个相等的实数根，
∴△=82-4×2×3a=0，
∴a=．
故选：B．
【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．C
【分析】
由等边对等角可得∠B=∠C，即得出∠C=∠AED．再结合题意易证△EAD∼△CAE，即得出，代入数据即可求出AD的长．
解：根据题意可知AB=AC=3，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠AED，
∴∠C=∠AED，
又∵∠EAD=∠CAE，
∴△EAD∼△CAE，
∴，即，
解得：,
故选C．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．D
【分析】
根据和，可证得△ABD∽△DCE，△ADE∽△ACD，再逐项判断即可求解．
解：∵，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，故C正确，不符合题意；
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，故B正确，不符合题意；
∴，∠AED=∠ADC，
∵点是边上一点，
∴AC不一定等于CD，
∴∠ADC不一定等于∠DAC，
∴∠AED不一定等于∠DAC，
∴AD不一定等于DE，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．
6．A
【分析】
由等边对等角可得，即得出．再结合题意易证，即得出，代入数据即可求出AD的长．
解：根据题意可知，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故选A
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
7．A
【分析】
根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴
∵，CP=BC-BP=x-1，BP=1，
∴
解得：AB=3．
故选A．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
8．A
【分析】
根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，
由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，
∴∠AED=∠BDF，
∴△AED∽△BDF，
∴，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．
9．B
【分析】
先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.
解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3
∴EF=
如图：过G作GH⊥DE垂足为H，
∵DE⊥EF，EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理：△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴,即,解得DG=.
故选B.
【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
10．A
【分析】
由平面镜反射可得： 再证明再利用相似三角形的性质可得答案.
解：由平面镜反射可得：



米，米，米，

解得：，经检验：符合题意，
旗杆高度为7.5米.
故选A
【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.
11．或∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC（任填一个即可）
【分析】
根据相似三角形的判定解答即可．
解：∵矩形ABCD，
∴∠ABE＝∠ECF＝90，
∴添加∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF，
∴△ABE∽△ECF，
故答案为：∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF．
【点拨】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
12．①②③
解：①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，故①正确
② 解 ：∵Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB：EC=BE：CF，
又∵AB=a，设BE=x，则CE=a﹣x，
∴a：（a﹣x）=x：CF，
∴CF=，
∴
∴当时，取得最大值．故②正确
③当点E运动到BC中点时，BE=EC=
在直角三角形ABE中，由勾股定理解得
又由Rt△ABE∽Rt△ECF可知
即
解得CF=，EF=
所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得
在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，
∴Rt ABE与Rt△AEF相似．故③正确
④由③可知当Rt ABE∽Rt△AEF时,点E是BC的中点
∴
∴．故④错误
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是本题的关键
13．①②③
【分析】
容易证明①△ABE∽△ECF；利用①可得，可得③AE⊥EF；且可得可证得②△ABE∽△AEF，而所以④不正确．
解：∵E为BC中点，CF:CD=1:4，
∴ 且∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴①正确；
∴∠BAE=∠FEC,且
∴
∴
∴AE⊥EF，
∴③正确；
由①可得
∴,且
∴△ABE∽△AEF，
∴②正确；
∵
∴
∴△ADF和△ECF不相似，
∴④不正确，
综上可知正确的为：①②③，
故答案为①②③.
【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
14．2
【分析】
垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度．
解：设，则
垂直平分
在中，
又∵E是中点
∴
解得
又∵
故答案为：2．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．
15．或
【分析】
设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可．
解：设BE=x，
当∽△ECF时，即
整理得，
解得，
经检验都符合题意，
当∽△FCE时，即，
解得．
经检验符合题意，
故答案为或．
【点拨】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．
16． ∠BAD
【分析】
(1) 根据△ABC是等边三角形,得到∠B=∠C= 60°， AB= BC；又因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD就得到∠EDC=∠BAD
(2) 因为∠EDC=∠BAD，∠C=∠B得到△ABD~△DCE，得到 ，即可求出EC；
(1) 证明: ∵△ABC是等边三角形,
∠B=∠C= 60°， AB= BC；
又∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD
又∵∠ADE=∠B=60°
∴∠EDC=∠BAD
所以和∠CDE相等的角为：∠BAD
故答案为：∠BAD
(2) ∵∠EDC=∠BAD
∴∠C=∠B
△ABD~△DCE，


又

解得：EC=
故答案为： ；
【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD~△DCE是解答此题的关键．
17．2
【分析】
由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得=，进而求出EF的长．
解：在矩形ABCD中
∠A=90°
∵AB=3，AE=4
∴BE===5
∵△ABE∽△DEF
∴=
∴=
解得EF=2
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．
18．
【分析】
设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．
解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，
∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由△CEF折叠得到△DEF，得
CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5，
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．
19．
【分析】
结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解．
解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，，
，
，
，
解得，
．
故选：．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
20．
【分析】
根据折叠的性质可得，，设，则，由线段中点可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性质可得，，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．
解：将长方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在BC边上点处，
∴，，
设，则，
∵是BC的中点，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：
【点拨】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．
21．见分析
【分析】
根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．
22．(1)见分析(2)CD的长为
【分析】
（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；
（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．
（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的长为．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．
23．(1)见分析(2)
【分析】
（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
解：(1)∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠B，
∴△ADB∽△AED．
(2)∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE=3，AD=5，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．见分析
【分析】
利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．
证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∵∠ADE=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．
25．(1)(2)
【分析】
（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°，再由折叠的性质可得．可证得∽．即可求解；
（2）过点E作交AD于H，由折叠的性质可得，从而得到．然后设，则，由勾股定理可得，从而得到．再证得∽，即可求解．
(1)解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，
∴，
由折叠性质得：，
∴，
∴．
∵，
∴∽．
∴．
(2)解：过点E作交AD于H，
∵，
∴．
∵由折叠性质得，∠DPE=∠A=90°，
∴，
∴．
设，则，
∵E是AB的中点，
∴，
∵AE2+AH2=EH2，
∴，
解得：，即，
∴．
∵，
∴∠HEP=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴∽，
∴，即，
解得，
∴BF的长为．
【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)DE，AE；(2)AC．证明见详解．
【分析】
（1）根据，得出AC=DE，BC=AE即可；
（2）过D作DE⊥直线l于E，先证△MCA≌△AGN（AAS），得出AC=NG，由（1）知，得出AC=DE，再证△NGP≌△DEP（AAS）即可．
(1)解：∵，
∴AC=DE，BC=AE，
故答案为DE，AE；
(2)证明：过D作DE⊥直线l于E，
∵，
∴∠CAM+∠NAG=90°，
∵BM⊥l，
∴∠MCA=90°，
∴∠M+∠CAM=90°，
∴∠M=∠NAG，
∵，
∴∠AGN=90°，
在△MCA和△AGN中，
，
∴△MCA≌△AGN（AAS），
∴AC=NG，
由（1）知，
∴AC=DE，
∴NG=DE，
在△NGP和△DEP中，
，
∴△NGP≌△DEP（AAS）
∴NP=DP，
故答案为AC．
【点拨】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．