湖南省长沙市开福区清水塘实验学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)

这是一份湖南省长沙市开福区清水塘实验学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．2
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×108
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a2
5．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．sin60°＝（ ）
A．B．C．D．
7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000x2＝5000
B．3000（1+x）2＝5000
C．3000（1+x%）2＝5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
8．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
9．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小雨中途休息用了4分钟
B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米
C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米
D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度
10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75cmB．50cmC．30cmD．45cm
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：2a2﹣8a＝ ．
12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是 ．
13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是 ．
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 ．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝ ，FP＝ ．
三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
18．（6分）计算：
19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴翻折得到△AB1C1，在图中画出△AB1C1．
（2）将△ABC以点A为位似中心放大2倍．
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．
（1）求柏树和杉树的单价；
（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；
（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；
②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；
（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．﹣2C．D．2
【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．
【解答】解：﹣的绝对值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5800000000＝5.8×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a2
【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．
【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．
5．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．
将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．sin60°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：sin60°＝．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝．
7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．3000x2＝5000
B．3000（1+x）2＝5000
C．3000（1+x%）2＝5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，
2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，
那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
8．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3
∴S△ADE：S△ABC＝4：9
故选：A．
【点评】熟练掌握三角形的性质．
9．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小雨中途休息用了4分钟
B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米
C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米
D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度
【分析】根据函数图象可知，小雨6分钟所走的路程为2400米，6～10分钟休息，10～16分钟所走的路程为（4200﹣2400）米，所走的总路程为4200米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．
【解答】解：A、小雨中途休息用了10﹣6＝4（分钟），正确，不符合题意；
B、小雨休息前骑车的速度为每分钟＝400（米），正确，不符合题意；
C、小雨在上述过程中所走的路程为4200米，错误，符合题意；
D、小雨休息后骑车的速度为每分钟＝300（米）＜400米，
∴小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75cmB．50cmC．30cmD．45cm
【分析】根据正切的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tanA＝，
则＝，
解得：AC＝75，
则斜坡的水平距离AC为75cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：2a2﹣8a＝ 2a（a﹣4） ．
【分析】原式提取2a即可得到结果．
【解答】解：原式＝2a（a﹣4），
故答案为：2a（a﹣4）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】解：依题意，得x﹣5≥0，
解得x≥5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是 72 ．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，70，74，80，91，处在第3和第4位两个数的平均数为中位数，
故中位数是（70+74）÷2＝72．
故答案为：72．
【点评】本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于 π ．
【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．
【解答】解：S扇形＝＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算．解答该题的关键是熟记扇形的面积公式．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝ 30° ，FP＝ 2 ．
【分析】先求出DE＝a，CE＝2a，再根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，从而得解．
【解答】解：∵DC＝3DE＝3a，
∴DE＝a，CE＝2a，
由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，
∴在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，
∴∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CFE＝∠CFP＝×60°＝30°，
∴EF＝2CE＝2×2a＝4a，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FP＝FC＝＝＝2a，
故答案为：30°，2a．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出直角三角形中30°的角是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．
【点评】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．
18．（6分）计算：
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝×﹣
＝﹣
＝
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴翻折得到△AB1C1，在图中画出△AB1C1．
（2）将△ABC以点A为位似中心放大2倍．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出B，C的对应点E，F即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△AEF即为所求；
（3）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：
（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．
【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；
（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
（4）画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，
故答案为10．
（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%＝10%，
条形图的高度和E相同；如图所示：
（3）1400×20%＝280（名）
答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；
（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，
共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，
∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率＝．
【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；
【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50，
在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50×＝25，
∵25＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．
（1）求柏树和杉树的单价；
（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
【分析】（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，可得：，即可解得柏树每棵100元，杉树每棵80元；
（2）①由柏树的棵数不少于杉树的3倍，有x≥3（150﹣x），而w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，即知w＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；
②由一次函数性质可得柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．
【解答】解：（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，
根据题意得：，
解得，
∴柏树每棵100元，杉树每棵80元；
（2）①∵柏树的棵数不少于杉树的3倍，
∴x≥3（150﹣x），
解得x≥112.5，
根据题意得：w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，
∴w＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；
②∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵x是整数，
∴x最小取113，
∴当x＝113时，w取最小值20×113+12000＝14260，
此时150﹣x＝150﹣113＝37，
答：要使此次购树费用最少，柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DF，进而得出OD∥AC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明结论；
（2）连接BE、AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，BE⊥EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，进而得到AC＝12，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：如图，连接BE、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BE⊥EC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∵DF⊥AC，BE⊥EC，
∴DF∥BE，
∵BD＝DC，
∴CF＝FE，
∵CF＝2AF，AE＝4，
∴AC＝12，
∴AB＝AC＝12，
∴⊙O的半径为6．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；
（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；
②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
【分析】（1）由于y＝x+2m与y＝都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作点”；
（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为x＝m+，再由|x|≤2，可得当﹣≤m≤时，是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，不是“合作函数”；
（3）①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，因为只有一个“合作点”则﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y1+y2＝（x﹣m）2+6m﹣3，由①可分两种情况求m的值：当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22＝24，当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3＝24，分别求出符合条件的m值即可．
【解答】解：（1）∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，
∴两函数有公共点，
∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，
∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；
当m＝1时，y＝x+2，
∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，
∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；
（2）假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，
∴x+2m＝3x﹣1，
∴x＝m+，
∵|x|≤2，
∴﹣2≤m+≤2，
∴﹣≤m≤，
∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；
（3）①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，
∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），
∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，
∴x＝m+3或x＝m﹣1，
∵0≤x≤5时有唯一合作点，
当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，
当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，
∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；
②∵y1+y2＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）+x+2m＝x2﹣2mx+m2+6m﹣3＝（x﹣m）2+6m﹣3，
∴对称轴为x＝m，
∵﹣3≤m＜1或2＜m≤6，
当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22，
∴m2﹣4m+22＝24，
∴m＝2+或m＝2﹣，
∴m＝2﹣；
当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3，
∴m2+6m﹣3＝24，
∴m＝3或m＝﹣9，
∴m＝3；
综上所述：m＝2﹣或m＝3．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；
（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴﹣＝1，可知b＝﹣2a，再将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求函数的解析式；
（2）连接BA交对称轴于点E，连接DE，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，又由∠OAB＝45°，可求CE＝2，则E（1，2）；
（3）设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，PM＝PA，过M点作MG⊥PC交于G，证明△PGM≌△ACP（AAS），可求M（1+t，t+2），再将M代入函数解析式即可求M（2，3）；当∠PAM＝90°时，AM＝AP，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△PAC（AAS），求出M（3+t，2），再将M代入函数解析式即可求M（2+，2）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），求出M（2+t，1+t），再将M代入函数解析式即可求M（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+3，
将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，
∴9a﹣6a+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴D（﹣1，0），
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
连接BA交对称轴于点E，连接DE，
∵A、D关于直线x＝1对称，
∴DE＝AE，
∴BE+DE＝AE+BE≥AB，
当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，
∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴AC＝CE，
∵AC＝2，
∴CE＝2，
∴E（1，2）；
（3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设P（1，t），
当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝PA，
过M点作MG⊥PC交于G，
∵∠MPA＝90°，
∴∠GPM+∠CPA＝90°，
∵∠GPM+∠GMP＝90°，
∴∠CPA＝∠GMP，
∵PM＝AP，
∴△PGM≌△ACP（AAS），
∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2，
∴M（1+t，t+2），
∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
解得t＝﹣2或t＝1，
∵M点在x轴上方，
∴t＝1，
∴M（2，3）；
当∠PAM＝90°时，AM＝AP，如图3，
过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，
同理可证△MAH≌△PAC（AAS），
∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t，
∴M（3+t，2），
∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，
解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，
∴M（2+，2）或（2﹣，2）（舍去）；
当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4，
过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，
同理可得△MPT≌△AMS（AAS），
∴TP＝SM，SA＝MT，
∴M（2+t，1+t），
∴1+t＝﹣（2+t）2+2（2+t）+3，
解得t＝﹣3+或t＝﹣3﹣（舍去），
∴M（，）；
综上所述：M点坐标为（2，3）或（2+，2）或（，）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
社团名称
A．酵素制作社团
B．回收材料小制作社团
C．垃圾分类社团
D．环保义工社团
E．绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5
社团名称
A．酵素制作社团
B．回收材料小制作社团
C．垃圾分类社团
D．环保义工社团
E．绿植养护社团
人数
10
15
5
10
5