4.2三角函数恒等变换（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.2  三角函数恒等变换【题型解读】【知识必备】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))tan(α＋β)＝　(T(α＋β))tan(α－β)＝　(T(α－β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α (S2α)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)tan 2α＝ (T2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.正切和差公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－＝－1.配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，1－sin α＝(sin－cos)2.4．辅助角公式asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 【题型精讲】【题型一　两角和与差公式】必备技巧 两角和差公式常见题型及解法(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．例1　（1）（2022·四川省岳池中学）（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A（2）（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由两角和的正弦公式，可知故答案为：C（3）（2022·四川凉山·高三期中）_________．【答案】【解析】由题意得：由两角和的正切公式，可令，可得故答案为：（4）（2022·山西应县一中高三期中）的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，得，故选A.例2　（2022·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，.故选：B例3　（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.【跟踪精练】 1．（2022·安徽蚌埠·高三期末）求值：（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，故选：C.2. （2022·甘肃）_______.【答案】【解析】由题，，，故原式可化为，故答案为：3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】均为锐角，即，，，又，，又，.故选：C.【题型二　二倍角公式】必备技巧  二倍角公式的应用(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．例4　（2022·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误故选：ABC例5　（2022·全国高三二模）已知，则         【答案】【解析】.【跟踪精练】 1．（2022·山东·模拟预测）若，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，所以.故选：D2. （2022·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，，故，故选：A.【题型三　辅助角公式的应用】例6（2022·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式(1)；             (2)；(3)；               (4).【解析】(1)；(2)；(3) ；(4)【跟踪精练】 1. （2022·江西九江·三模）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，故选：B【题型四  给值求值】方法技巧   给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．例7　（1）（2022·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（    ）A． B．3 C．13 D．（2）（2022·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（    ）A． B． C． D．（3）（2022·河南林州一中高三月考）若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）B（3）D【解析】（1），，，，.故选：D（2）∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故选B．（3），，则，，，，因此，.故选：D.【题型精练】1．（2022·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，.故选：B2．（2022·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．【答案】【解析】∵，∴,∴．又，∴．∴．答案：3.（2022·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.（1）求；（2）已知，.求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，（2），【题型五  给值求角】方法技巧   已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．例8　（2022·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由为锐角且，得，则，则，又，则，得.故选：A.例9　（2022·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考）若，，，，则角的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，均为锐角，，由，，得，，若， 则，与矛盾，故，则，又，.故选：B.【题型精练】1．（2022·全国高三课时练习）已知，其中，求角的值.【答案】【解析】因为，所以.因为，所以.由已知可得，，则.因为，所以.2．（2022·江苏南师大二附中高三月考）已知，均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，则．所以，．（2）因为，为锐角，则，所以．所以，．又，所以．【题型六  恒等变换】方法技巧   三角函数式化简的常用方法：（1）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；（2）异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；（3）异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次例10　（1）（2022·安徽相山·淮北一中月考）（    ）A．1 B． C． D．（2）（2022·山西应县一中高三期中）的值为（    ）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】（1）C（2）D【解析】（1）.故选：C（2）．故选D．【题型精练】1．（2022·福建高三期末）__________.【答案】【解析】.故答案为：.2．（2022·全国专题练习）_______.【答案】【解析】原式.故答案为：.