第15讲 一元一次方程的实际应用（原卷+解析）（和差倍分、等积变形及数字问题）-2022-2023学年七年级数学上册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）（人教版）

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第15讲 一元一次方程的实际应用（和差倍分、等积变形及数字问题）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】和、差、倍、分问题
思路一 部分量之和等于总量
典例1（威海期末）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立“亚投行”，亚投行意向创始成员国现确定为57个国家，其中亚洲国家是欧洲国家的2倍少2个，其余大洲的国家共5个，设其中欧洲国家有x个，则可以列出方程　 　．
思路引领：设其中欧洲国家有x个，则亚洲国家有（2x﹣2）个，等量关系是：亚洲国家的个数+欧洲国家的个数+其余大洲的国家个数＝57，依此列出方程即可．
解：设其中欧洲国家有x个，则亚洲国家有（2x﹣2）个，根据题意得
2x﹣2+x+5＝57．
故答案为2x﹣2+x+5＝57．
解题秘籍：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意找准相等关系是解题的关键．
针对训练1
1．（2021春•南丹县期末）一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有　 　人．
思路引领：本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可求解．
解：设这个班的学生共有x人，依题意得：
x−12x−14x−17x＜6
解之得：x＜56
又∵x为2、4、7的公倍数，
∴这个班的学生最多共有28人．
解题秘籍：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
思路二 表示同一个量的两个式子相等
典例2（2019秋•西乡塘区校级期中）A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨．若经过x个月后，两厂库存钢材相等，则x＝（　　）
A．3 B．5 C．2 D．4
思路引领：题目中的相等关系是经过x个月后，两厂库存钢材相等．A厂经过x个月后库存钢材为100﹣15x；B厂经过x个月后库存钢材为82﹣9x．根据题意可列方程．
解：根据题意列方程得100﹣15x＝82﹣9x，
解得：x＝3．
故选：A．
解题秘籍：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
针对训练2
2．（岳阳中考）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的23，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
思路引领：设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（设这批书共有3x本，
根据题意得：2x−4016=x+409，
解得：x＝500，
∴3x＝1500．
答：这批书共有1500本．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用（二元一次方程组的应用），解题的关键是：（方法一）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
思路三 抓住题目中的关键词
典例3（2021秋•西城区期末）电子商务的快递发展逐步改变了人们的购物方式，网购已悄然进入千家万户，李阿姨在某网店买了甲、乙两件商品，已知甲商品的价格比乙商品价格的2倍多108元，乙商品的价格比甲、乙两件商品总价的14少3元，问甲、乙两件商品的价格各多少元？
思路引领：设乙商品的价格为x元，由甲商品的价格比乙商品价格的2倍多108元，则甲商品的价格为2x+108元，乙商品的价格比甲、乙两件商品总价的14少3元为等量关系建立方程求出其解即可．
解：设乙商品的价格为x元，甲商品的价格为2x+108元，由题意，得x=14(x+2x+108)−3
解得：x=96
答：甲商品的价格为300元，乙商品的价格为96元．
解题秘籍：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时甲商品的价格比乙商品价格的2倍多108元，乙商品的价格比甲、乙两件商品总价的14少3元建立方程组是关键．
针对训练3
3．（2021秋•驿城区校级期末）某次测试中，小颖语文，数学两科分数共计176分，如果再加上英语分数，三科的平均分就比语文和数学的两科平均分多3分，则小颖的英语成绩是 　 　分．
思路引领：根据题意可知：语、数、英三科的平均分就比语文和数学的两科平均分多3分，然后即可列出相应的方程，然后求解即可．
解：设小颖的英语成绩为x分，
由题意可得：176+x3−3=1762，
解得x＝97，
答：小颖的英语成绩为97分，
故答案为：97．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【模块二】等积变形问题
思路一 根据长度关系
典例4（2022•南京模拟）一个长方形的周长是20cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加3cm，就可以成为一个正方形，则原长方形的长是 　 　cm．
思路引领：设这个长方形的长为xcm，则长方形的宽为（10﹣x）cm，由题意得长−1＝宽+3．进而得到方程x﹣1＝10﹣x+3，解方程即可得到答案．
解：设这个长方形的长为xcm，则长方形的宽为（10﹣x）cm，
由题意得：x﹣1＝10﹣x+3，
∴2x＝14，
解得：x＝7，
∴这个长方形的长为7cm．
故答案为：7．
解题秘籍：本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．
针对训练4
4．（2021春•亭湖区校级期中）如图为甲、乙、丙三根笔直的钢管平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为2m，丙没有与乙重叠的部分的长度为3m．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，则乙的长度为　 　m（用含有出y的代数式表示）．

思路引领：设乙的长度为am，则甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，列出方程（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，即可解答．
解：设乙的长度为am，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差xm，乙、丙的长度相差ym，
∴甲的长度为：（a﹣x）m；丙的长度为：（a﹣y）m，
∴甲与乙重叠的部分长度为：（a﹣x﹣2）m；乙与丙重叠的部分长度为：（a﹣y﹣3）m，
由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴（a﹣x﹣2）+（a﹣y﹣3）＝a，
a﹣x﹣2+a﹣y﹣3＝a，
a+a﹣a＝x+y+2+3，
a＝x+y+5，
∴乙的长度为：（x+y+5）m，
故答案为：（x+y+5）．
解题秘籍：本题考查了考查了列代数式，解决本题的关键是根据图形表示出长度，找到等量关系，列方程．
思路二 根据面积关系
典例5（2022春•上蔡县校级月考）如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，根据图中所标尺寸，则小长方形的面积为 　．

思路引领：先设小长方形的长为xcm，然后根据大长方形的长为16cm，可以用x的代数式表示出小长方形的宽，然后再根据大长方形的宽为8+2个小长方形的宽，也等于小长方形的长+宽，即可列出相应的方程，然后求解即可．
解：设小长方形的长为xcm，则宽为16−x3cm，
由图可得：16−x3×2+8＝x+16−x3，
解得x＝10，
∴16−x3=2，
∴小长方形的面积为：10×2＝20（cm2），
故答案为：20cm2．
解题秘籍：本题主要考查一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
针对训练5
5．（2022春•郯城县期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试，”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）

A．9mm2 B．10mm2 C．15mm2 D．25mm2
思路引领：设小长方形的宽为xmm，则长为(2x－1）mm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x的一元一次方程 ，解之即可得出x的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出结论．
解：设小长方形的宽为xmm，则长为(2x－1）mm，
依题意得：，
解得：，
∴x（2x-1）＝5×3＝15，
∴每个小长方形的面积为15mm2．
思路三 根据体积关系
典例6（2020秋•城关区校级月考）有一个长、宽、高分别是15cm、10cm、30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形的长方体钢锭，且底面正方形的边长为15cm，求锻压后的长方体钢锭的高．（忽略锻压过程的损耗）
思路引领：根据前后体积相等列方程求解即可．
解：设锻压后的长方体钢锭的高为xcm，由题意得，
15×10×30＝15×15×x，
解得，x＝20，
答：锻压后的长方体钢锭的高为20cm．
解题秘籍：本题考查认识立体图形，掌握长方体的体积计算方法是正确解答的前提．
针对训练6
6．（2021秋•上虞区期末）如图，现有A，B两个圆柱形容器，B容器的底面积为S，高为18cm，A容器的底面积是B容器底面积的2倍，容器内水的高度为10cm．
（1）若把A容器内的水全部倒入B容器中，则水 　 　溢出．（直接填“会”或“不会”即可．）
（2）若（1）中的水会溢出，则当B容器中水倒满时，求A容器中剩余水的高度；若（1）中的水不会溢出，求此时B容器内水面的高度；
（3）在倒水的过程中，当两个容器中水面高度相同时，求此时容器内水面的高度．

思路引领：（1）分别计算出A容器内水的体积以及B容器的体积，可得A容器内水的体积为20Scm3，B容器的容积为18Scm3，通过比较可知A容器内水的体积大于B容器的容积，因此会有水溢出；
（2）设A容器中剩余水的高度为xcm，根据两个容器内的水的体积之和为20Scm3，列方程求出x的值即可；
（3）设此时容器内水面的高度为ycm，根据两个容器内的水的体积之和为20Scm3，列方程求出x的值即可．
解：（1）A容器内水的体积为：2S×10＝20S（cm3），
B容器的容积为：18Scm3，
因为S＞0，
所以20Scm3＞18Scm3，
所以把A容器内的水全部倒入B容器中，则水会溢出，
故答案为：会．
（2）设A容器中剩余水的高度为xcm，
根据题意得2Sx+18S＝20S，且S＞0，
解得x＝1，
答：A容器中剩余水的高度1cm．
（3）设此时容器内水面的高度为ycm，
根据题意得2Sy+Sy＝20S，且S＞0，
解得y=203，
答：此时容器内水面的高度为203cm．
解题秘籍：此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、有关等体积变形问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示容器中水的体积是解题的关键．
【模块三】数字问题
思路一 数的规律问题
典例7（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成13，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是　　．
思路引领：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，
解得：x＝﹣81．
故答案为：﹣81．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
针对训练7
7．（2021秋•景德镇期中）如图，有一列数分别在下列每一个方格中，且已知任意三个相邻方格中所表示的数的和相等，则前2020个格子所表示的数的和是（　　）
﹣9
a
b
c
7



5
……

A．2020 B．2017 C．2010 D．2022
思路引领：根据任意三个相邻方格中所填数之和都相等即可求出a、c，观察表格数据规律可知：﹣9、7、5为一个循环，即可根据规律得到答案．
解：由题意任意三个相邻方格中所填数之和都相等，
∴a+b+c＝b+c+7，
∴a＝7，
∴﹣9+7+b＝b+c+7
∴c＝﹣9
观察表格数据规律可知：﹣9、7、5为一个循环，
∴2020÷3＝673…1
∴前2020个格子中所填各数之和为：
673×（﹣9+7+5）+（﹣9）＝2010．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是利用任意三个相邻方格中所填数之和都相等．
思路二 数位上的数字变化问题
典例8（2022•射洪市模拟）对于任意一个三位数m，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的2倍，则称这个三位数m为“共生数”，例如：m＝357，因为3+7＝2×5，所以357是“共生数”；m＝435，因为4+5≠2×3，所以435不是“共生数”．
（1）根据题设条件，请你举例说出两个“共生数”：　 　，　 　；
（2）若一个“共生数”的十位上的数字为4，设百位上的数字为x，则个位上的数字用x可表示为 　 　，那么这个“共生数”用x可表示为 　 　．（结果要化简）
（3）对于某个“共生数”，百位上的数字比个位上的数字小2，百位、十位与个位上的数字之和是9，求这个“共生数”是多少？
思路引领：（1）根据“共生数”的定义可得答案；
（2）根据“共生数”的定义列代数式可得答案；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是（7﹣2m），根据题意列方程可得答案．
解：（1）由“共生数”的定义可得，147、420等（答案不唯一），
故答案为：147，420（答案不唯一）；
（2）∵十位上的数字为4，百位上的数字为x（x≠0），
∴个位上的数字用x可表示为（8﹣x），
这个“共生数”可表示为100x+40+（8﹣x）＝99x+48（x≠0），
故答案为：（8﹣x），（99x+48）（x≠0）；
（3）设百位上的数是m，则个位上的数是（m+2），十位上的数是9﹣m﹣（m+2）＝7﹣2m，
由题意得，m+（m+2）＝2（7﹣2m），
解得m＝2，
所以百位上的数是2，个位上的数是4，十位上的数是3，
所以这个“共生数”是234．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，正确理解“共生数”的概念是解题关键．
针对训练8
8．（2020秋•通川区期末）阅读理解题
阅读下列材料：
若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521．
（1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，求这个“倍尾数”；
（2）若一个“倍尾数”的各位数字之和是17，求出所有符合要求的“倍尾数”．
思路引领：（1）根据“倍尾数”的定义和一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1，其各位数字之和是16，可以列出相应的方程，从而可以求得这个“倍尾数”；
（2）根据题意和一个“倍尾数”的各位数字之和是17，可以得到相应的方程，从而可以求得所有符合要求的“倍尾数”．
解：（1）设这个“倍尾数”的个位数为x，则十位数字为2x，百位数字为2x+1，
由题意可得，（2x+1）+2x+x＝16，
解得x＝3，
∴2x＝6，2x+1＝7，
即这个“倍尾数”是763，
答：这个“倍尾数”是763；
（2）设这个“倍尾数”的个位数为a，百位数字为b，
由题意可得，b+2a+a＝17，
化简，得3a+b＝17，
∵a、2a、b均为不大于9的非负整数，
∴a=3b=8或a=4b=5，
即满足条件的“倍尾数”是863、584，
答：所有符合要求的“倍尾数”是863、584．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，求出相应的“倍尾数”．
第二部分 专题提优训练
1．（2020秋•盐池县期末）一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
思路引领：设正方形的边长为xcm，则可表示出长方形的长和宽，再由长方形的周长是40cm，可得出方程，解出即可．
解：设正方形的边长为xcm，
则长方形的长为：（x+8）cm，宽为：（x﹣2）cm，
由题意得：2（x+8+x﹣2）＝40，
解得：x＝7．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2022春•射洪市期中）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．设AE＝x，则下列方程正确的是（　　）

A．6+2x＝14﹣3x B．6+2x＝x+（14﹣3x）
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝14﹣x
思路引领：设AE＝x，则小长方形的长为（14﹣3x），利用平行线间距离处处相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设AE＝x，则小长方形的长为（14﹣3x），
依题意得：6+2x＝x+（14﹣3x）．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2019秋•岳西县期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）

A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
思路引领：设桌子的高度为hcm，长方体的长为xcm，长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解．
解：设桌子的高度为hcm，长方体的长为xcm，长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h﹣y+x＝80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h﹣x+y＝70，
两个方程相加得：（h﹣y+x）+（h﹣x+y）＝150，
解得：h＝75．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．
4．（淄博中考）把一根长100cm的木棍锯成两段，若使其中一段的长比另一段的2倍少5cm，则锯出的木棍的长不可能为（　　）
A．70cm B．65cm C．35cm D．35cm或65cm
思路引领：设一段为x（cm），则另一段为（2x﹣5）（cm），再由总长为100cm，可得出方程，解出即可．
解：设一段为x，则另一段为（2x﹣5），
由题意得，x+2x﹣5＝100，
解得：x＝35（cm），
则另一段为：65（cm）．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据总长为100cm得出方程，难度一般．
5．（2021秋•巴南区期末）从现在开始算，3年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍；2年后哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍．设哥哥现在的年龄是x岁，下列方程正确的是（　　）
A．x+22=x−33+5 B．x+22=x−33+3
C．x+33=x−22−3 D．x+23=x−32−5
思路引领：由哥哥现在的年龄可得出3年前及2年后哥哥的年龄，结合哥哥及妹妹年龄之间的关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：∵哥哥现在的年龄是x岁，
∴3年前哥哥的年龄是（x﹣3）岁，2年后哥哥的年龄是（x+2）岁．
依题意得：x+22=x−33+5．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2021秋•长海县期末）有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，问有多少个鸽笼？设有x个鸽笼，则依题意可得方程（　　）
A．6（x+3）＝8（x﹣5） B．6（x﹣3）＝8（x+5）
C．6x﹣3＝8x+5 D．6x+3＝8x﹣5
思路引领：通过理解题意可以知道，本题存在两个等量关系，即：笼子数目×6+3＝原来的鸽子数目；笼子数目×8＝原来的鸽子数目+5．根据这两个等量关系列出方程．
解：有x个鸽笼，
根据题意每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子知：6x+3＝8x﹣5，
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系列出方程．
7．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（　　）
A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克
思路引领：可设切下的质量为未知数，10千克和15千克的合金的含铜的百分比为另2个未知数，等量关系为：（10千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷10＝（15千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷15，把相关数值代入即可求解．
解：设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，
(10−x)×a+bx10=(15−x)×b+ax15，
整理得（b﹣a）x＝6（b﹣a），
解得x＝6，
故选：B．
解题秘籍：考查用一元一次方程解决实际问题，根据熔炼后两者含铜的百分比恰好相等得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意一些必须的量没有时，应设其未知数，在解答过程中消去无关未知数．
8．（2022秋•高邮市期末）图①是边长为40cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽与高相等，这个长方体的体积为　 　cm3．

思路引领：设宽为xcm，然后表示出其高为20﹣x，根据该长方体的宽与高相等，列方程即可求出长方体的宽与高，再求出长，然后根据长方体的体积公式求解即可．
解：设宽为xcm，则其高为40−2x2=20−x，
根据题意得：x＝20﹣x，
解得x＝10，
故长方体的宽与高均为10cm，长为40﹣10×2＝20cm，
所以长方体的体积为：20×10×10＝2000cm3．
故答案为：2000
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用以及展开图折叠成几何体，根据长方体宽和高之间的关系，列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2021秋•莱州市期末）要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取直径为8cm的圆钢的长度为 　　．
思路引领：根据体积相等，列方程求解即可．
解：设需要xcm，由题意得，
π×52×8＝π×（82）2×x，
解得x＝12.5（cm），
故答案为：12.5cm．
解题秘籍：本题考查认识立体图形，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的前提．
10．（2020秋•商河县校级期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为　 　．
思路引领：设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是9、新两位数﹣原两位数＝9”列方程组求解可得．
解：设十位数字为x，个位数字为，
根据题意，得：，
解得：，
∴原来的两位数为45，
故答案为：45．
解题秘籍：本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意抓住相等关系列出方程是解题的关键．
11．在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的数字是 　．
思路引领：根据两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得到被替换的数字．
解：∵在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，
而用数字3替换其中的一个非0数码后，绝对值最小的数为﹣0.1328，
∴被替换的数字是4．
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查了有理数大小比较，注意找准本题规律：替换的数是左边第一个大于3的数．
12．（2020秋•合肥期中）魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小明想的数是﹣2，那么他告诉魔术师的结果应该是　 　．
（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为105，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是　 　．
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你通过计算说出其中的奥妙．
思路引领：（1）按运算步骤可以得到，结果是[（﹣2）×3﹣6]÷3+7，即可求解；
（2）设小聪想到的数是x，则根据题意得：（3x﹣6）÷3+7＝105，从而求解；
（3）根据给出的运算表，即可列出代数式，再将式子进行化简，即可求得想到的数与结果的关系．
解：（1）[（﹣2）×3﹣6]÷3+7
＝（﹣6﹣6）÷3+7
＝（﹣12）÷3+7
＝﹣4+7
＝3，
故答案为：3．
（2）设小聪想到的数是x，则根据题意得：（3x﹣6）÷3+7＝105，
解得：x＝100；
∴小聪想的那个数是100，
故答案为：100；
（3）设观众想的数为a．变换之后的结果为（3a﹣6）÷3+7＝a+5，
∴魔术师用结果减去5就是观众想的数．
解题秘籍：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
13．（2021秋•兴隆台区校级月考）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的14，求这个两位数．
思路引领：首先设十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+（x+3），这个两位数是10x+（x+3），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的14可得方程x+（x+3）＝[10x+（x+3）]×14，解方程可得x的值，进而得到答案．
解：设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由题意得：
x+（x+3）＝[10x+（x+3）]×14，
解得x＝3，
故十位数字为3，个位数字为6，这个两位数字是36，
答：这个两位数是36．
解题秘籍：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．一个六位数，首位数字是1，如果把首位数字放在末位上，那么这个新数变为原数的3倍．求这个六位数．
思路引领：设这个六位数的后五位数字为x，则这个六位数为100000+x，新的六位数为10x+1，根据这个新数变为原数的3倍列出方程解答即可．
解：设这个六位数的后五位数字为x，由题意得
10x+1＝3（100000+x），
解得：x＝42857，
所以这个六位数为142857．
答：这个六位数为142857．
解题秘籍：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数的计数方法是解决问题的关键．
15．（2018秋•福田区期末）一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x：
（1）原三位数可表示为　 　，新三位数可表示为　 　；
（2）列方程求解原三位数．
思路引领：（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，根据三位数＝百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；
（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可．
解：（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，
又∵十位数字是0，
∴原三位数可表示为100x+2x＝102x．
∵新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，十位数字是0，
∴新三位数可表示为100•2x+x＝201x．
故答案为102x，201x；
（2）由题意，得201x＝2•102x﹣9，
解得x＝3．
则102×3＝306．
答：原三位数为306．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键．