人教版六年级数学上册【中等卷】专题08《数学广角—数与形》常规应用题分类专项真题汇编（原卷+解析卷）

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人教版数学六年级上册常规应用题分类专项真题汇编（中等）专题08 数学广角—数与形一．选择题1．4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（　　）A．0 B．3 C．7 D．6【思路引导】把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．【完整解答】解：4÷11＝0.，循环节是36两个数字；20÷2＝10，所以20位上的数是6；故选：D．2．请同学们伸出左手，如图所示从这只手大拇指开始的那样数数字1，2，3…，那么数字2011落在哪个手指上？（　　）A．大拇指 B．食指 C．中指 D．无名指【思路引导】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环，一个循环就是8，接下来又从大拇指开始另一次循环，由此用2011÷8，看求出的得数，如果是整数，答案就是此循环数中的最后一个数，如果有余数，看余数在循环数中第几个数对应的手指即可．【完整解答】解：2011÷8＝251…3，余数是3，所以是从大拇指开始第三个，就是中指；故选：C．3．按规律填，3，6，9，12，15，（　　）A．16 B．17 C．18 D．19【思路引导】因为6﹣3＝3，9﹣6＝3，所以数列中的数依次增加3；据此解答解答．【完整解答】解：因为6﹣3＝3，9﹣6＝3，所以数列中的数依次增加3，所以应填：15+3＝18．故选：C．4．如图：照这样画，第12幅图有（　　）个三角形．A．18 B．20 C．22 D．24【思路引导】根据题意，第一幅图有2个三角形，第二幅图有4个三角形，第3幅图有6个三角形，可推出第n幅图有2n个三角形，据此即可解答问题．【完整解答】解：根据题干分析可得，第一幅图有2个三角形，第二幅图有4个三角形，第3幅图有6个三角形，可推出第n幅图有2n个三角形，当n＝12时，2×12＝24（个）答：第12幅图有24个三角形．故选：D．5．观察下面的点阵图，按规律，第（9）个点阵图中有（　　）个点．A．27 B．30 C．33 D．54【思路引导】图（1）有6个点，图（2）有9个点，图③有12个点、6、9、12……是一公差为3的等差递增数列．6＝3×1+3、6＝3×2+3、12＝3×3+3……第n（n为大于0的自然数）项是3n+3．【完整解答】解：由分析可知，第n项是（3n+3）个点3×9+3＝27+3＝30答：第（9）个点阵图中有30个点．故选：B．6．如图所示，照这样的规律，第⑩幅图有（　　）个黑色正方形。A．30 B．31 C．32 D．40【思路引导】认真观察，第1幅图有4个黑正方形，第2幅图有（4+3）个黑正方形，第3幅图有（4+3+3）个黑正方形，第n幅图有4+3（n﹣1）个黑正方形，据此解答即可。【完整解答】解：根据分析可知，第10幅图有：4+3×（10﹣1）＝4+3×9＝4+27＝31（个）故选：B。二．填空题7．观下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成如图的形式：按照上述规律排下去，那么第10行正中间那个数是　﹣91　．【思路引导】奇数为负，偶数为正，每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是81，每行的数字个数是按1、3、5、7…奇数排列的，第10行有19个数，正中间那个数是从左边第10个数，用第9行最后一个数字的绝对值加10即可．【完整解答】解：9×9＝81，81+10＝91．答：第10行正中间那个数是﹣91．故答案为：﹣91．8．按规律填数。（1）76、70、　64　、58、　52　、　46　。（2）33、41、49、　57　、　65　、　73　。【思路引导】（1）数列规律：每次递减6，据此求解即可；（2）数列规律：每次递增8，据此求解即可。【完整解答】解：（1）70﹣6＝6458﹣6＝5252﹣6＝4676、70、64、58、52、46；（2）49+8＝5757+8＝6565+8＝7333、41、49、57、65、73。故答案为：64，52，46；57，65，73。9．按规律写数．①5、10、15、　20　、　25　、30、35、40．②83　84　　85　868788　89　　90　【思路引导】（1）规律是：5个5个地依次往后数即可得出结果；（2）规律是：1个1个地依次往后数．【完整解答】解：①5、10、15、20、25、30、35、40．②8384858687888990故答案为：20、25；84、85、89、90．10．下列算式的规律，在横线上填上符合规律的数．22＝12+3，32＝22+5，42＝32+7，52＝42+9，…242＝（　23　）2+　47　．【思路引导】等式的左边是从2开始连续自然数的平方，等号的右边对应比前面的自然数少1的平方，再加上这两个自然数的和，由此得出答案即可．【完整解答】解：242＝232+47．故答案为：23，47．11．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法。例如借助图，可以将算式转化成：　1﹣＝　。（写出算式并计算出结果）【思路引导】本题考查分数计算；把这个正方形看作是一个边长为1的正方形，那么先平均分成两份，另外一份占二分之一，再把第一份平均分成两份，其中一份占四分之一，再把四分之一分为两份，每份占八分之一，以此类推，可分到份，所以最终可得到：，即1﹣＝。【完整解答】解：由分析可知，＝1﹣＝。故答案为：1﹣＝。12．用小棒按照如下方式摆图形：摆第5个图形需用 　36　根小棒，摆第n个图形需用 　（7n+1）　根小棒。【思路引导】观察图形发现，每多1个图形，就多用7根小棒，第n个图形中的小棒数为7n+1。据此解答。【完整解答】解：7×5+1＝35+1＝36（根）答：摆第5个图形需用36根小棒，摆第n个图形需用（7n+1）根小棒。故答案为：36，（7n+1）。13．如图，琪琪用火柴棒摆“金鱼”，按照这个规律摆下去，用56根火柴棒摆出的是第 　9　幅图。 【思路引导】第一幅图有8根小棒，即6×1+2；第二幅图有14根小棒，即6×2+2；第三幅图有20根小棒，即6×3+2；……第n幅图中的小棒数为：6n+2。【完整解答】解：6n+2＝56          6n＝54            n＝9答：用56根火柴棒摆出的是第9幅图。故答案为：9。14．观察等式：13＝1＝12，13+23＝（1+2）2＝9＝32，13+23+33＝（1+2+3）2＝36＝62；请计算13+23+33+43+53+63＝　441　。【思路引导】观察等式可得：求几个连线自然数的立方和，就等于这几个数的和的平方；所以：1³+2³+3³+4³+5³+6³＝（1+2+3+4+5+6）²【完整解答】解：1³+2³+3³+4³+5³+6³＝（1+2+3+4+5+6）²＝21²＝441故答案为：441。15．观察下面这组算式。8×0.1＝0.88×0.4＝3.28×0.7＝5.68×0.9＝7.28×1.01＝8.08根据这组算式的特点，可以知道：一个数　乘　比1小的数，得到的积比原数　小　。【思路引导】首先观察式子，总结这组算式的特点，最后总结规律：一个数乘比1小的数，得到的积比原数小。【完整解答】解：经分析得：根据这组算式的特点，可以知道：一个数乘比1小的数，得到的积比原数小。故答案为：乘；小。16．如图：一张桌子能坐4人，两张桌子拼起来能坐6人……照这样的规律，8张桌子能坐 　18　人，40人需要 　19　张桌子。【思路引导】1张桌子能坐4人，即2×1+2；2张桌子拼起来能坐6人，即2×2+2；3张桌子拼起来能坐8人，即2×3+2；……n张桌子拼起来能坐的人数为：2n+2。【完整解答】解：2×8+2＝16+2＝18（人）2n+2＝40   2n＝38    n＝19答：8张桌子能坐18人，40人需要19张桌子。故答案为：18，19。17．观察下面的4幅点子图，按照这样的规律，第10幅点子图会有 　55　个点子．【思路引导】根据图示，第1幅图点子个数是1个；第2幅图点子个数：1+2＝3（个）；第3幅图点子个数：1+2+3＝6（个）；……；第n幅图点子个数：1+2+3+……+n＝[n（n+1）÷2]个。据此解答。【完整解答】解：第1幅图点子个数是1个第2幅图点子个数：1+2＝3（个）第3幅图点子个数：1+2+3＝6（个）……第n幅图点子个数：1+2+3+……+n＝[n（n+1）÷2]个……第10幅图点子个数：10×（10+1）÷2＝10×11÷2＝55（个）答：第10幅点子图会有55个点子。故答案为：55。18．按规律填数。（1）7、14、21、28、　35　、42、　49　。（2）81、72、63、　54　、45、36、　27　。【思路引导】（1）规律：依次加7。（2）规律：依次减9；据此解答即可。【完整解答】解：（1）28+7＝3542+7＝49即7、14、21、28、35、42、49。（2）63﹣9＝5436﹣9＝27即81、72、63、54、45、36、27。故答案为：35、49；54、27。19．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：称图中的数1，5，12，22……为五边形，则第6个五边形数是　51　。【思路引导】根据图示可知，第二个图形与第一个图形小石子的个数相差：5﹣1＝4（个），第三个图形与第二个图形的小石子的个数相差：12﹣5＝7（个），第四个图形与第三个图形小石子的个数相差：22﹣12＝10（个）……相邻两个图形的小石子的个数的差依次增加3个。据此完成做题即可。【完整解答】解：第二个图形与第一个图形小石子的个数相差：5﹣1＝4（个）第三个图形与第二个图形的小石子的个数相差：12﹣5＝7（个）第四个图形与第三个图形小石子的个数相差：22﹣12＝10（个）……第五个图形的小石子的个数是22+13＝35（个）第六个图形的小石子的个数是：35+16＝51（个）答：第6个五边形数是51。故答案为：51。三．解答题20．用4厘米长的绳子围正方形，围出的正方形的个数可以是1个、2个、3个…如下图所示，所围图形依次编号为（1）、（2）、（3）…（1）编号为（4）的图形面积比编号为（3）的图形面积小多少平方厘米？（2）已知编号为（42）的图形面积是两个编号相邻的图形面积之差，这两个图形的编号之和为　13　．【思路引导】（1）因为是用一根长4厘米的绳子在地上摆正方形，那么在每个图形中，所有正方形的周长之和就是4厘米；正方形的边长等于周长÷4，正方形的面积等于边长×边长，求出编号为（4）的图形面积减编号为（3）的图形面积即可；（2）求出编号为（42）的图形面积，再根据是两个编号相邻的图形面积之差，得出这两个图形的编号，再求和即可．【完整解答】解：（1）编号为（3）的图形中的小正方形的边长：4÷（4×3）＝4÷12＝（厘米），编号为（3）的图形面积：＝＝（平方厘米）；编号为（4）的图形中的小正方形的边长：4÷（4×4）＝4÷16＝（厘米），编号为（4）的图形面积：＝＝（平方厘米），（平方厘米）答：编号为（4）的图形面积比编号为（3）的图形面积小平方厘米；（2）编号为（42）的图形中的小正方形的边长：4÷（4×42）＝4÷168＝（厘米），编号为（42）的图形面积：＝（平方厘米），因为，所以这两个相邻图形的编号是（6）（7），6+7＝13．答：这两个图形的编号之和为13．故答案为：13．21．如图所示，小明在纸上画折线，他每次都是按水平方向画，再按竖直方向画，且每次画完后的两条线段的长度相等，如果第1次画的两条线段的长度都为1，第2次画的两条线段的长度都为3，…，第n次画的两条线段长度都是2n﹣1，请你回答下列问题，说明理由．（1）画完第2017次后，小明所画的折线的总长度是多少？（2）当小明所画的折线总长度为2048时，试求折线的最后两条线段的长度．【思路引导】（1）1、3、5、7……前n项和是n2，由于每次画2条，且这条线段长度相等，再乘2就是总长度，画完第2017次后折线的总长度就是20172×2．（2）1、3、5、7……求前n项和的公式是n2，令n2×2＝2048，从而求出n的值，根据1、3、5、7……这个规律发现第n次画的线段长度是2n﹣1，两条再乘2即可．【完整解答】解：（1）2017×2017×2＝4068289×2＝8136578（2）令n2×2＝2048则：n2＝1024，n＝32．2×32﹣1＝63．答：小明画的折线的总长度是8136578，当小明所画的折线总长度为2048时，折线的最后两条线段的长度是63．22．有这样一串数、、、、、、、、、…（1）第407个分数是多少？（2）从开始，前407个分数的和是多少？【思路引导】（1）观察给出的数列知道，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个…分母是n的分数有（n﹣1）个，由此知道根据等差数列前n项的和n（n﹣1）÷2，先求出第406个分数的分母，进一步解决问题即可．（2）分母是2的分数的和是，分母是3的分数的和是1，分母是4的分数的和是，分母是5的分数的和是2，…分母每增加1，它们的和就增加，由此求解．【完整解答】解：（1）因为分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个…分母是n的分数有（n﹣1）个，所以分数一共有1+2+3+4+…+（n﹣1）＝，＝406；则第407个分数是．答：第407个分数是． （2）第407个分数是，第29个分数就是，+（+）+（++）+（+++）+…（++…）+＝++++…++＝+＝203+＝203答：从开始，前407个分数的和是203．23．如图，甲、乙、丙、丁四个图都称作平面图，观察图甲和表中对应数值，探究计数的方法并作答．（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入下表．图甲乙丙丁顶点数m47  边数n69  区域数f3   （2）根据表中数值，写出平面图的顶点数m，边数n、区域数f之间的一种关系：　m+f＝n+1　（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）题中得出的关系，则这个平面图有　30　条边．【思路引导】（1）按照自己熟悉的规律去数顶点数，边数以及区域数；（2）4+3﹣6＝1，7+3﹣9＝1，8+5﹣12＝1，10+6﹣15＝1，所以可得到一般规律：顶点数+区域数﹣边数＝1；（3）边数＝顶点数+区域数﹣1．【完整解答】解：（1）结和图形我们可以得出：图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域；图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域；图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域；图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域．（2）根据以上数据，顶点用m表示，边数用n表示，区域用f表示，他们的关系可表示为：m+f＝n+1； （3）把m＝20，f＝11代入上式得：n＝m+f﹣1＝20+11﹣1＝30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30．故答案为：m+f＝n+1；30．24．已知一串分数：，，，，，，，，，…（1）是此串分数中的第多少个分数？（2）第115个分数是多少？【思路引导】（1）观察给出的数列知道，分母是1的分数有1个，分母是2的分数有2个，分母是3的分数有3个…分母是n的分数有n个，由此知道根据等差数列前n项的和n（n+1）÷2，求出1到49的和，进而求出是此串分数中的第几个分数；（2）根据等差数列前n项的和n（n+1）÷2，先求出和为120是此串分数中的第几个分数，进而求出第115个分数是几．【完整解答】解：（1）49×（49+1）÷2，＝49×50÷2，＝1225，也就是说第1225个分数是，往后推7个分数就是，1225+7＝1232，所以是此串分数中的第1232个分数； （2）n（n+1）÷2＝120，即n（n+1）＝240，因为15×16＝240，所以n＝15，也就是说，第120个数是往前推，115个分数是.答：（1）是此串分数中的第1232个分数，（2）第115个分数是.25．观察下面的算式，看看你有什么发现？13+23＝9 （1+2）2＝913+23+33＝36 （1+2+3）2＝3613+23+33+43＝100 （1+2+3+4）2＝100…通过你的发现计算：13+23+33+43+…+153＝　14400　．【思路引导】由已知算式可以看出：左边是从1开始的相邻自然数的立方的和，右边是左边各加数去掉立方后和的平方．据此即可根据这规律求出最后一个算式的计算结果．【完整解答】解：1+2+3+4+……+15＝16×7+8＝112+8＝1201202＝1440013+23+33+43+…+153＝14400．故答案为：14400