浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（较易）（含答案解析）

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷

考试范围：第四单元；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    比值为约的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为米，则其宽约为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.    已知线段、、，求作第四比例线段，下列作图正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    如图，在梯形中，，，相交于点，过点作分别交，于点，下列各式中不正确的是(    )
    

A.  B.  C.  D.

5.    如图，∽，，，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

6.    如图，∽，且，，则的长是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    下列关于相似三角形的说法，正确的是(    )

A. 等腰三角形都相似
B. 直角三角形都相似
C. 两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D. 一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似

8.    如图，，，相交于点，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸，两点间的距离，在点所在岸边的平地上取点，，，使，，在同一条直线上，且；使且，，三点在同一条直线上．若测得，，，则，两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中号“”字的高度长为，当测试距离为时，号“”字的高度长为(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为(    )

A. ： B. ： C.  D. ：

12. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是(    )
     

A. ∽ B. 点、点、点三点在同一直线上
C. ：： D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知，，，是成比例线段，则______．
14. 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：；；；中的一个，不能得出和相似的是：______填序号．
15. 四边形∽四边形，他们的面积比为，四边形的周长是，则四边形的周长为          ．
16. 如图，四边形与四边形位似，位似中心为点，，，，则          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知，求的值．
18. 本小题分
    已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点，求的值．

19. 本小题分
    如图，在中，，点，分别在边，上，，，相交于点，求证：．

20. 本小题分
    如图，已知∽，，，，求和的长．

21. 本小题分
    如图，在中，为上一点，为延长线上一点，且，，求证：．

22. 本小题分
    如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．

23. 本小题分
    某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米．
    在计算过程中、之间的距离应是______米；
    根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
     
24. 本小题分
    阅读与探究：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“双倍”矩形．

当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“双倍”矩形？若存在，求出“双倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由；

边长为的正方形存在“双倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由．

25. 本小题分
    已知四边形相似于四边形，各边长如图所示，求，，的度数以及，，的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
根据黄金分割的定义可得，可得答案．
【解答】
解：点是线段的黄金分割点，
，
只有选项D符合题意，
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割和估算无理数数记黄金分割的比值是解题的关键．
先列式，再把的近似值代入求出近似值．
【解答】
解：由题意可得宽为：米
故选：．
  

3.【答案】 

【解析】解：线段为线段、、的第四比例线段，
，
A、作出的为，故本选项错误；
B、、线段无法先作出，故本选项错误；
D、作出的为，故本选项正确．
故选D．
根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．
 

4.【答案】 

【解析】略
 

5.【答案】 

【解析】略
 

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】解：等腰三角形不一定都相似，如的和的，它们不相似，故选项A错误；
直角三角形不一定相似，如，的和，的，它们不相似，故选项B错误；
两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；
一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；
故选：．
根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的相似解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，即，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
．
故选：．
由垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用两角相等的两个三角形相似得到三角形与三角形相似，由相似得比例求出所求即可．
此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
∽，
，
，，，
，
，
故选：．
直接利用相似三角形的判定和性质定理列比例式，代入可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；正确列出比例式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，

：：
故选：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
通过对位似图形的性质分析从而得出答案．
【解答】
解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
∽，故选项A正确；
点、点、点三点在同一直线上，故选项B正确；
，且：：，故选项C错误，选项D正确．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：，，，是成比例线段，
：：，
，
解答．
故答案为．
根据成比例线段的概念，则可得：：，再根据比例的基本性质，求得的值．
本题考查比例线段．
 

14.【答案】 

【解析】解：当，时，∽，故不符合题意；
当，时，∽，故不符合题意；
当，时，不能推出∽，故符合题意；
当，时，∽，故不符合题意；
故答案为：．
根据相似三角形的判定定理可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】 

【解析】 四边形与四边形位似，其位似中心为点，

，，
，
，
，
．

17.【答案】解：设，
，，，
． 

【解析】本题考查了比例的性质的应用，此题是一道比较典型的题目，主要考查学生的解题方法是否恰当．
设，则，，，代入求出即可．
 

18.【答案】解：过点作交于，
则，，
． 

【解析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到则，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
． 

【解析】根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，即可利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差得到，即可判定．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
∽，
，即，
解得，，，
． 

【解析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形得到对应边成比例是解题的关键．
 

21.【答案】证明：过点作交于，如图，

，
∽，
，
即，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】过点作交于，利用可判断∽，则，根据比例性质得；利用可判断∽，则，，然后根据等量代换即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．
 

22.【答案】解：，，
∽，
，
，
的长为． 

【解析】先由，，证明∽，然后列比例式求出的长．
此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．
 

23.【答案】 

【解析】解：测量者的眼睛距地面的高度为米，
米．
故答案为：；

结合光的反射原理得：．
在和中，
，，
∽，
，
即，
解得．
答：旗杆的高度是．
根据题意可得出答案；
根据反射定律可以推出，所以可得∽，再根据相似三角形的性质解答．
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

24.【答案】解：存在
设“双倍”矩形的一边为，则另一边为
则
解得，
；
答：“双倍”矩形的长为，宽为
不存在
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时
则面积比必定是，所以不存在． 

【解析】本题考查了矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质，解答本题要充分利用所有正方形相似的特殊性质，属于中档题．
设“加倍”矩形的一边为，则另一边为，根据面积是已知矩形面积的倍列出方程，求解即可；
根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；
 

25.【答案】解：由题意可得，四边形∽四边形，
则，，，；
，即，
解得，，． 

【解析】观察图形，可知两个相似的四边形的四个角中有两个锐角，两个钝角，根据相似多边形的对应角相等得出，，根据四边形命名的方法可知四边形∽四边形，再根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等即可求解．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．准确识图，找准对应顶点是解题的关键．