福建省龙岩市第一中学2022-2023学年高二数学上学期第三次月考试题（Word版附答案）

龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第三次月考

数学试题

（考试时间：120分钟   满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是

A． B． C． D．

2．曲线与曲线（且）的

A. 焦距相等       B. 短轴长相等       C. 长轴长相等      D. 离心率相等

3．已知等差数列的前项和为，若，，则

A．6 B．7 C．8 D．9

4．已知直线与平行，则的值是

A. 1 B. 1或2             C. 5 D. 2或5

5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）

A.  B.                 C.  D.

6．已知抛物线，圆，直线与交于、两点，与交于、两点，若，则

A． B． C． D．

7．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为

A. 1           B.          C.           D. 或

8．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为

A．2 B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．若，方程表示的曲线可以是

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

10．已知是的前n项和，下列结论正确的是

A. 若为等差数列，则（p为常数）仍然是等差数列

B. 若为等差数列，则

C. 若为等比数列，公比为q，则

D. 若为等比数列，则“”是“”的充分而不必要条件

11．已知圆，直线，.则下列结论正确的是

A. 当时，圆C上恰有三个点到直线距离等于1

B. 存实数m，使直线l与圆C没有公共点

C. 若圆C与曲线恰有三条公切线，则

D. 当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为

12．已知抛物线C：过点，焦点为F，准线与x轴交于点T，直线l过焦点F且与抛物线C交于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线C的切线，两切线相交于点H，则下列结论正确的是

A.  B. 抛物线C的准线过点H

C.  D. 当取最小值时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_____________．

14．已知数列中，，则通项公式_____________．

15．已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为___________．

16．已知数列满足．

（1）若，则___________；

（2）若对任意正实数t，总存在和相邻两项，使得成立，则实数取值范围是___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知数列是等差数列，其前项和为，且，.

(1)求；

(2)记数列的前项和为，求当取得最小值时的的值.

18. （12分）

在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.

(1) 求AB边上的高CH所在直线方程；

(2) 设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.

19．（12分）

在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

(1)求的值；

(2)若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值．

20. （12分）

已知数列满足，，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

21．（12分）

已知点，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

(1)求点M的轨迹方程；

(2)当（点M与点P不重合）时，求l的方程及△POM的面积.

22．（12分）

已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．

(1)求C的方程；

(2)如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．

龙岩一中2022-2023学年第一学期高二第三次月考

数学试题参考答案

13．      14．       15．      16．；

17.(1)设等差数列的公差为，

则由得解得

所以.              ……………………………5分

(2)因为，所以，

则.

令，解得，

由于，故或，

故当前项和取得最小值时的值为10或11. ……………………………10分

18. （1）设，则 ， 解得，∴，……………………2分

由  得，

，即……………………………6分

（2）当斜率不存在时，，不满足题意；

当斜率存在时，设，即，

依题意得： ，

有或，

解得或 ，……………………………10分

直线l的方程为：或 ，

即：或. ……………………………12分

19. (1)将代入抛物线，解得：.……………………………2分

(2)，在抛物线C上，故，

，解得：或2，

因为，所以，即，

故，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.……………………………12分

20. （1）由得：，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………………………4分

由（1）得：，

则，，，…，，

各式作和得：，

又，，……………………………6分

，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

综上所述：.……………………………12分

21.（1）由圆C：，而，故P在圆C内，

由AB中点为M，则CM⊥AB，即CM⊥PM，

所以M轨迹是以CP为直径的圆，而，

故轨迹圆心为，半径为，轨迹方程为;

点C、P的坐标也满足此方程，所以点M的轨迹方程为；…………………6分

（2）由（1），当时有OD⊥PM，而，

所以，则直线l为，即，

则O到直线l距离，而，

所以，故.……………………………12分

22.(1)由已知可得，解得，

所以双曲线C的方程为；……………………………4分

 (2)证明：由题意，设直线的方程为，直线的方程为，点 ，

由，得 ，

则，得，

所以，

同理可得，其中满足，

直线的方程为，令，得,

又，所以，即，

同理可得，

因为，

所以两点关于轴对称. ……………………………12分