专题08 数列-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

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专题08 数列

1．【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2−a5=42，则a6=（       ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列an的公比为q,q≠0，易得q≠1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】
解：设等比数列an的公比为q,q≠0，
若q=1，则a2−a5=0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则a1+a2+a3=a11−q31−q=168a2−a5=a1q−a1q4=42，解得a1=96q=12，
所以a6=a1q5=3.
故选：D.
2．【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+1α1，b2=1+1α1+1α2，b3=1+1α1+1α2+1α3，…，依此类推，其中αk∈N∗(k=1,2,⋯)．则（       ）
A．b1b5>b7>…，b7>b8，故A错误；
b1>b7>b8，故B错误；
1α2>1α2+1α3+…1α6，得b2α1+1α2+…1α6+1α7，得b4N0时，an>0”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列an的公差为d，则d≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x的最大整数.
若an为单调递增数列，则d>0，
若a1≥0，则当n≥2时，an>a1≥0；若a10可得n>1−a1d，取N0=1−a1d+1，则当n>N0时，an>0，
所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”；
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N∗且k>N0，ak>0，
假设dk，
当n>k−akd+1时，an0，即数列an是递增数列.
所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”.
所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的充分必要条件.
故选：C.
5．【2022年浙江】已知数列an满足a1=1,an+1=an−13an2n∈N∗，则（       ）
A．2