2021-2022学年广西梧州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年广西梧州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西梧州市九年级（上）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列函数中，是反比例函数的是(    )A.  B.  C.  D. 若∽，并且它们的相似比：：，则它们的周长比：(    )A. ： B. ： C. ： D. ：下列的各点中，在反比例函数图象上的点是(    )A.  B.  C.  D. 如果线段，，那么和的比例中项是(    )A.  B.  C.  D. 二次函数的图象与轴的交点是(    )A. 和 B. 和
C. 和 D. 和在中，，，，则下列三角函数值中，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得到的函数关系式是(    )A.  B.
C.  D. 如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点，且，则(    )A.
B.
C.
D. 如图，在的边上取点，作交于点，且，若，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 如图，、交于点，若，：：，，则的面积的值是(    )A.
B.
C.
D. 如图，在第一象限内，是反比例函数图象上的任意一点，平行于轴交反比例函数的图象于点，作以为边的平行四边形，其顶点，在轴上，若，则这两个反比例函数可能是(    )
 A. 和 B. 和
C. 和 D. 和如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：；；；；其中结论正确的是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）如果线段，，那么：的值是______．二次函数的图象顶点是______．已知，则______．如图，直线和抛物线交于、两点，则关于的不等式的解集是______．
 在函数其中，为常数经过点，，，且，则把、、按从小到大排列为______．如图，在中，，，，则的长度是______．
  三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
在中，，，，求的长．本小题分
如图，是的弦，过圆心作，垂足为点，且交于点，，，求的半径长度．
本小题分
如图，，，且、、交于点，求证：∽．
本小题分
已知一次函数与一个反比例函数图象交于、两点，其中点的坐标是．
求出的值；
求出点的坐标．本小题分
如图，是的直径，是的弦，点是弧的中点，连接交于点，若，，求的长．
本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴、线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为．
求抛物线的表达式．
如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高为，宽为，这辆货运卡车能否通过该隧道？请通过计算说明．
本小题分
如图，在中，，作且点在上，与相切，切点是，作直径，延长、交于点，连接．
求证：是的平分线；
若，，求的长．
本小题分
已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式；
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求出当为何值时，的最大值是多少？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：为反比例函数，选项符合题意．
不是反比例函数，选项不符合题意．
为正比例函数，选项不符合题意．
为二次函数，选项不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义逐项判断选项求解．
本题考查反比例函数的定义，解题关键是掌握为反比例函数．
 2.【答案】 【解析】解：∽，并且它们的相似比：：，
周长比：：，
故选：．
利用周长的比等于相似比写出答案即可．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等、对应边的比相等，难度不大．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
A.，故不在图象上；
B.，故在图象上；
C.，故不在图象上；
D.，故不在图象上．
故选：．
根据解析式逐项判断即可．
本题考查反比例函数上点的坐标特征，解题关键是知道反比例函数上的点的横纵坐标之积等于比例系数．
 4.【答案】 【解析】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是，则
，
解得线段是正数，负值舍去．
故选：．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
考查了比例中项的概念，正确记忆比例中项的平方等于两条线段的乘积是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：二次函数为，
令，则，
解得，，
二次函数与轴的交点为，．
故选：．
求与轴的交点令，解方程即可．
本题考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握求抛物线于坐标轴的交点坐标的方法是解题的关键，属于中考常考题型．
 6.【答案】 【解析】解：，，，
，
，故选项A不符题意；
，故选项B不符题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符题意；
故选：．
先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：将二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得到的函数关系式是：，即．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接，如图所示，
为直径，
，
，，
，
，
故选：．
先连接，然后根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，即可得到和的度数，然后根据，即可求得的度数．
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 9.【答案】 【解析】解：在和中，
，，
∽，
，
，，，
，
，
故选：．
根据题意可得∽，再由相似三角形的性质求出的长，最后根据即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，证得∽是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
，
：：，
：：，
，
故选：．
根据，可得∽，由相似三角形的性质可得，再利用等高三角形的面积之比等于底边长之比即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题关键．
 11.【答案】 【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则，
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是反比例函数图象上的任意一点，平行于轴交反比例函数的图象于点，
，
选项中，，
故A选项不符合题意；
选项中，，
故B选项符合题意；
选项中，，
故C选项不符合题意；
选项中，，
故D选项不符合题意，
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，根据平行四边形的性质可证≌，进一步可知，所以，根据反比例函数系数的几何意义可知，进一步判断即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：由图象可知，对称轴为直线，
，
，
故符合题意；
，，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，
故不符合题意；
当时，，
当时，，
，
故符合题意；
由图象可知，函数与轴没有交点，
，即，
故不符合题意；
当时，，
，
，
故不符合题意；
故选：．
由图象可知，对称轴为直线，由对称轴可得；
分别判断出，，，即可得到；
当时，，由此可判断；
根据函数图象与轴交点的情况，可知；
当时，，由此可判断．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够通过函数图象获取信息是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：因为线段，，
所以：：．
故答案为：．
根据比例线段计算即可．
此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答．
 14.【答案】 【解析】解：由二次函数知，该函数图象的顶点是．
故答案为：．
直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
 16.【答案】 【解析】解：观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方，
不等式的解集为．
故答案为：．
观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：函数其中，为常数中，，
在每个象限内，随的增大而减小，当时，，当时，，
函数其中，为常数经过点，，，且，
，
故答案为：．
根据题意和反比例函数的性质，可以得到，，的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 18.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为，

，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 19.【答案】解：在中，，
，
又，，
． 【解析】根据正切的概念即可得答案．
本题考查三角函数，掌握正切的概念是解题关键．
 20.【答案】解：设的半径为，则，
，过圆心，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，
即的半径长度是． 【解析】设的半径为，则，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
 21.【答案】证明：，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
∽． 【解析】先利用，可判断∽，∽，利用相似比和等量代换得到，再根据平行线的性质可证明，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和平行线的性质．
 22.【答案】解：点在一次函数上，
；
由可得：点，
设反比例函数．
又点在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数是．
由，解得或．
． 【解析】将点代入，即可求得的值；
利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，与一次函数解析式联立成方程组，解方程组即可得出点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握两函数交点的求法．
 23.【答案】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点．

：：，，
又点是弧的中点，
，
，
，
：：，
又是的直径，
，
，
又，
，
：：，即：：，
解得． 【解析】连接，过点作，交的延长线于点，由平行线分线段成比例可得：：，因为点是弧的中点，所以，由此可得，所以：：，进而可得：：，解之即可得出结论．
本题主要考查平行线分线段成比例，垂径定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等相关内容，关键是作出正确的辅助线．
 24.【答案】解：设抛物线的解析式为，由对称轴是轴得，
，
．
矩形的长为，宽为，
．
抛物线经过点，
，
解得，
所求抛物线的解析式为：．
取，代入所求得的解析式中，得
，
故这辆货运卡车能通过隧道． 【解析】根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，结合点的坐标求抛物线的解析式；
取，求出的值，然后将其与进行比较即可得出结论．
本题侧重考查二次函数应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法．
 25.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线；
解：是的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
∽，
，即，
解得：，
． 【解析】连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到，证明结论；
根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，再证明∽，求出，进而求出．
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 26.【答案】解：根据题意，有，
解之，
所以抛物线的解析式．

如图，设，连接，设的解析式为，又，
当时所，
因此有，
解之得，
所以的解析式为，
又，，，
，
，

即：，
所以当时，的最大值是． 【解析】将、代入，解二元一次方程组，求出、的值即可得出答案；
设，连接，设的解析式为，将、代入，解二元一次方程组求出、的值，即可得出直线的解析式，得出的面积和，，，即可得答案．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．