18.1 平行四边形（解析版）--最新八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
18.1 平行四边形
题型导航

平
行
四
边
形

平行四边形的性质
题型1
平行四边形的判定
题型2
利用平行四边形的性质与判定证明

题型3
利用平行四边形的性质与判定求解

题型4
平行四边形的性质与判定的应用
的应用
题型5


题型变式

【题型1】平行四边形的性质
1．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若，，则的度数为（ ）


A．157° B．147° C．137° D．127°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质推出AO=AB，求出∠AOB的度数，即可得到的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵，
∴AO=AB，
∵，
∴，
∴=，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，利用邻补角求角度，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．


【题型2】平行四边形的判定
1．（2021·甘肃·广河县回民第二中学八年级期中）在下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=BC，AD=DC B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，∠B=∠D D．∠A=∠B，∠C=∠D
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【详解】
解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是AB∥CD，∠B=∠D，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180º，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180º，
∴ AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2021·福建南安·九年级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积．
【详解】
∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴，DF＝BC，
∴，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识．
【题型3】利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2021·西藏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）

A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式3-1】
2．（2022·全国·八年级）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）

A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
【答案】B
【解析】
【分析】
构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ
【详解】
设点、运动的时间为秒，依题意得，
，，，，
①当时，四边形是平行四边形，即，解得．
②当时，四边形是平行四边形，即，解得．
所以当直线将四边形截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒，
故选B．
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键．

【题型4】利用平行四边形的性质与判定证明
1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（ ）


A． B．
C．和互相平分 D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】
解：如图，连接FD，ED，
∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；
根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，
故选C．


【点睛】
本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．


【变式4-1】
2．（2021·河北安国·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　）

A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．AF＝EC
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．
【详解】
解：A、在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．

【题型5】平行四边形的性质与判定的应用
1．（2019·河南临颍·八年级期中）如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

【变式5-1】

2．（2021·云南五华·二模）如图所示，，点在上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，．求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）55°
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论；
（2）设°，，由平行四边形的性质得，再由得，根据求得，进一步得出
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，，BC=AD
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵
∴设°，°
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∵，
∴，解得
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解答此题的关键．



专项训练

一．选择题

1．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学）如图所示，AB＝CD，AD＝BC，则图中的全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定与性质，求解即可．
【详解】
解：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形为平行四边形
∴，，，
∴、
又∵，
∴、
∴图中的全等三角形共有4对
故选：D
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
2．（2021·广西·新地一中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）

A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】
解： 四边形ABCD为平行四边形。
且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），
．
D点坐标为（2，3），
C点横坐标为，
点坐标为（7，3）．
故选：A．
【点睛】
本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
3．（2021·四川恩阳·）如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）．

A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B
【分析】
连接，根据题意可得为的中位线，可知，由此可知不变．
【详解】
如图，连接AQ，

∵，分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵为定点，
∴的长不变，
∴的长不变，
故选：
【点睛】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24