河南省洛阳市老城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份河南省洛阳市老城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．方程﹣x2+5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．﹣1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2
2．若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
3．抛物线y＝（x+1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
4．若将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x﹣4）2+1
C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x+4）2+1
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1B．k≤1且k≠2C．k≥1且k≠2D．k≥2
7．已知点A（﹣1，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
8．直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（ ）
A．8B．7C．6D．2
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则下列说法中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．a+b+c＞0
C．不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3
D．c﹣a＜0
10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．B．5C．D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．某足球预选赛实行主客场赛制，每两个参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛72场，则参赛队有 支．
12．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转38°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为 ．
13．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3，当0≤x≤3时，y的最小值是 ，y的最大值是 ．
14．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程应变形为（ ）2＝5．
15．如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC＝5，则△AED周长最小值是 ．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）5x（x+2）＝3x+6；
（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．
17．如图，在等腰直角△ABC中，点D是AB边上中点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CE，连接AE．求证：AE∥CD．
18．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2＝9．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，试求3k2−12k+2022的值．
19．某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标．
21．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为6m，宽BC为4m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
22．如图，函数y1＝a（x+2）2+3（x≤0）的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数y2的图象，把函数y1与y2的图象合并后称为函数L的图象．
（1）a的值为 ；函数y2的解析式为 （注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ；
（2）当直线y＝x+b与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围．
23．如图（1），△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，BD＝BE，连接DE、AE、CD，点M、N、P分别是AE、CD、AC中点，连接PM、PN、MN．
（1）CE与MN的数量关系是 ．
（2）将△BDE绕点B逆时针旋转到图（2）和图（3）的位置，判断CE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图（2）或图（3）进行证明．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．方程﹣x2+5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．﹣1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
解：方程﹣x2+5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是﹣1，5，﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．若点A（0，2）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】根据两点关于原点对称的特点解答即可．
解：∵两点关于原点对称，
∴横坐标为﹣0＝0，纵坐标为﹣2，
∴点（0，2）关于原点的对称点的坐标为（0，﹣2）．
故选：D．
【点评】考查两点关于原点对称的特点，正确记忆两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题关键．
3．抛物线y＝（x+1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解：因为y＝（x+1）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．若将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3（x+4）2﹣1B．y＝3（x﹣4）2+1
C．y＝3（x﹣4）2﹣1D．y＝3（x+4）2+1
【分析】直接利用平移规律求新抛物线的解析式．
解：根据“左加右减，上加下减”规律知：若将抛物线y＝3x2先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝3（x+4）2﹣1．
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
【分析】根据图象可得出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，则可得出答案．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及二次函数的图象的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点情况是解题的关键．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤1B．k≤1且k≠2C．k≥1且k≠2D．k≥2
【分析】由一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k﹣2≠0，即k≠2，且△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，然后解两个不等式得到k的取值范围．
解：∵一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，
∴k﹣2≠0，即k≠2，
△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1且k≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
7．已知点A（﹣1，y1），B（4，y2）是抛物线y＝（x﹣2）2+k上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴x＝2，再由二次函数的性质即可得出结论．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+K，
∴此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∵A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（5，y1），
∵此抛物线开口向上，对称轴x＝2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵4＜5，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
8．直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（ ）
A．8B．7C．6D．2
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，
∴a+b＝8，ab＝14．
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，
∴c＝6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的运用，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），则下列说法中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．a+b+c＞0
C．不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3
D．c﹣a＜0
【分析】由开口方向和与y轴的交点位置以及对称轴判定选项A；由x＝1时y＜0判断B；由图象与x轴的交点判定选项C；由x＝﹣1时y＝0，以及对称轴x＝1求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，可以判断D．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故A错误，不符合题意；
由图象知，当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故B错误，不符合题意；
由图象可知当﹣1＜x＜3时y＞0，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3，
故C错误，符合题意；
由图象可知当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴c﹣a＝﹣3a﹣a＝﹣4a，
∵a＞0，
∴﹣4a＜0，
∴c﹣a＜0，
故D正确，不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点和一元二次方程、一元二次不等式间的关系，解题的关键是能够快速准确的读懂题目发现图象中所蕴含的信息．
10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（ ）
A．B．5C．D．2
【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝，应用两次勾股定理分别求BE和a．
解：过点D作DE⊥BC于点E，
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为2acm2．
∴AD＝a（cm），
∴AD•DE＝2a，
∴DE＝4cm，
当点F从D到B时，用2s，
∴BD＝2（cm），
Rt△DBE中，
BE＝＝＝2（cm），
∵ABCD是菱形，
∴EC＝2a﹣2，DC＝2a，
Rt△DEC中，
（2a）2＝42+（2a﹣2）2
解得a＝，
故选：A．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，意函数图象变化与动点位置之间的关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．某足球预选赛实行主客场赛制，每两个参赛队都要进行两次比赛．若某个预选赛区共要比赛72场，则参赛队有 9 支．
【分析】每支球队都要比赛（x﹣1）场．根据题意可得x（x﹣1）＝72，求解即可．
解：设参赛的球队有x支，
根据题意可得x（x﹣1）＝72．
解得x1＝﹣8（舍去），x2＝9，
故参赛队有9支．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查一元发二次方程的应用，找出题目中的等量关系是关键．
12．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转38°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为 68° ．
【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝38°，由三角形的外角性质即可得出答案．
解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝38°，
∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+38°＝68°；
故答案为：68°．
【点评】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3，当0≤x≤3时，y的最小值是 ﹣5 ，y的最大值是 3 ．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
解：∵y＝﹣2（x﹣2）2+3，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，3），
∴函数最大值为3，
将x＝0代入y＝﹣2（x﹣2）2+3得y＝﹣5，
∴当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3，
∴y的最小值为﹣5，最大值为3，
故答案为：﹣5，3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
14．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程应变形为（ x+3 ）2＝5．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．
解：x2+6x+4＝0，
x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝5，
（x+3）2＝5．
故答案为：x+3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
15．如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC＝5，则△AED周长最小值是 10 ．
【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，
∴AE＝CD，BE＝BD，∠DBE＝90°，
∴AE+AD＝AD+CD＝AC，△DBE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD，
∴当BD取最小值时，DE的值最小，则△AED周长的值最小，
当BD⊥AC时，BD的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝5，
∴AC＝BC＝5，
∴BD＝AC＝，
∴DE＝5，
∴△AED周长最小值是AC+DE＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）5x（x+2）＝3x+6；
（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0．
【分析】（1）利用提公因式法解出方程；
（2）利用平方差公式把方程的左边因式分解，进而解出方程．
解：（1）5x（x+2）＝3x+6，
因式分解，得5x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
则（x+2）（5x﹣3）＝0，
于是得x+2＝0，5x﹣3＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝；
（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2＝0，
则[3（x+1）]2﹣（x﹣2）2＝0，
因式分解，得（3x+3+x﹣2）（3x+3﹣x+2）＝0，即（4x+1）（2x+5）＝0，
于是得4x+1＝0，2x+5＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．如图，在等腰直角△ABC中，点D是AB边上中点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CE，连接AE．求证：AE∥CD．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质，以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：在等腰直角△ABC中，点D是AB边上中点，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∠BAC＝45°，AD＝CD＝AB，
∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CE，
∴∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠ACE＝45°，AD＝CE，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2＝9．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，试求3k2−12k+2022的值．
【分析】（1）计算判别式的中得到Δ＝36，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝2代入方程k2﹣4k＝5，再把3k2−12k+2022表示为3（k2﹣4k）+2022，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣9）
＝36＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝2代入方程得4﹣4k+k2﹣9＝0，
所以k2﹣4k＝5，
所以3k2−12k+2022＝3（k2﹣4k）+2022＝2037．
【点评】本题考查了根的判别式和整体代入思想，掌握根的判别式的性质是解题关键．
19．某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由销售单价为x元得到销售减少量，用200减去销售减少量得到y与x的函数关系式；
（2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+400），然后利用配方法求最值．
解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，
故销售量为y＝200﹣×20＝﹣5x+400（x≥40）；
（2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：
w＝（x﹣20）（﹣5x+400）
＝﹣5x2+500x﹣8000
＝﹣5（x﹣50）2+4500．
∵x≥40，
当x＝50时，w的最大值为4500．
故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握数学建模思想方法，求出表达式是解题的关键．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可；
（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．
解：（1）如图：△A1B1C1的顶点坐标分别为：（﹣3，1），（0，2），（﹣1，4）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，图形如下：
（3）如图，点M即为所求，点M的坐标（﹣1，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键．
21．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为6m，宽BC为4m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面距离为5米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【分析】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+1，根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当y＝4.5时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论．
解：（1）根据题意得：D（﹣3，0），C（3，0），E（（0，1），
设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0），
把D（﹣3，0）代入得：9a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在y＝﹣x2+1中，令y＝4.5﹣4＝0.5得：
0.5＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴|2x|＝≈8.49（m），
∵8.49＞3，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了二次函数的知识，掌握二次函数的应用是关键．
22．如图，函数y1＝a（x+2）2+3（x≤0）的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数y2的图象，把函数y1与y2的图象合并后称为函数L的图象．
（1）a的值为 ﹣ ；函数y2的解析式为 y2＝﹣（x﹣2）2+3（x≥0） （注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 x≤﹣1或0≤x≤1 ；
（2）当直线y＝x+b与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法将O（0，0）代入函数解析式即可求得a的值，再运用轴对称变换的性质和二次函数性质即可得出答案；
（2）将函数y2＝﹣（x﹣2）2+3（x≥0）与y＝x+b联立，并运用根的判别式即可求得b的最大值，再把O（0，0）代入即可求得b的最小值，从而得出答案．
解：（1）∵函数y1＝a（x+2）2+3（x≤0）的图象过原点，
∴0＝a（0+2）2+3，
解得：a＝﹣，
∴y1＝﹣（x+2）2+3（x≤0），
∵将函数y1沿y轴翻折，得到函数y2的图象，
∴y2＝﹣（x﹣2）2+3（x≥0），
函数L：y＝，
当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x≤﹣1或0≤x≤1；
故答案为：﹣；y2＝﹣（x﹣2）2+3（x≥0）；x≤﹣1或0≤x≤1；
（2）函数y2＝﹣（x﹣2）2+3（x≥0）与y＝x+b联立得：﹣（x﹣2）2+3＝x+b，
整理得：3x2﹣8x+4b＝0，
当Δ＝（﹣8）2﹣48b＝0时，b＝，此时直线y＝x+b与函数L的图象有3个交点，如图1，
把O（0，0）代入y＝x+b得：0+b＝0，
解得：b＝0，此时直线y＝x+b与函数L的图象有3个交点，
∴当直线y＝x+b与函数L的图象有4个交点时，0＜b＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的图象与线段或直线的交点个数问题，轴对称变换的性质，二次函数的图象与性质，运用数形结合思想和方程思想并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．如图（1），△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，BD＝BE，连接DE、AE、CD，点M、N、P分别是AE、CD、AC中点，连接PM、PN、MN．
（1）CE与MN的数量关系是 CE＝2NM ．
（2）将△BDE绕点B逆时针旋转到图（2）和图（3）的位置，判断CE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图（2）或图（3）进行证明．
【分析】（1）如图①中，只要证明△PMN是等边三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图②中，结论仍然成立．连接AD，证明△ECB≌△DBA，推出CE＝AD，再利用三角形的中位线定理得出PM＝PN，再证明∠MPN＝60°，得出△PMN是等边三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，BD＝BE，
∴AD＝CE，
∵点M、N、P分别是AE、CD、AC中点，
∴EC＝2PM，AD＝2PN，MP∥EC，NP∥AD，
∴PM＝PN，∠APM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠BAC＝60°，
∴∠APM＝∠CPN＝60°，
∴∠MPN＝60°，
∴△MNP是等边三角形，
∴MN＝MP，
∴EC＝2MN．
故答案为：CE＝2MN．
（2）如图3中，结论仍然成立．
理由：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ECB≌△DAB（SAS），
∴CE＝AD，∠DAB＝∠ECB，
∵点M、N、P分别是AE、CD、AC中点，
∴EC＝2PM，AD＝2PN，MP∥EC，NP∥AD，
∴PM＝PN，∠APM＝∠ACE＝60°﹣∠ECB，∠CPN＝∠DAC＝60°+∠DAB，
∴∠CPN+∠APM＝120°．
∴∠MPN＝60°，
∴△MNP是等边三角形，
∴MN＝MP，
∵EC＝2PM
∴EC＝2MN．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理．