广西壮族自治区南宁市横州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年广西南宁市横州市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1．抛物线的顶点坐标为　　

A． B． C． D．

2．下列方程中不一定是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

3．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形的是　　

A．由 B． C． D．人

4．有二次函数，则的值是　　

A．4 B．2 C．0 D．4或2

5．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为　　

A． B． C． D．

6．已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为　　

A．3 B．7 C．9 D．

7．如果将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为　　

A． B． C． D．

8．我市某公司在2020年营业额为100万元，到2022年营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为，根据题意可列方程为　　

A． B． 

C． D．

9．如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为．其中正确的是　　

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥

10．二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是　　

A． B． C．或 D．

11．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上的动点，连接，将线段绕点逆时旋转等到，连接，则在点运动过程中，的最小值是　　

A． B．1.5 C． D．6

12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是　　

A． B． C． D．以上都不对

二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分。

13．（2分）一元二次方程的常数项是 　　．

14．（2分）已知点与点关于原点对称，则　　．

15．（2分）方程的根的情况是 　　．

16．（2分）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，其中一种方法通过构造图形解一元二次方程，这体现的数学思想是 　　．

17．（2分）要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与处达到最高，高度，水柱落地处离池中心，应安装水管的长度是 　　．

18．（2分）如果平移抛物线得到新的抛物线，抛物线和与轴的交点为同一个点，则称抛物线和为“同族抛物线”．如图已知抛物线与是“同族抛物线”，与轴都交于点，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），抛物线经过点．若点是抛物线对称轴上一动点，连接、、，则周长的最小值为 　　．

三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19．（6分）计算：．

20．（6分）解方程：．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

（1）请画出与关于原点对称的△；

（2）将绕原点顺时针旋转后得到△，请画出△．

22．（10分）已知一人患了流感，经过两轮传染后一共有64人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染几个人？

23．（10分）某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为多少件？（用含的式子表示）

（2）当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？

24．（10分）综合与实践．

【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“探究图形旋转中的奥妙”为主题开展活动．如图1，在等边三角形中，点为角平分线的交点，点是直线上一点，连接并延长与直线交于点，将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，与直线交于点．

【操作发现】如图1，智慧小组发现当点在线段上时，连接，易证，从而得出；如图2，缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当点在点的左侧时，将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，与直线交点，与的延长线交于点．连接，可得是等腰三角形．

【问题解决】

（1）写出图1或图2中的任意一个旋转角 　　；

（2）如图2请判断和的数量关系，并说明理由；

（3）结合操作发现的描述，证明：是等腰三角形．

25．（10分）阅读与思考：下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：用函数观点认识一元二次方程根的情况，我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴交点的横坐标．抛物线与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．

与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．

下面根据抛物线的顶点坐标，和一元二次方程根的判别式△分别分和两种情况进行分析：

（1）时，抛物线开口向上．

①当△时，有．

，

顶点纵坐标．

顶点在轴的下方，抛物线与轴有两个交点（如图．

一元二次方程有两个不相等的实数根．

②当△时，有．

，

顶点纵坐标．

顶点在轴上，抛物线与轴有一个交点（如图．

一元二次方程有两个相等的实数根．

③当△时，

（2）时，抛物线开口向下．

任务：

（1）请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当，△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；

（2）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例 　　．

26．（10分）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．

（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

2022-2023学年广西南宁市横州市九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1．【解答】解：抛物线的顶点坐标为．

故选：．

2．【解答】解：．方程是一元二次方程，选项不符合题意；

．方程是一元二次方程，选项不符合题意；

．方程是一元二次方程，选项不符合题意；

．当时，方程不是一元二次方程，选项符合题意．

故选：．

3．【解答】解：选项、、的汉字或字母都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项的字母能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：．

4．【解答】解：函数是二次函数，

，

解得．

故选：．

5．【解答】解：，

，

则，即：，

故选：．

6．【解答】解：方程的两个实数根为、，

，

故选：．

7．【解答】解：原抛物线的顶点为，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为．

可设新抛物线的解析式为：，代入得：，化成一般形式得：．

故选：．

8．【解答】解：设年平均增长率为，由题意得：

．

故选：．

9．【解答】解：将绕点旋转得到，，，，，

点的对应点是点，故①正确，

，故②错误，

，故③正确，

，故④正确，

旋转中心是点，故⑤正确，

旋转角不一定为，故⑥错误，

故选：．

10．【解答】解：由图可知，时，．

故选：．

11．【解答】解：取线段的中点，连接，如图所示．

为等边三角形，且为的对称轴，

，，

，

．

在和中，

，

，

．

当时，最短，即最短．

点为的中点，

此时．

故选：．

12．【解答】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，

，

，

故选：．

二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分。

13．【解答】解：关于的一元二次方程的常数项是5，

故答案为：5．

14．【解答】解：点与点关于原点对称，

．

故答案为：3．

15．【解答】解：，，，

△，

方程有两个相等的实数根．

故答案为：有两个相等的实数根．

16．【解答】解：体现的数学思想是数形结合思想，

故答案为：数形结合思想．

17．【解答】解：设抛物线的解析式为，

由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，

，

解得：，

抛物线的解析式为：，

当时，．

水管的长度是．

故答案为：．

18．【解答】解：令，解得或，

，，

将代入，解得，

，

抛物线是抛物线通过平移得到的，

，即，

将，代入抛物线得，

，

解得，

，

抛物线的对称轴为直线，

过点作直线的垂线与抛物线交于点，

连接与直线相交与，连接，

由对称性知，，

两点直线线段最短，

周长的最小为，

，关于直线对称，

，

，

，

周长的最小值为．

故答案为：．

三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19．【解答】解：原式

．

20．【解答】解：，，，

△，

则

，．

21．【解答】解：（1）如图，△即为所求作．

（2）如图，△即为所求作．

22．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了人，则

或（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．

23．【解答】解：（1）若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为件；

（2）设每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

要求每件盈利不少于25元，

应舍去，

，

答：当每件服装降价20元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元．

24．【解答】（1）由题意可得，它们的旋转角为．

故答案为：．

（2）解：，理由如下：如图②，连接，

点为等边角平分线的交点，

平分，平分，

，

，，，

将射线以点为旋转中心，逆时针旋转，

，

，

，

，

．

（3）证明：由（2）知，，

，，，

又，

，

，

，

是等腰三角形．

25．【解答】解：（1）时，抛物线开口向上，

当△时，有．

，

顶点纵坐标

顶点在轴的上方，抛物线与轴无交点，如图，

一元二次方程无实数根；

（2）可用函数观点认识二元一次方程组的解；

故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．

26．【解答】解：（1）令，则，

解得或，

，，

设抛物线的解析式为，

将点代入，得，

解得，

；

（2），

，

，

，，，

，

是等腰三角形；

（3）存在一点，使得，理由如下：

点是抛物线上一点，

，

解得或，

或，

设直线的解析式为，

，

解得，

，

过点作轴交于点，

当时，，

，

，

，

，

解得，

，；

当时，，

，

，

，

，

解得，

，；

综上所述：点坐标为，或，．

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