江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二数学上学期11月期中考试试题（Word版附答案）

2022~2023学年度第一学期高二11月阶段测试

 数 学 试 题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 抛物线的准线方程是（  ▲  ）

A．      B．       C．        D．

2. 已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（  ▲  ）

A．     B．           C．     D．

3. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ▲  ）

A．           B.           C．         D.  

4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（  ▲  ）

A．30                   B．36                C．42               D．48

5．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（  ▲  ）

A．           B．

C．           D．

6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（  ▲  ）

A．192里                B．148里             C．132里             D．124里

7. 已知圆C：和两点、，若圆C上存在点M，满足MA⊥MB，则实数的取值范围是（  ▲  ）

A．[4，7]                B．[3，7]              C．[3，5]             D．（3，5）

8. 双曲线方程为为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于点和点，满足，则该双曲线的离心率为（  ▲  ）

A．                B．                C．           D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知双曲线C：，则（  ▲  ）

A. 双曲线C的离心率为                    B. 双曲线C的虚轴长为

C. 双曲线C的焦点坐标为                D. 双曲线C的渐近线方程为

10. 下列说法中，正确的有（  ▲  ）

A. 直线在y轴上的截距是2

B. 直线与平行，则实数的值为1

C. 若点A(5，－2)和点B(m，n)关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3

D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为

11．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（  ▲  ）

A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列

B．若数列为等比数列，则 

C．若数列为等差数列，则数列成等差数列

D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为15

12．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点．若弦AB过F(0，1)，则下列说法正确的有（  ▲  ）

A．点P在直线y＝－1上                        B．存在点P，使得

C．AB⊥PF                                    D．△PAB面积的最小值为4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为     ▲     ．

14. 在数列中，，则数列的通项公式为     ▲     ．

15. 曲线围成的图形面积是     ▲      ．

16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则      ▲      ；       ▲      ． (本小题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，△MNF的面积为3．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）求抛物线D的方程．

18．(本小题满分12分)

已知圆经过两点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．

19．(本小题满分12分)

在数列中，，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

20．(本小题满分12分)

已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点．

（1）若弦AB的中点为（2，2），求弦AB的直线方程；

（2）设，若，求证：直线AB过定点．

21．(本小题满分12分)

已知正项数列前项和为，且满足．

（1）求；

（2）令，记数列前项和为，若对任意的，

均有恒成立，求实数的取值范围．

22．(本小题满分12分)

换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.

例如，已知，，，求的最小值.其求解过程可以是：

设，，，

则，

所以当时取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.

已知平面内两定点，，一动点P到两个定点的距离之和为.

（1）  请利用上述求解方法，求出P点的轨迹方程；

（2）  已知点M（1，1），设点A，B在第（1）问所求的曲线上，直线MA，MB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论．

2022~2023学年度第一学期高二11月阶段测试

数学参考答案

一、单项选择题：

1、 C   2、B   3、A   4、C    5、D    6、A    7、B    8、C

二、多项选择题：

9、 ACD            10、BC          11、AC         12、ACD

三、填空题：

13、     14、    15、     16、 55；

四、解答题：

17．解：（1）由题意，双曲线C：的离心率为，

可得，解得，

所以双曲线C的渐近线方程为．………………………………………………5分

（2）由抛物线D：，可得其准线方程为l：，

代入渐近线方程得，所以，

则，解得，

所以抛物线D的方程为．   ………………………………………………10分

18．解：（1）由题知，所求圆的圆心为线段的垂直平分线和直线的交点．

线段的中点坐标为，直线的斜率，

所以，的垂直平分线的方程为．

解得圆心．半径．

所以，圆的标准方程为．…………………………………………6分

（2）由题意知圆心到直线的距离为，

当直线斜率存在时，设直线方程为，即．

所以，，解得所以，直线的方程为．

当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意．

所以，直线的方程为或．…………………………………………12分

19．解：（1）由已知得，

又数列是公比为4的等比数列.……………………………………5分

（2）由（1）知，

    ………………………………………………………12分

20．解：（1）由于（2，2）在抛物线开口之内，且不在x轴上，

直线l的斜率存在，设为k，且设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y12＝4x1，y22＝4x2，

两式相减可得（y 1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），

即k＝＝＝＝1，

则直线l的方程为y﹣2＝x﹣2，即y＝x，

检验直线l存在，且方程为y＝x；………………………………………………………6分

（2）证明：若直线l的斜率不存在，可得x＝x1，

代入抛物线方程y2＝4x，可得y1＝，y2＝，

则y1y2＝﹣4x1＝﹣16，即x1＝4，直线AB过（4，0）：

若直线l的斜率存在，设为k，当k＝0时，直线l与抛物线的交点仅有一个，

方程设为y＝kx+b，k≠0，

代入抛物线的方程消去x可得y2﹣y+b＝0，

可得y1y2＝，即有﹣16＝，

可得b＝﹣4k，直线l的方程为y＝k（x﹣4），则直线l恒过定点（4，0）．

综上，直线AB恒过定点（4，0）．……………………………………………………12分

21．解：（1）因为，当时，有，两式相减得

，移项合并同类项因式分解得

，因为，所以有，

在中，令得，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故有…………4分

（2）由（1）知，

∴，

∴，

∴，

∴   ………………………………………………………………………8分

由题意，对任意的，均有恒成立，

∴ ，即  恒成立，

设，则，

当n≤3时，，即 ；当n≥4时，，即，

∴的最大值为， ∴．

故m的取值范围是．………………………………………………………………12分

22．解：（1）设P（x，y），由题意知，

即，

令 ，

等式两边同时平方得

  ①          ②

①﹣②得 ，

即  ③  代入①中得

，整理可得，

故P点的轨迹方程为  ……………………………………………………5分

（2）设直线MA的方程为y＝k1x﹣k1+1，直线MB的方程为y＝k2x﹣k2+1，

由题知，所以，

所以，同理，，

所以k1，k2是方程的两根，所以k1k2＝1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y＝kx+m，

将y＝kx+m代入，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣3＝0，

所以 ①， ②，

所以 ③， ④，

又因为 ⑤，

将①②③④代入⑤，化简得3k2+4km+m2+2m﹣3＝0，

所以3k2+4km+（m+3）（m﹣1）＝0，所以（m+3k+3）（m+k﹣1）＝0，

若m+k﹣1＝0，则直线AB：y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1，此时AB过点M，舍去，

若m+3k+3＝0，则直线AB：y＝kx﹣3﹣3k＝k（x﹣3）﹣3，此时AB恒过点（3，﹣3），

所以直线AB过定点（3，﹣3）．……………………………………………………………12分