《高考总复习》数学 第五章 第4讲 数列的求和[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第五章 第4讲 数列的求和[配套课件]，共45页。PPT课件主要包含了数列求和，题组一走出误区，答案BCD，题组二，走进教材，答案A，题组三，真题展现，考点1，公式法求和自主练习等内容，欢迎下载使用。

1.(多选题)下列命题正确的是(
4.(2017 年全国Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
5.(2020 年江苏)设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列.已知数列{an＋bn}的前 n 项和 Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则 d＋q 的值是________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据题意 q≠1.等差数列{an}的前 n 项和公式为
等比数列{bn}的前 n 项和公式为
依题意 Sn＝Pn＋Qn，
故 d＋q＝4.故答案为 4.答案：4
1.(2020 年全国Ⅲ) 设等比数列{an} 满足 a1 ＋a2 ＝4，a3 －a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记 Sn 为数列{lg3an}的前 n 项和.若 Sm＋Sm＋1＝Sm＋3 ，求m.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，
2.(2019 年全国Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1
＝2，a3＝2a2＋16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和.
解：(1)设{an}的公比为 q，由题设得 2q2＝4q＋16，即 q2－2q－8＝0.
解得 q＝－2(舍去)或 q＝4.
因此{an}的通项公式为 an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得 bn＝(2n－1)lg22＝2n－1，
因此数列{bn}的前 n 项和为 1＋3＋…＋2n－1＝n2.
【题后反思】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
考点 2 分组求和法 师生互动[例 1](2020 年大数据精选模拟卷)已知正项等比数列{an}满足 a1＝2，a3a7＝322，数列{bn}的前 n 项和为 Sn＝n2－n.(1)求{an}与{bn}的通项公式；
解：(1)由题意，设正项等比数列{an}的公比为 q(q>0)，由－2(舍去)，则 an＝a1qn－1＝2n，n∈N*； 当 n≥2，n∈N* 时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2，
当 n＝1 时，b1＝S1＝12－1＝0＝2×1－2，所以 bn＝2n－2，n∈N*.(2)由(1)知，当 n 为奇数时，cn＝an，当 n 为偶数时，cn＝bn，则T2n＝c1＋c2＋…＋c2n＝c1＋c3＋…＋c2n－1＋c2＋c4＋…＋
【题后反思】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和法，即先分别求和，再将各部分合并.
【考法全练】(2020 年第一次在线大联考)已知数列{an}中，a1＝1 ，anan＋1＝2n，则{an}的前 200 项和 S200＝________. 解析：由 a1＝1，anan＋1＝2n得，a2＝2.当n≥2时，an－1an
为公比的等比数列；其偶数项是以 2 为首项，以 2 为公比的等
3×2100－3.答案： 3×2100－3(写为2100＋2101－3也得分)
裂项相消法 师生互动
[例 2](2017 年全国Ⅲ)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；解：(1) ∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减，得(2n－1)an＝2.
又因题设可得 a1＝2，满足上式，
[例 3](2019 年山东莱阳模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，对∀n∈N*，有2Sn＝a＋an.(1)求数列{an}的通项公式；
由①②两式相减得 an－an－1＝1(n≥2)， ∴数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，∴an＝n，n∈N*. (2)证明：由(1)得
【题后反思】常见的裂项公式：
错位相减法求和 多维探究
[例 4](2020 年全国Ⅰ)设{an}是公比不为 1 的等比数列，a1为 a2，a3 的等差中项.(1)求{an}的公比；(2)若 a1＝1，求数列{nan}的前 n 项和.解：(1)设{an}的公比为 q，a1为 a2，a3的等差中项， ∵2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0， ∵q≠1，∴q＝－2.
(2)设{nan}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①
【题后反思】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
【考法全练】(多选题)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，且 a2，a4，a8是一个等比数列中的相邻三项，记 bn＝anqan(q≠1)，则{bn}的
前 n 项和可以是(A.n
解析：设等差数列{an}的公差为 d，又 a1＝1，且 a2，a4，
a8 是一个等比数列中的相邻三项.
化简得 d(d－1)＝0，所以 d＝0 或 1，
故 an＝1 或 an ＝n，所以 bn＝q 或 bn ＝n·qn，设{bn}的前 n
①当 bn＝q 时，Sn＝nq；②当 bn＝n·qn 时，
Sn＝1×q＋2×q2＋3×q3＋…＋n×qn(1)， qSn＝1×q2＋2×q3＋3×q4＋…＋n×qn＋1(2)，(1)－(2)得(1－q)Sn＝q＋q2＋q3＋…＋qn－n×qn＋1＝
故选 BD.答案：BD
⊙并项法求和及倒序相加法求和
[ 例 5](1)(2020 年全国Ⅰ)数列{an}满足 an＋2＋(－1)nan＝
3n－1，前 16 项和为 540，则 a1＝ ________.
解析： an＋2＋(－1)nan＝3n－1，
当 n 为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当 n 为偶数时，an＋2＋
设数列{an}前 n 项和为 Sn，
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋ (a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7.
数，则数列{an}的通项公式为(A.an＝n－1C.an＝n＋1
)B.an＝nD.an＝n＋2
综上所述，an＝n＋1，所以 C 选项是正确的.答案：C【策略指导】倒序相加法应用的条件：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解.
【高分训练】1.(2020 年大数据精选模拟卷)已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 4Sn＝a＋2an (n∈N*)，设 bn＝(－1)n·
anan＋1，Tn为数列{bn}的前 n 项和，则 T20＝(　　)
作差得 an－an－1 ＝2，又 a1＝2 得 an＝2n， 则bn＝(－1)n·2n·2(n＋1)＝4(－1)n·n(n＋1)
所以 b1＋b2＝4[(－1)·1·2＋2·3]＝8·2，b3＋b4＝4[(－1)·3·4＋4·5]＝8·4，b5＋b6＝4[(－1)·5·6＋6·7]＝8·6，…，b19＋b20＝4[(－1)·19·20＋20·21]＝8·20，
一种思想：非等差、等比数列的一般数列求和，主要利用转化的思想，即将一般数列设法(如拆法、并项)转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成.
(2)对于{anbn}的数列，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数
列，求其前 n 项和时，用错位相减法.