《高考总复习》数学第八章第1讲空间几何体的三视图和直观图[配套课件]

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这是一份《高考总复习》数学第八章第1讲空间几何体的三视图和直观图[配套课件]，共56页。
1.空间几何体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到；
旋转体　(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯
形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到；
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到
1.(多选题)下列结论中错误的是(
A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分D.用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱答案：ABD
2.(必修2P19 第2 题改编)下列说法正确的是(
A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变.答案：D
3.(必修 2P29B 组第1 题改编)(2014 年天津)一个几何体的三视图如图 8-1-1 所示，则该几何体的体积为________.
解析：几何体为一个圆锥与一个圆柱的组合体.圆锥的高为2，底半径为 2；圆柱的高为 4，底半径为 1，
4.(2020 年全国Ⅲ)如图 8-1-2 为某几何体的三视图，则该几
解析：根据三视图的特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形如图 D58，图 D58
5.(2020 年全国Ⅱ)如图 8-1-3 是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M，在俯视图
中对应的点为 N，则该端点在侧视图中对应的点为(图 8-1-3
解析：根据三视图，画出多面体立体图形，如图 D59 所示，
易知在侧视图中所对应的点为 E，故选 A.
1.如图 8-1-4，模块①～⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大
正方体，则下列方案中，能够完成任务的为(
A.模块①②⑤C.模块②④⑤
B.模块①③⑤D.模块③④⑤
解析：观察题图易知，应先补齐中间一层，即用⑤补中间一层，然后用①和②补齐.答案：A
2.在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体形的 4 个顶点，这些几何形体是__________(写出所有正确结论的编号).
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析：如图 D60，四边形AA1C1C为矩形；三棱锥B1A1BC1就是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体.
3.如图815(1)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 8-1-5(2) 中的____________.
解析：在面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的投影是图 8-1-5(2)①；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图815(2)②；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图815(2)③.
几何体的三视图师生互动
[例 1](1)(2018 年全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图 8-1-6 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(
解析：若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则卯眼在木构件的左中下部，看不见，应该选 A.
(2)(2017 年全国Ⅰ)某多面体的三视图如图 8-1-7，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个
是梯形，这些梯形的面积之和为(图 8-1-7
解析：由题意可知，该几何体的直观图由一个三棱锥和三棱柱构成，如图 8-1-8，则该几何体只有两个相同的梯形的面，
则这些梯形的面积之和为 2×
(3)(2016 年全国Ⅰ)如图 8-1-9，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体
(4)(2020 年浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图 8-1-11
所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是(图 8-1-11
解析：由三视图可知，该几何体上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱(如图 8-1-12 所示)，所以该几何体的体积为
(5)(2020 年北京)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如
图 8-1-13 所示，该三棱柱的表面积为(图 8-1-13
解析：由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2 的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形，则其表面积为 S ＝
(6)(2019 年浙江)祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V柱体＝Sh，其中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图 8-1-14，则该柱体的体积
解析：由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，
【题后反思】(1)画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线.
(2)由三视图还原几何体的方法：
【考法全练】1.(2017 年全国Ⅱ)如图 8-1-15，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一
圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为(图 8-1-15
解析：构造相同的几何体互补成一个底面半径为 3，高为
其体积为π×32×14＝126π，所以该几何体的体积为 63π.
2.某三棱锥的三视图如图 8-1-16 所示，则该三棱锥的体积
等于________.
解析：根据三视图可知，该三棱锥，如图 D61 所示，图 D61
几何体的直观图多维探究
[例 2](1)如图 8-1-17 是梯形 ABCD 用斜二测画法画出的直观图，已知直观图中，|A1B1|＝4，四边形B1C1D1E1是菱形且
∠B1E1D1＝45°，则梯形ABCD的面积等于(　　)图 8-1-17
(2)已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ABC 的平面直观
图A′B′C′的面积为(　　)
解析：如图 8-1-18 中(1)(2)所示的实际图形和直观图.图 8-1-18
【题后反思】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则.本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶点在 y′轴上，长度为原高的一半，但它还不是高(夹角为45°)，
【考法全练】(2020 年大数据精选模拟卷)某几何体的正视图和侧视图如图8119中(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图8119中(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为
解析：由几何体的三视图可知该几何体为一个四棱柱.因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，所以俯视图的直观图的面积为 12，由平面图形的直观图与原图
形面积的关系可知俯视图的面积为 24
为 6 的菱形，又几何体的高为 4 ，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选 C.
⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误[例 3](1)在如图 8-1-20 所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分
错解：由已知该几何体正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别为(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一实线，故正视图为图①，俯视图是一斜三角形，三个顶点坐标分别为(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图为图②.
错因分析：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置.(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图.(3)受思维定式的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择.
解析：在空间直角坐标系中，构建棱长为 2 的正方体，如图 8-1-21 所示，设 A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选 D.
【策略指导】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图.另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误.
(2)刍甍是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图 8-1-22 为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建
它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为(图 8-1-22
解析：刍甍即为茅草屋顶，从俯视图可以看出该茅草屋顶由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.需要的茅草面积即为该几何体的侧面积，即两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形的面积.其中等腰梯形的上底长为 4，下底
【策略指导】应注意侧面等腰三角形、等腰梯形的高以及该几何体的高，这三者不一样，侧面等腰三角形的高可以在正视图中利用勾股定理求解，侧面等腰梯形的高可以在侧视图中求解，转化的基本思路就是把空间问题转化为平面问题进行求解.
【高分训练】现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图8-1-23(1)、(2)、(3)，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是________.
(2)图 8-1-23
解析：编号为①的三棱锥，其直观图可能是图 D62(1)，侧棱 VC⊥底面 ABC，则侧面 VAC⊥底面 ABC，满足题意；
编号为②的三棱锥，其直观图可能是图 D62(2)，侧面 PBC
⊥底面 ABC，满足题意；
编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上，如图
D62(3)，不存在侧面与底面垂直.
故答案为(1)(2).
一条口诀：三视图的画法特征.“长对正、高平齐、宽相等”，即正视图和俯视图一样长，正视图和侧视图一样高，侧视图和俯视图一样宽.
两点提醒：画三视图应注意的问题.(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.
(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，