《高考数学二轮满分突破讲义》专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系

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考点一 空间线、面位置关系的判定
核心提炼
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．
例1 (1)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是( )
A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ
B．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c
C．若α∩β＝a，b∥a，则b∥α
D．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a
答案 A
解析 A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，
则a⊥γ，该说法正确；
B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，
在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，平面PAC，平面PBC，
交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误；
C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b⊂α，不满足b∥α，该说法错误；
D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，
正方体ABCD－A1B1C1D1中，令平面α，β分别为平面ABCD，平面ADD1A1，交线a为AD，
当直线b为A1C1时，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误．
(2)(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案 B
解析 如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝eq \r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝eq \f(\r(3),2)，CP＝eq \f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq \r(7)，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．
易错提醒 (1)定理中的条件理解不全面．
(2)直接将平面几何中的结论引入到立体几何中．
跟踪演练1 (1)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
答案 A
解析 对于选项A，由n∥β，α∥β可得n∥α或n⊂α，
又m⊥α，所以可得m⊥n，故A正确；
对于选项B，由条件可得m⊥n或m∥n，或m与n既不垂直也不平行，故B不正确；
对于选项C，由条件可得m∥n或m，n相交或m，n异面，故C不正确；
对于选项D，由题意得m⊥n，故D不正确．
(2)(多选)如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
答案 ABC
解析 由三角形的中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ∥BD，MQ＝
eq \f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq \f(1,2)BD，所以MQ＝NP，MQ∥NP，所以四边形MNPQ是平行四边形，故D说法不正确．
考点二 空间平行、垂直关系
核心提炼
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
例2 (2020·山西省长治第二中学月考)如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE.
证明 (1)如图，AC∩BD＝O，连接OE，
在△PAC中，O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE.
∴PA∥平面BDE.
(2)∵PO⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE.
考向2 翻折问题
例3 (2020·莆田第一联盟体联考)如图，正方形ABCD的边长为2eq \r(2)，以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PA＝PB.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若M是PC的中点，设eq \(PN,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))(0