福建省福州市长乐区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市长乐区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，属于中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为
A．2，B．2，3C．2，1D．，
3．如图，点，，在上，，则的度数为
A．B．C．D．
4．抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
5．将函数化为的形式正确的是
A．B．C．D．
6．建设美丽城市，改造老旧小区，某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，设每年投入资金的平均增长率为，则下列所列方程正确的是
A．B．
C．D．
7．如图，为的直径．弦于点，，，则的值为
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中．将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标为
A．B．C．D．
9．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：与飞行时间（单位：具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为
A．B．C．D．
10．已知，为抛物线上的两个不同点，若，则的取值范围为
A．B．或C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为 ．
13．将抛物线绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为 ．
14．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是 ．（填“相交”“相切”或“相离”
15．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为 ．
16．如图，将绕点顺时针旋转得到，边，相交于点，连接．下列结论：
①；
②平分；
③；
④．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解方程：．
18．（8分）已知关于的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根．
19．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）若﹣1≤x≤3时，则y的取值范围是 ．
20．（8分）如图，在中，，，的半径为3．
求证：是的切线．
21．（8分）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
22．（10分）某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量（件与当天的销售单价（元件）满足的函数关系为，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元件．
（1）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润．
23．（10分）如图，在中，．
（1）求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长．
24．（12分）如图1，在等边三角形中，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交射线于点，交射线于点，使．
（1）如图2，当点与点重合时，求证：为中点；
（2）当点在边上时，求与之间的数量关系；
（3）当点在延长线上时，（2）中的结论是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
25．（14分）如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为．点在抛物线上（不与，重合），连接，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若的面积为，求点的坐标；
（3）设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：．
2022-2023学年福建省福州市长乐区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
2．【解答】解：，
移项得：，
此时常数项为1，
二次项系数为：2，一次项系数为：，
故选：．
3．【解答】解：，，
．
故选：．
4．【解答】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
5．【解答】解：
．
故选：．
6．【解答】解：每年投入资金的平均增长率为，
根据题意得，
故选：．
7．【解答】解：是的直径，
（厘米），
弦，
（厘米），
在中，（厘米），
（厘米），
（厘米）．
故选：．
8．【解答】解：观察图象可知．
故选：．
9．【解答】解：依题意，令得，
得，
解得（舍去）或，
即小球从飞出到落地所用的时间为，
故选：．
10．【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，为抛物线上的两个不同点，且满足，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，即，
解得或．
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，
11．【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是．
故答案为：．
12．【解答】解：把代入可得，
解得，
故答案为：7．
13．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
由于抛物线绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为，并且开口方向相反，
则所得抛物线解析式为．
故答案为：．
14．【解答】解：作于点，
，，
，
的半径是，
等于圆的半径，
，
与相切，
故答案为：相切．
15．【解答】解：设圆锥的母线长为，则半圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为：6．
16．【解答】解：如图，设、相交于，过作于，于，如图：
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，故①正确；
将绕点顺时针旋转得到，
，
，，
（全等三角形对应边上的高相等），
，
，
，
，即，故③正确；
将绕点顺时针旋转得到，
，
，即，故④正确；
不能证明，故②错误，
正确的有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解答】解：移项，得
，
配方，得
，即，
开方，得
．
解得，．
18．【解答】证明：一元二次方程，
△，
方程总有两个实数根．
19．【解答】解：（1）如图，
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣4），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝0，
将x＝3代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝0，
∴﹣1≤x≤3时，﹣4≤y≤0．
故答案为：﹣4≤y≤0．
20．【解答】证明：如图，过作于，
，，
，
在中，，
的半径为3，
为的半径，
是的切线．
21．【解答】解：（1）在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
．
（2），，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
．
22．【解答】解：（1）根据题意，得，
整理，得，
解得，，
销售单价最高不能超过60元件，
，
答：销售单价定为40元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元；
（2）设销售利润为元，
则，
，且销售单价最高不能超过60元件，
当时，取最大值为：18000，
故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元．
23．【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）连接，如图，
，，，
，
，
为的直径，
，
平分，
，
，
为等腰直角三角形，
．
24．【解答】（1）证明：如图2中，
是等边三角形，
，，
点与重合，
，，重合，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，即为中点；
（2）解：如图1中，在上取一点，使得．连接交于点．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
；
（3）结论成立．
理由：如图3中，在上取一点，使得．连接交于点．
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
25．【解答】（1）解：抛物线与轴交于点，，
抛物线解析式为，
即．
（2）解：过点作轴交直线于，如图，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
的面积为，
，
整理得，
解得，，
或．
（3）证明：设，
，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
，，
．