2022-2023学年吉林省长春市南关区博硕学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南关区博硕学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数轴上表示下列四个数中，在和之间的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  预计到年，中国用户将超过将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是某个几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 三棱柱
B. 圆柱
C. 六棱柱
D. 圆锥

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从上取一点，取，已知米，，点，，在同一直线上，那么开挖点离点的距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  已知▱，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  比较大小：          填入“”或“”号．

10.  分解因式：        ．

11.  一元二次方程根的判别式的值为______ ．

12.  已知，一个含有角的三角板按照如图所示位置摆放，则的度数为          ．

 

13.  如图，等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若，，则的长为______ ．

14.  已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  以下是小鹏化简代数式的过程．
解：原式


小鹏的化简过程在第______ 步开始出错，错误的原因是______ ．
请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字、、，乙袋中三个小球上分别标有数字、、，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为的倍数的概率．

17.  本小题分
为迎接五一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用元采购种服装的件数与用元采购种服装的件数相等，种服装每件的进价比种服装多元，求种服装每件的进价．

18.  本小题分
如图，为直径，点是上任意一点不与点、重合，以、为邻边的平行四边形的顶点在外．
当与相切时，求的大小．
若的半径为，，直接写出的长．

19.  本小题分
如图，在的格点图中，为格点三角形，即顶点、、均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹；
请在图中边上找一点，使；
请在图中内部不含边界找一点，使．

20.  本小题分
如图，和是水面上相邻的两条赛道看成两条互相平行的线段甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道上从处出发，到达后，以同样的速度返回处，然后重复上述过程；乙在赛道上以的速度从处出发，到达后以相同的速度回到处，然后重复上述过程不考虑每次折返时的减速和转向时间若甲、乙两人同时出发，设离池边的距离为，如图表示甲到池边的距离与运动时间的函数图象．
赛道的长度是______，甲的速度是______；
当时，求甲到池边的距离与的函数关系式．
第三次相遇时，两人距池边多少米．
 

21.  本小题分
【探究】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，在矩形中，：为对角线，，、分别为边、上的点，连结、，分别将和沿、翻折，使点、的对称点、都落在上，求证：四边形是平行四边形．”以下是两名学生的解题方法：
甲学生的方法是：首先由矩形的性质和轴对称的性质证得，，，，易得，可得≌，由平行四边形的判定定理可得结论．
乙学生的方法是：不利用三角形全等知识，依据平行四边形的定义证明．
甲学生证明四边形是平行四边形所用的判定定理的内容是______．
用乙学生的方法完成证明过程．
【应用】当学生们完成证明后，老师又提出了一个问题：
若四边形是菱形，则的值为______．

22.  本小题分
如图，在中，，，，点从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动当点不与点、重合时，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，以、为边作矩形点恰好落在直线上，设矩形与重叠部分的图形面积为平方单位，点的运动时间为秒．
证明矩形的周长是一个定值．
当矩形为正方形时，求的值．
在整个运动过程中，存在全等三角形时，求的值．
矩形的对角线和的交点为，作点关于直线的对称点，当与的边平行或者垂直时，直接写出此时的值．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、为常数经过点和点，点在此抛物线，点的横坐标为，点不与、重合．
求此抛物线所对应的函数表达式．
当，求点的坐标．
作点关于抛物线对称轴的对称点为点，当点到直线的距离是点到轴距离倍时，求的值．
设点的坐标为，点的坐标为，连接当抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段有个公共点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在和之间的数是．
故选：．
分别确定选项中的数的范围，即可求解．
本题考查有理数的大小比较；熟练掌握有理数的大小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】
解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图及左视图分析可知为六棱柱，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：、，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算正确；
D、，故原题计算错误；
故选：．
根据同底数幂的乘法运算法则和除法运算法则，积的乘方的性质、幂的乘方的性质进行计算即可．
此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，关键是掌握计算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在数轴上表示为：．
故选：．
首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
是直角三角形，
米，
开挖点离点的距离米．
故选：．
根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据余弦定理列出算式，求出点离点的距离即可．
本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由作法可知平分，所以，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项不符合题意；
C、无法证明，故本选项符合题意；
D、，，，，故本选项不符合题意．
故选：．
根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得，的长是解题关键．过点、点作轴的垂线，垂足为，，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出，，，然后根据三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，，则，


，
是的中线，
，
设，则，
的横坐标为，的横坐标为，
，，
，
，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．
本题考查了实数比较大小，被开方数越大，算术平方根越大．
【解答】
解：，，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为．
把，，代入中计算即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过直角顶点作，

，
，
，，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线．
 

13.【答案】 

【解析】解：把沿直线翻折，使点的对应点恰好落在上．若，
，
等边，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案时：．
根据等边三角形的性质和翻折得出，进而得出是直角三角形，利用含的直角三角形的性质解答即可．
此题考查翻折的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质和翻折得出，进而得出是直角三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，，
时，，
解得或舍，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，令求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系掌握二次函数求最值的方法．
 

15.【答案】  完全平方公式运用错误 

【解析】解：小鹏在第步开始出错，，错误的原因是完全平方公式运用错误．
故答案为：，完全平方公式运用错误．


．
当时，原式．
从第步开始核对计算结果，可发现错在，即完全平方公式运用错误；
将原式按照完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的法则展开并合并同类项，再将代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图所示：
，
小明摸出的两个小球上的数字之和为的倍数． 

【解析】画树状图得出所有种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

17.【答案】解：设种服装每件的进价为元，由题意可得：
，
解得：，
经检验得：为原方程的解，且符合题意，
答：种服装每件的进价为元． 

【解析】直接根据题意表示出采购、种服装的件数，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

18.【答案】解：连接，如图所示：

与相切，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
连接，如图所示：

为直径，
，
，
，
，
，
的长． 

【解析】连接，由切线的性质得出，由平行四边形的性质得出，得出，则是等腰直角三角形，即可得出；
连接，由圆周角定理得出，证出，得出，由圆周角定理得出，再由弧长公式即可得出答案．
本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】利用网格特征作出的中点，连接即可；
利用网格特征作出，的中点，，连接，在上取一点，连接，即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】   

【解析】解：由图象，得赛道的长度是：米，
甲的速度是：．
故答案为：，．
当时，设，
将，代入，
得，
解得，
则．
设经过 后两人第三次相遇，则  得，
第三次相遇时，两人距池边有
由函数图象可以直接得出赛道的长度为米，由路程时间速度就可以求出甲的速度．
先根据图象的形状，可判断出甲在时，都是的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解．
由速度与时间的关系就可以求出结论．
本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数，以及分段函数的图象及其应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，以及数形结合的思想与方法．
 

21.【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形  

【解析】解：【探究】四边形是矩形，
，，
由翻折可知：，，，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．

【应用】四边形是菱形，
，
由翻折可知：，
，
，

．
故答案为．
【探究】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
想办法证明，即可；
【应用】利用菱形的性质、翻折不变性、矩形的性质证明即可；
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，
矩形的周长，
故矩形的周长是一个定值，值为；
矩形为正方形时有：．
，
，
，
点从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．
令与交点为，与交点为，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，，，，
，
，
，，
四边形为矩形
，，
，，
，
∽，
，
，


当≌时，
≌，
，
，
，解得，
把代入中，得
当≌时
∽，，
该种情况舍去．
当≌时，
≌，
，
，
解得代入中得．
综上当时，；当时，；
当时，如下图，

点关于直线的对称点是，
当时，点、、三点共线，令与交点为，
四边形为矩形，
、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
根据可知解得，
当时，如下图，

连接交于点，延长交于点、延长交于点，则有，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
∽，
，，，
，
，
见
，
点关于直线的对称点为，
，
∽，
，
，
∽，
，
，解得．
当时，如下图，

连接交于点，延长交于点、延长交于点，则有．
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
∽，
，，，
，
，
见
，
点关于直线的对称点为，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
等式不成立，故舍去．
综上或． 

【解析】矩形的周长；
矩形为正方形时有，根据题意即可解答；
注意分类讨论，先求出关于的函数，再分别解当≌时、当≌时、当≌时的值，代入函数中即可求解；
注意分类讨论，当时、当时、当时，分别列出关于的等式，解出方程即可．
本题属于四边形综合题，考查了三角函数、勾股定理、三角形全等的性质、三角形相似的判定及性质、矩形的判定及性质、二次函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：把点和点代入到抛物线中得：，
，
抛物线解析式为；

，，
，，
；
，
，
，
，
点的坐标为或；


抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
点与点关于抛物线对称轴对称，
点的坐标为，
直线的解析式为，
由题意得，点的坐标为，
点到轴的距离为，点到直线的距离为，
点到直线的距离是点到轴距离倍，
，
或，
或，
解得或；

如图所示，当时，则，即点在点的右边，

在中，当时，
，
解得或，
抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段有个公共点，
，
解得；
当时，，，
此时抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段没有公共点；
当时，，，
如图所示，此时满足抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段有个公共点；
综上所述，当或时，抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段有个公共点．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先求出，，进而求出；再由，得到，据此求解即可；
先求出抛物线对称轴为直线，则点的坐标为，即可得到直线的解析式为，由题意得，点的坐标为，则点到轴的距离为，点到直线的距离为，再由点到直线的距离是点到轴距离倍，得到，解方程即可得到答案；
分如图所示，当时，则，即点在点的右边，在要满足点在直线上或上方，且点在直线与抛物线右侧交点的右边，右侧建立不等式求解即可；当时，，，此时抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段没有公共点；当时，，如图所示，此时满足抛物线在、两点之间的部分包含、两点与线段有个公共点．
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，点到坐标轴的距离，二次函数与轴的交点问题，灵活运用所学知识是解题的关键．