2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）

4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（　　）

A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13

5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是（　　）

A．100° B．105° C．80° D．110°

6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．7200×（1+x2）＝8450 B．7200+2×7200x＝8450 

C．7200×（1+x）2＝8450 D．7200×（1+x+x2）＝8450

7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（　　）

A．22° B．23° C．24° D．25°

8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（　　）

A．在x轴上方 B．在x轴下方 C．在y轴右侧 D．在y轴左侧

9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）

A．若y1＞0，则y2y3＜0 B．若y2＞0，则y1y4＜0 

C．若y3＜0，则y1y2＞0 D．若y4＜0，则y2y3＞0

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（　　）

A．19 B．20 C．14 D．15

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点是　   　．

12．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　   　．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝1，则AB的长为 　   　．

14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是 　   　m．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：

①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 　   　．（填写序号）

16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为 　   　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．

18．（8分）如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；

（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；

（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；

（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；

（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标．

21．（8分）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB＝90°，，OE与弦CD垂直于点E．

（1）求⊙O的半径；

（2）求OE的长．

22．（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：

（1）①用含x的式子表示篱笆DE的长为 　   　m，x的取值范围是 　   　；

②菜园的面积能不能等于90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．

（2）求菜园面积S的最大值．

23．（10分）提出问题：

如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝120°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？

探究问题：

（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；

（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

解决问题：

（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．若∠ADC＝135°，记AD＝a，BD＝b，CD＝c，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系．

24．（12分）将抛物线y＝4x2﹣8x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线y＝kx+2（k≠0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．

（1）直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标；

（2）用字母S表示三角形的面积，若2S△AOD﹣S△BOD＝1．请补充图1，求k的值；

（3）若点P在直线y＝﹣2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图2，求证：OM与ON的积是定值．

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．3，﹣6 B．3，6 C．3，﹣1 D．3x2，﹣6x

【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x﹣1＝0，

则二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，

故选：A．

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：D．

3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）

【解答】解：

∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，

∴顶点坐标为（1，﹣2），

故选：B．

4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（　　）

A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝13

【解答】解：方程移项得：x2+6x＝﹣4，

配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．

故选：C．

5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是（　　）

A．100° B．105° C．80° D．110°

【解答】解：∵∠B＝100°，

∴∠ADE＝100°．

故选：A．

6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．7200×（1+x2）＝8450 B．7200+2×7200x＝8450 

C．7200×（1+x）2＝8450 D．7200×（1+x+x2）＝8450

【解答】解：设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，

由题意得7200（1+x）2＝8450．

故选：C．

7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（　　）

A．22° B．23° C．24° D．25°

【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，

∴AB＝AB'，

∴∠ABB'＝∠AB'B，

∵AB′＝CB′，

∴∠C＝∠B'AC，

∴∠AB'B＝2∠C＝∠ABB'，

∵∠BAC＝105°，

∴∠C+∠ABB'＝75°，

∴∠C＝25°

故选：D．

8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（　　）

A．在x轴上方 B．在x轴下方 C．在y轴右侧 D．在y轴左侧

【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，

∵顶点的横坐标为，纵坐标为，a＞0，

∴0，不能确定正负，

∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上方，

故选：A．

9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）

A．若y1＞0，则y2y3＜0 B．若y2＞0，则y1y4＜0 

C．若y3＜0，则y1y2＞0 D．若y4＜0，则y2y3＞0

【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∵1﹣（﹣3）＞4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，

∴y1＞y4＞y2＞y3，

A选项中，若y1＞0，则y2y3＞0，错误，不符合题意．

B选项中，若y2＞0，由y1＞y4＞y2＞0能判断y1y4＞0，错误，不符合题意．

C选项中，若y3＜0，由y1＞y4＞y2＞0不能判断y1y2＞0，错误，不符合题意．

D选项中，若y4＜0，由y1＞y4＞y2＞y3能判断y2y3＞0符号，正确，符合题意．

故选：D．

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（　　）

A．19 B．20 C．14 D．15

【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，

∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，

∴a2＝a+1，b2＝b+1，

则2a5﹣5a+3b3﹣b+1

＝（2a5﹣2a）+（3b3﹣3b）﹣3a+2b+1

＝2a（a4﹣1）+3b（b2﹣1）﹣3a+2b+1

＝2a[（a+1）2﹣1]+3b（b+1﹣1）﹣3a+2b+1

＝2a（a2+2a）+3b2﹣3a+2b+1

＝2a（3a+1）+3（b+1）﹣3a+2b+1

＝6a2+2a+3b+3﹣3a+2b+1

＝6a+6+2a+3b+3﹣3a+2b+1

＝5a+5b+10

＝5（a+b）+10

＝5+10

＝15．

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点是　（﹣2，1）　．

【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

∴点A（2，﹣1）关于原点过对称的点的坐标是（﹣2，1）．

故答案为（﹣2，1）．

12．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　4　．

【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，

解得m＝4．

故答案为4．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝1，则AB的长为 　17　．

【解答】解：连接OC，如图，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DECD＝4，

设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OC＝r，

在Rt△OCE中，42+（r﹣1）2＝r2，解得r＝8.5，

∴AB＝17．

故答案为17．

14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是 　5　m．

【解答】解：以点B为原点，以BD所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

设EC＝h，则A（0，3.2），D（8，0），E（3，h），

设抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，

把点A（0，3.2），D（8，0），代入得：

，

解得：，

∴抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m，

故答案为：5．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下列四个结论：

①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 　②③　．（填写序号）

【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴ab＜0，

又∵c可以大于0，也可以小于0，

∴①不正确，

②∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，ac＜0，

∴b＝a+c，

∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣2ac＝（a﹣c）2＞0．

故②正确；

③∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，

∴抛物线的对称轴是x，

∴x1+x2，

∴当x＝x1+x2时，y＝a（）2+b（）+c＝c．

故③正确．

故答案为：②③．

16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值为 　3　．

【解答】解：由图2可知，当点F运动到点B时，

y•AB•AD＝2.5，即AB•AD＝5，

当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD＝6cm，

解得：AB＝5cm，AD＝1cm，

当x＝3时，如图，AF＝xcm，

m•AF•EM3×1cm2；

当x＝n时，点E在CD上，点F在BC上，如图，

此时，EC＝（6﹣n）cm，CF＝（6﹣n）cm，BF＝（n﹣5）cm，

∴y•（6﹣n+5）•1（n﹣5）•（6﹣n）2；

解得n＝3，或n＝3（舍）．

故答案为：3．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．

【解答】解：x2﹣x﹣3＝0，

∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，

Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，

∴方程有两个不等的实数根，

∴x，

则x1，x2．

18．（8分）如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

【解答】证明：∵，

∴AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形

∵∠ACB＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝CA

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA．

19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；

（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；

（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

【解答】解：（1）将点（﹣1，0）和（3，0）代入函数解析式，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴函数开口向下，对称轴为直线x＝1，

∴x≥1时，y随x的增大而减小．

（3）由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，

∴﹣x2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3．

（4）由图象开口向下，对称轴为直线x＝1知，

当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，

∴当x＝1时，y最大值＝﹣1+2+3＝4，当x＝3时，y最小值＝﹣32+2×3+3＝0，

∴当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．

20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的两个端点都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；

（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；

（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，直接写出P的坐标．

【解答】解：（1）图1中，CD即为所求；C的坐标为（3，﹣2）；

（2）图1中，EF即为所求；E的坐标为（﹣2，﹣3）；

（3）①如图2中，点P即为所求，此时B对应H，A对应G，

∵B（0，3），H（3，1），

∴BH的中点J（，2），AG的中点K（，2），

∴KJ＝3，

∵∠PJK+∠BJG＝90°，∠BJG+∠OBH＝90°，

∴∠PJK＝∠OBH，

∴tan∠PJK＝tan∠OBH，

∴PK＝JK•tan∠PJK，

∵2，

∴P（，）．

②如图3中，点P即为所求，此时B与G对应，A与H对应．

同法可得P（，）．

综上所述：P（，）或（，）．

21．（8分）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB＝90°，，OE与弦CD垂直于点E．

（1）求⊙O的半径；

（2）求OE的长．

【解答】解：（1）如图，连接AB.

∵∠ACB＝90°，

∴AB是直径，

∴AB2，

∴⊙O的半径为．

（2）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥CA交CA的延长线于点N，连接BD，DN，OD．

∵，

∴AD＝BD，∠DCA＝∠DCB，

∵DM⊥CB，DN⊥CN，

∴∠N＝∠CMD＝90°，

在△CDM和△CDN中，

，

∴△CDM≌△CDN（AAS），

∴CM＝CM，DN＝DM，

在Rt△DNA和Rt△DMB中，

，

∴Rt△DNA≌Rt△DMB（HL），

∴AN＝BM，

∴AC+CB＝CB﹣AN+CM+BM＝2CM＝6，

∴CM＝3，

∵∠MCD＝45°，

∴CD＝3

∵OE⊥CD，

∴EC＝DE，

在Rt△OED中，OE．

22．（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下面的问题：

（1）①用含x的式子表示篱笆DE的长为 　22﹣2x　m，x的取值范围是 　5≤x＜11　；

②菜园的面积能不能等于90m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．

（2）求菜园面积S的最大值．

【解答】解：（1）①∵AC＝3，CD＝x，

∴EF＝AC+CD＝3+x，

∴DE＝23﹣CD﹣EF+2＝23﹣x﹣（3+x）+2＝23﹣x﹣3﹣x+2＝22﹣2x，

∵0＜22﹣2x≤12，

∴5≤x＜11，

故答案为：22﹣2x，5≤x＜11；

②菜园的面积能等于90m2，

根据题意，得：（3+x）（22﹣2x）＝90，

整理得：x2﹣8x+12＝0，

解得：x1＝2，x2＝6，

∵5≤x＜11，

∴x＝6，

答：当x＝6m时，菜园的面积为90m2；

（2）由题意，得：S＝（3+x）（22﹣2x）＝﹣2x2+16x+66＝﹣2（x﹣4）2+98，

∵﹣2＜0，

∴当x＞4时，S随x的增大而减小，

∵5≤x＜11，

∴当x＝5时，S有最大值，最大值＝﹣2（5﹣4）2+98＝96，

答：菜园面积S的最大值为96m2．

23．（10分）提出问题：

如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝120°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？

探究问题：

（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间的数量关系；

（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

解决问题：

（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．若∠ADC＝135°，记AD＝a，BD＝b，CD＝c，补充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系．

【解答】解：（1）如图1，

BF＝AFCF，理由如下：

作CG⊥DE于G，

∵CD＝CE，

∴DE＝2DG，∠DCG∠DCE＝60°，

∴DE＝2DG

＝2•（CF•sin60°）

CF，

∵∠DCE＝∠ACB＝120°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CF＝CE，

AC＝CB，

∴△ACF≌△BCE（SAS），

∴AF＝BE，

∴BF＝BE+DE

＝AFCF；

（2）证明：如图2

由（1）知，

△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠DAC＝∠DBE，

∵∠α＝∠β，

∴∠AFB＝∠BCF＝120°，

∴∠DFE＝180°﹣∠AFB＝180°﹣120°＝60°，

∴∠DFE+∠DCE＝60°+120°＝180°，

∴点F、D、C、E共圆，

∴∠FEC+∠FDC＝180°，

∵CD＝CE，

∴，

∴∠DFC＝∠CFE＝30°，

将△CEF绕点C逆时针旋转120°知△CDG，

∴CG＝CF，

DG＝EF，

∠G＝∠CFE＝∠DFC＝30°，

∠GDC＝∠FEC，

∴∠GDC+∠FDC＝180°，

∴F、D、G在同一条直线上，

由（1）知，

FGCF，

∴BF＝BE+EF

＝AD+DG

＝（AF+DF）+DG

＝AF+（DF+DG）

＝AF+FG

＝AF；

（3）如图3，

将△ACD绕点C顺时针旋转90°至△ECB，

∴∠CEB＝∠ADC＝135°，

BE＝AD＝a，

∠CDE＝90°，

CE＝CD＝c，

∴∠CED＝∠CDE＝45°，

∴DECD，

∠DEC＝∠CEB﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，

∴BD2＝DE2+BE2

∴b2＝（c）2+a2

＝2c2+a2．

24．（12分）将抛物线y＝4x2﹣8x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线y＝kx+2（k≠0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．

（1）直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标；

（2）用字母S表示三角形的面积，若2S△AOD﹣S△BOD＝1．请补充图1，求k的值；

（3）若点P在直线y＝﹣2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图2，求证：OM与ON的积是定值．

【解答】解：（1）∵y＝4x2﹣8x+7＝4（x﹣1）2+3，

∴向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C的解析式为：y＝4（x﹣1+1）2+3﹣3，即y＝4x2，

在y＝kx+2中，令x＝0得y＝2，

∴D（0，2）；

（2）补充图如下：

由得4x2﹣kx﹣2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是4x2﹣kx﹣2＝0的二实数根，

∴x1+x2①，x1•x2②，

∵2S△AOD﹣S△BOD＝1，

∴2OD•（﹣x1）OD•x2＝1，即﹣2x1﹣x2＝1③，

由③得x2＝﹣2x1﹣1，

代入②得：x1•（﹣2x1﹣1），

解得x1或，

∵x1＜0，

∴x1，

∴x2＝﹣21，

将x1，x2代入①得：k3；

（3）补充图形如下：

由得4x2﹣kx﹣2＝0，

设A（x1，kx1+2），B（x2，kx2+2），则x1、x2是4x2﹣kx﹣2＝0的二实数根，

∴x1+x2，x1•x2，

设P（m，﹣2），直线PA为y＝tx+b，

则，消去t得b，

∴直线PA与y轴交点M（0，），

∴OM＝||，

同理可得ON＝||，

∴OM•ON＝||•||

＝|•|

＝||，

而x1+x2，x1•x2，

∴OM•ON＝||

＝||

＝||

＝4，

∴OM与ON的积是定值4．