安徽省合肥市第五十中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份安徽省合肥市第五十中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥五十中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）22．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点3．（4分）如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝4．（4分）如图，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP．以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP•AB D．＝5．（4分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（　　）A．54 B．36 C．27 D．216．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）A． B． C． D．8．（4分）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（　　）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：89．（4分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　）A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜210．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边作等边△ADC，CD交斜边AB于E，若CE＝2DE，则BC：AC的值（　　）A．1：1 B．3：4 C．：2 D．：2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若a：b＝1：2，则（a+b）：b＝　   　．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 　   　．13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 　   　．14．（5分）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣3的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是 　   　．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知某抛物线过点A（2，0），对称轴为x＝4，顶点在直线y＝x﹣1上，求此抛物线的解析式．16．（8分）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，求EF的长．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D、F，H都是格点，AB与CD相交于O，AH与CD相交于E，求AO与BO的比值．18．（8分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）它与x轴交点的坐标为 　   　，顶点坐标为 　   　；（2）在下面的坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t为实数）在0＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　   　.（直接写出结果）20．（10分）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE．（1）求证△AED∽△CBD；（2）已知△BDC的面积为，求BD长．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．七、（本题满分12分）22．（12分）如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
2022-2023学年安徽省合肥五十中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y＝x2+3．故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．2．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y＝a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣b2a，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．3．（4分）如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．【解答】解：∵DF∥AC，∴＝，∵DE∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，∴DE＝CF，∴＝，故A正确；∵DE∥BC，∴＝，故B正确；∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，故C错误；∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，∴＝，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．4．（4分）如图，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP．以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．AC2＝AP•AB D．＝【分析】根据题目中各个选项可以判断哪个选项中的说法是错误的，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC，故选项A正确；∵∠APC＝∠ACB，∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC，故选项B正确；∵AC2＝AP•AB，∴，又∵∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC，故选项C正确；∵，但未说明∠ACP＝∠ABC，∴不能判断△ACP∽△ABC，故选项D错误；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是明确相似三角形的判定．5．（4分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（　　）A．54 B．36 C．27 D．21【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周长是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．6．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】首先求出抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）A． B． C． D．【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．8．（4分）△ABC的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若∠B＝∠FAC，BD＝AC，∠BDE＝∠C，则根据图中标示的长度，求四边形ADEF与△ABC的面积比为何？（　　）A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8【分析】证明△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF•CB，推出AC＝4，可得＝＝，推出S△ACF：S△ACB＝5：16，同法S△BDE：S△ABC＝5：16，由此可得结论．【解答】解：∵∠C＝∠C，∠CAF＝∠B，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴CA2＝CF•CB，∴CA2＝5×16＝80，∵AC＞0，∴AC＝4，∴＝＝，∴S△ACF：S△ACB＝5：16，同法可证△BDE∽△BCA，∵BD＝AC，∴＝，∴S△BDE：S△ABC＝5：16，∴S四边形ADEF：S△ABC＝（16﹣5﹣5）：16＝3：8，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．（4分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　）A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，y2＝（m﹣1）2+n，∵y1＜y2，∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，即﹣2m+3＜0，∴m＞，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边作等边△ADC，CD交斜边AB于E，若CE＝2DE，则BC：AC的值（　　）A．1：1 B．3：4 C．：2 D．：2【分析】如图，过点D作DJ⊥AC于点J交AB于点K．首先证明DJ＝BC，再利用＝，可得结论．【解答】解：如图，过点D作DJ⊥AC于点J交AB于点K．∵△ADC是等边三角形，DJ⊥AC，∴AJ＝JC，∵∠AJD＝∠ACB＝90°，∴JK∥CB，∴AK＝KB，∵DK∥CB，∴＝＝＝，∵AK＝KB，AJ＝JC，∴KJ＝BC，∴DJ＝BC，∵∠DJA＝90°，∠DAJ＝60°∴＝tan60°＝，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若a：b＝1：2，则（a+b）：b＝　3：2　．【分析】根据比例设a＝k，b＝2k，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵a：b＝1：2，∴可设a＝k，b＝2k，∴（a+b）：b＝（k+2k）：2k＝3：2，故答案为：3：2．【点评】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 　2　．【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（1，2），∵点C在y＝的图象上，∴k＝2，故答案为：2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 　16　．【分析】由题意得：△BDE、△EHF，△EGA是直角三角形，四边形DEGC是矩形，BC∥EG，DE∥HF∥AC，DE＝HF＝2，DC＝EG＝3，HE＝1，证明△EHF∽△EGA，得出＝，证明△BDE≌△EHF（ASA），得出DB＝HE＝1，求出AG＝6，再由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由题意得：△BDE、△EHF，△EGA是直角三角形，四边形DEGC是矩形，BC∥EG，DE∥HF∥AC，DE＝HF＝2，DC＝EG＝3，HE＝1，∴∠BDE＝∠EHF＝∠EGA＝90°，∠DEB＝∠HFE＝∠GAE，∴△EHF∽△EGA，∴＝，在△BDE和△EHF中，，∴△BDE≌△EHF（ASA），∴DB＝HE＝1，∴＝，∴AG＝6，∴S△ABC＝S△BDE+S△EGA+S矩形DEGC＝×1×2+×3×6+2×3＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．14．（5分）已知k为任意实数，随着k的变化，抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣3的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是 　1　．【分析】将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点所在函数解析式，进而求解．【解答】解：∵y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣3＝（x﹣k+1）2+2k﹣4，∴抛物线顶点坐标为（k﹣1，2k﹣4），设k﹣1＝x，则2k﹣4＝2x﹣2，∴抛物线顶点在直线y＝2x﹣2上，将x＝0代入y＝2x﹣2得y＝﹣2，将y＝0代入y＝2x﹣2得0＝2x﹣2，解得x＝1，∴直线经过（0，﹣2），（1，0），∴顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是S＝＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握求抛物线顶点轨迹的方法．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知某抛物线过点A（2，0），对称轴为x＝4，顶点在直线y＝x﹣1上，求此抛物线的解析式．【分析】由于抛物线对称轴为直线x＝4，则顶点的横坐标为4，再利用顶点在直线y＝x﹣1上可确定抛物线的顶点坐标为（4，3），则可设顶点式y＝a（x﹣4）2+3，然后把A点坐标代入求出a即可．【解答】解：∵当x＝4时，y＝x﹣1＝3，∴抛物线的顶点坐标为（4，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3，把A（2，0）代入得a×（2﹣4）2+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．16．（8分）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，求EF的长．【分析】根据线段的和差可得AC的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．【解答】解：∵AF＝2，CF＝3，∴AC＝5，∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴AF：AC＝EF：BC，即2：5＝EF：4，∴EF＝．【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D、F，H都是格点，AB与CD相交于O，AH与CD相交于E，求AO与BO的比值．【分析】如图，由EH∥CF，利用平行线分线段成比例可求出EH＝，则AE＝，再证明△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到的值．【解答】解：如图∵EH∥CF，∴，即＝，∴EH＝，∴AE＝AH﹣EH＝3﹣＝，∵AE∥BC，∴△AOE∽△BOC，∴＝＝＝．故AO与BO的比值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．18．（8分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），构建方程求解即可；（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，可得结论．【解答】解：（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），则有﹣m＝，∴m＝±3，经检验，m＝±3的分式方程的解，∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）； （2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，∴ac＝9，∴a＝，∵a＞1，∴0＜c＜9．【点评】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3．（1）它与x轴交点的坐标为 　（3，0）（﹣1，0）　，顶点坐标为 　（1，﹣4）　；（2）在下面的坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t为实数）在0＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣4≤t＜5　.（直接写出结果）【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点的坐标；（2）如图所示，把表格中的值分别代入y＝x2﹣2x﹣3求出对应的数值；（3）根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t为实数）在0＜x＜4的范围内有解，得b2﹣4ac≥0，求出t取值范围，再把x＝0、x＝4分别代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，求出t的值，进而求出t的取值范围．【解答】解：（1）令y＝0，0＝x2﹣2x﹣3．解得，x1＝3，x2＝﹣1，∴它与x轴交点的坐标为（3，0）（﹣1，0），化为顶点式为：y＝（x﹣1）2﹣4∴顶点为：（1，﹣4）；故答案为：（3，0）（﹣1，0），（1，﹣4）；（2） （3）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3﹣t＝0（t为实数）在0＜x＜4的范围内有解，∴b2﹣4ac≥0，∴4﹣4×1×（﹣3﹣t）≥0，解得，t≥﹣4， 把x＝0代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，得t＝4，把x＝4代入x2﹣2x﹣3﹣t＝0，得t＝5，∴t的取值范围是﹣4≤t＜5．故答案为：﹣4≤t＜5．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．20．（10分）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE．（1）求证△AED∽△CBD；（2）已知△BDC的面积为，求BD长．【分析】（1）（1）先根据等边三角形的性质得到∠A＝∠C＝60°，BC＝AB，由AE＝BE可得到CB＝2AE，再由，得到CD＝2AD，则＝，然后根据两边及其夹角法可得到结论；（2）过F作FE∥BD交AC于E，根据平行线等分线段定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB，∵AE＝BE，∴CB＝2AE，∵，∴CD＝2AD，∴＝＝，∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD；（2）解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，设AD＝a，则AC＝3a，∴CD＝2a，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝3a，∠C＝60°，∴CF＝a，DF＝CD＝a，∴S△BDC＝•DF•BC＝••3a＝，解得a＝4（负值舍去），∴BC＝12，CF＝4，DF＝8，∴BF＝8，在Rt△BDF中，由勾股定理可知，BD＝4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的三边关系，熟知相似三角形的判定定理是解题关键．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为2，点B在x轴负半轴上，反比例函数y＝的图象经过C点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）当函数值y＞﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．【分析】（1）求出C点的坐标，即可求出函数解析式；（2）根据反比例函数的性质求出即可；（3）根据面积求出P点的纵坐标，再代入函数解析式求出横坐标即可．【解答】解：（1）过C作CE⊥x轴于E，则∠CEB＝90°，∵正方形ABCO的边长为2，∴CO＝2，∠COE＝45°，∴CE＝OE＝＝2，即k＝﹣2×（﹣2）＝4，所以反比例函数的解析式是y＝； （2）把y＝﹣2代入y＝得：x＝﹣2，所以当函数值y＞﹣2时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞0； （3）设P点的纵坐标为a，∵正方形ABCO的边长为2，∴由勾股定理得：OB＝＝4，∵△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，∴×4×|a|＝2，解得：a＝±4，即P点的纵坐标是4或﹣4，代入y＝得：x＝1或﹣1，即P点的坐标是（1，4）或（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了正方形的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．七、（本题满分12分）22．（12分）如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是m．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．【分析】（1）依题意，函数的顶点为（4，），则可设函数的解析式为：y＝a（x﹣4）2+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a即可（2）将x＝5代入（1）所求的函数解析式，求得y即可判断（3）将y＝，代入函数解析式，求得x即可求乙与点O的距离，从而求得乙与球网的距离．【解答】解：（1）依题意，函数的顶点为（4，），故设函数的解析式为：y＝a（x﹣4）2+，∵点（0，1）在抛物线上∴代入得1＝a（0﹣4）2+，解得a＝则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：y＝﹣（x﹣4）2+（2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式，则当x＝5时，y＝×（5﹣4）2+＝＝1.625∵1.625＞1.55∴通过计算判断此球能过网（3）当y＝时，有＝（x﹣4）2+解得x1＝1（舍去），x2＝7则此时乙与球网的水平距离为：7﹣5＝2m【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型即可求解．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△BOF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②，联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．