2019-2020学年湖南师大附中梅溪湖中学九上入学数学试卷

这是一份2019-2020学年湖南师大附中梅溪湖中学九上入学数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）以下是2008年国家中医药管理局徽标征集20件入围作品中的4件，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A．8号作品B．9号作品
C．11号作品D．16号作品
2．（3分）下列事件为必然事件的是
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
3．（3分）如图，在平行四边形中，，为垂足．如果，则
A．B．C．D．
4．（3分）如图，，是的直径，，若，则的度数是
A．B．C．D．
5．（3分）函数的图象大致是
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，由绕点顺时针旋转而得，则点坐标为
A．B．C．D．
7．（3分）某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是
A．11，10B．11，11C．10，9D．10，11
8．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，则的长为
A．6B．8C．10D．12
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点坐标为
A．B．C．D．
10．（3分）用一根长的铁丝围成一个矩形， 那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为
A ．B ．
C ．D ．
11．（3分）已知、、为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
12．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线与坐标轴的交点个数为 ．
14．（3分）数据1，，3，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为 ．
15．（3分）如图，已知、、、分别是矩形四边、、、的中点，且四边形的周长为，则矩形的对角线长等于 ．
16．（3分）已知元二次方程的两根分别为，，则 ．
17．（3分）如图，点、分别在两条直线和上，点、是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为 ．
18．（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、25题每小题6分，共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简再求值：，其中，．
21．（8分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：．非常了解，．比较了解，．基本了解，．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名学生同时被选中的概率．
22．（8分）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在我国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓，假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．
（1）求每轮传染中平均每头猪传染了几头健康猪；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少头健康猪被感染？
23．（9分）在直角三角形中，，点、分别在边、上，将沿着直线折叠，使得点恰好落在边上的点处，且．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求线段的长度．
24．（9分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
25．（10分）如图，开口向下的抛物线为常数）与轴交于、两点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，横坐标设为，连接、．
（1）求、的坐标．
（2）当点为抛物线的顶点时，的面积为15，求抛物线的解析式．
（3）若，过点作轴的垂线，垂足为，当时，的最大值为．求正实数的值．
26．（10分）我们把四个顶点都在同个圆的圆周上的四边形称为圆内接四边形，或者说四边形内接于圆
（1）如图1，四边形内接于，且、、的度数之比为，求的度数；
（2）如图2，在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，求弦的长．
（3）如图3，内接四边形的对角线与交于点，且．已知的半径为1，，求线段的取值范围．
2019-2020学年湖南师大附中梅溪湖中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）以下是2008年国家中医药管理局徽标征集20件入围作品中的4件，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A．8号作品B．9号作品
C．11号作品D．16号作品
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．（3分）下列事件为必然事件的是
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：，，选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
一定发生的事件只有，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图，在平行四边形中，，为垂足．如果，则
A．B．C．D．
【分析】求出，根据三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质得出即可．
【解答】解：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，垂直定义和平行四边形的性质，能求出的度数和根据平行四边形的性质得出是解此题的关键．
4．（3分）如图，，是的直径，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，然后利用对顶角相等得，易得．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．（3分）函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的性质，可以判断该函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：函数，，，
该函数图象经过第一、三、四象限，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，由绕点顺时针旋转而得，则点坐标为
A．B．C．D．
【分析】作轴于．证明即可解决问题．
【解答】解：作轴于．
，
，，
，
，
，，
，，，
，，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（3分）某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是
A．11，10B．11，11C．10，9D．10，11
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11；
把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数，
则中位数是；
故选：．
【点评】此题考查了中位数和众数，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到△，连接，则的长为
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据旋转的性质得出，，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到△，
，，
，，，
，，，
在中，的长，
故选：．
【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出，．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：由题意得，，，
，
则，
，
点坐标为，
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
10．（3分）用一根长的铁丝围成一个矩形， 那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为
A ．B ．
C ．D ．
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长， 进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可 ．
【解答】解： 由题意得： 矩形的另一边长，
矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点 ．
11．（3分）已知、、为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：点在第二象限，
，，
，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
12．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③；④的最小值为；⑤一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据垂直的定义得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到．根据正方形的性质得到，求得是等腰直角三角形，得到，①正确；延长交于点，延长交于点．推出四边形是正方形，，根据全等三角形的性质得到；故②正确；根据垂直的定义得到，故③正确；当时，最小，即最小，此时是等腰直角三角形，斜边为，于是得到的最小值为，故④正确；当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故⑤错误．
【解答】解：，，
，
又，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，①正确；
延长交于点，延长交于点．
四边形是正方形．
又，，
四边形是正方形，，
，
在与中，，
，
；故②正确；
，
与中，，，
，
，故③正确；
矩形中，，
当时，最小，即最小，
此时是等腰直角三角形，斜边为，
则，
的最小值为，故④正确；
点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，故⑤错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线与坐标轴的交点个数为 2个 ．
【分析】此题分为与轴、轴的交点个数，计算的值与0进行比较可确定于轴交点的个数，抛物线与轴都有一个交点．
【解答】解：△，
所以抛物线与轴的交点有一个．
抛物线开口向下，取任意实数，
所以抛物线与轴有一个交点，
故答案为2个．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴交点，二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．
△决定抛物线与轴的交点个数．
△时，抛物线与轴有2个交点；
△时，抛物线与轴有1个交点；
△时，抛物线与轴没有交点．
14．（3分）数据1，，3，4，5的平均数是3，则这组数据的方差为 2 ．
【分析】先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：数据1，，3，4，5平均数为3，
，
解得：，
这组数据的方差是．
故答案为：2．
【点评】本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．（3分）如图，已知、、、分别是矩形四边、、、的中点，且四边形的周长为，则矩形的对角线长等于 8 ．
【分析】连接、，根据三角形的中位线求出、、、的长，即可得到四边形的周长与、的数量关系．
【解答】解：如图，连接、，
四边形是矩形，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长等于，
则
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
16．（3分）已知元二次方程的两根分别为，，则 13 ．
【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得，，
所以原式．
故答案为13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
17．（3分）如图，点、分别在两条直线和上，点、是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为 ．
【分析】设正方形的边长为，根据正方形的性质分别表示出，两点的坐标，再将的坐标代入函数中从而可求得的值．
【解答】解：设正方形的边长为，则的纵坐标是，把点代入直线的解析式，则设点的坐标为，，
则点的坐标为，，
把点的坐标代入中得，，解得，．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
18．（3分）已知两点，均在抛物线上，点，是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是 ．
【分析】先判断出抛物线开口方向向下，进而按照，两点都在对称轴右侧或在对称轴两侧，分类讨论即可求解．
【解答】解：点，是抛物线的顶点，，
抛物线有最大值，函数图象开口向下，
当，两点都在对称轴右侧时，；
当，两点在对称轴两侧时，则点离对称轴要近，
的取值范围为：
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，明确二次函数的对称性及函数值与对称轴远近的大小关系，是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、25题每小题6分，共66分）
19．（6分）计算：．
【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；
【解答】解：原式
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
20．（6分）先化简再求值：，其中，．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：
，
当，时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21．（8分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：．非常了解，．比较了解，．基本了解，．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生；扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名学生同时被选中的概率．
【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以人数所占比例即可得；
（2）总人数乘以的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，据此补全图形即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：60、；
（2）类别人数为，
则类别人数为，
补全条形图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，
所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为．
【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
22．（8分）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在我国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓，假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．
（1）求每轮传染中平均每头猪传染了几头健康猪；
（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少头健康猪被感染？
【分析】（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，根据一头猪患病经过两轮传染后共有64头猪患病，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据第三轮又被感染的猪的只数经过两轮感染后患病的猪的只数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每头猪传染了头健康猪，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每头猪传染了7头健康猪．
（2）（头．
答：第三轮传染将又有448头健康猪被感染．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（9分）在直角三角形中，，点、分别在边、上，将沿着直线折叠，使得点恰好落在边上的点处，且．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求线段的长度．
【分析】（1）易证，所以，所以，从而可知，由翻折可知：，所以，所以，所以四边形是平行四边形，由翻折可知：，所以平行四边形是菱形．
（2）设，则由翻折可知：，根据勾股定理可知，解得：，则，所以在菱形中，
【解答】解：（1）
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
则，
，
四边形是平行四边形，
由翻折可知：，
平行四边形是菱形，
（2）设，则由翻折可知：，
由勾股定理可知：，
，
解得：，
则，
菱形中，
【点评】本题考查菱形的综合问题，涉及菱形的性质与判定、勾股定理，解方程，翻折变换等知识，需要学生灵活运用所学知识．
24．（9分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
【分析】（1）设今年甲型号手机每台售价为元，根据：去年的销售量今年的销售量，列方程求解；
（2）设购进甲型号手机台，则购进乙型号手机台，根据：用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，列不等式组，求正整数的可能取值；
（3）根据总利润甲型号利润乙型号利润，列出一次函数关系式，再求利润相同时，的取值．
【解答】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为元，由题意得，
．
解得．
经检验是方程的解，且符合题意．
故今年甲型号手机每台售价为1500元．
（2）设购进甲型号手机台，由题意得，
，
．
因为只能取整数，所以取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．
（3）设总获利元，购进甲型号手机台，则
，
．
所以当时，（2）中所有的方案获利相同．
【点评】本题考查了一次函数的应用．关键是根据售价，进价，利润之间的关系，列方程或函数关系式求解．
25．（10分）如图，开口向下的抛物线为常数）与轴交于、两点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，横坐标设为，连接、．
（1）求、的坐标．
（2）当点为抛物线的顶点时，的面积为15，求抛物线的解析式．
（3）若，过点作轴的垂线，垂足为，当时，的最大值为．求正实数的值．
【分析】（1），令，解得：或4，即可求解；
（2）直线的表达式为：，的面积，即可求解；
（3）设点，设：，求解即可．
【解答】解：（1），令，解得：或4，令，则，
故点、的坐标分别为：、，点的坐标为；
（2）过点作轴的平行线交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，
抛物线的对称轴为：，则点，，点，，
的面积，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）若，抛物线的表达式为：，
设点，设：，
函数的对称轴为：；
①当时，时，取得最大值，
即：，解得：；
②当时，在顶点处取得最大值，
即，解得：（舍去）
③当时，同理可得：（舍去）；
综上，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（10分）我们把四个顶点都在同个圆的圆周上的四边形称为圆内接四边形，或者说四边形内接于圆
（1）如图1，四边形内接于，且、、的度数之比为，求的度数；
（2）如图2，在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，求弦的长．
（3）如图3，内接四边形的对角线与交于点，且．已知的半径为1，，求线段的取值范围．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，设、、的度数分别为、、，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程求出，即可得出答案；
（2）将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得出，，，求出、、三点共线，解直角三角形求出即可；
（3）先判断出，进而判断出，即，再判断出四边形是矩形，进而得出，设，列出二次函数分析即可．
【解答】解：（1）四边形是的内接四边形，
，
、、的度数之比为，
设、、的度数分别为、、，
则，
解得，，
则，
；
（2）、、、四点共圆，，
，
点为弧的中点，
，，
将绕点逆时针旋转得，如图2所示：
则，，，
，
、、三点共线，
过作于，
，
，
在中，；
（3），
，
，，
，
，
，
，
过点作于，于，连接，，
，，，，，四边形是矩形，
，，
设，则，
的半径为1，，
，
，
，
．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、旋转变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解直角三角形、二次函数的应用等知识；能合理添加辅助线，构造二次函数模型分析线段的最值是解题的关键．
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日期：2021/8/10 15:54:58；用户：15073336306；邮箱：15073336306；学号：20793157 年龄（岁
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