陕西省渭南市澄城县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份陕西省渭南市澄城县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省渭南市澄城县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3
2．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（　　）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
4．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1或﹣2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．3.8 B．3.2 C．3 D．0.8
6．（3分）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
7．（3分）某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（　　）
A． B．x（x﹣1）＝2256
C．（x﹣1）2＝2256 D．x（x+1）＝2256
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0：⑤b2＞4ac；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小；⑦若，在该抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（3分）已知点P（x+1，3）与点Q（1，y﹣2）关于原点对称，则x+y＝　 　．
10．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，点B'刚好落在BC上．若AB'＝CB'，则∠CB'C'＝　 　．

12．（3分）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　 　m，才能停下来．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　 　．
三、解答题（81分）
14．（5分）解方程：2x（x+3）＝x2+2．
15．（5分）已知抛物线的解析式为．
（1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）在什么范围内，y随x的增大而增大．
16．（5分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求它的另一个根及c的值．
17．（5分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
18．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0，求证：无论k取何值，方程总有两个实数根．
19．（5分）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点B的对应点B'的坐标．
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A''B''C''．

20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
21．（6分）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5，OD＝75，AD＝12，AB＝9．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
（3）分别求出0≤x≤37.5和37.5＜x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离．

22．（7分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：　 　；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　 　；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 　 　．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
23．（7分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（Ⅰ）求∠ODC的度数；
（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．

24．（8分）中华人民共和国第十四届运动会于2021年在陕西省举办，旅游景点销售一批印有会微以及吉祥物的文化衫，每件进价50元，当每件90元售出时，平均每天可售出20件，在此基础上，为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降2元，平均每天可以多售出4件．
（1）若降价后，商场销售这批文化衫每天盈利1200元，单价降了多少元？
（2）当文化衫的单价定为多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若P为该函数图像上的点，S△OBP＝9，求P点坐标；
（3）点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值及点C的坐标．

26．（10分）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）试判断并直接写出BE、EF、FD之间的数量关系．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 　 　关系时，仍有EF＝BE+FD，并说明理由．
（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）



2022-2023学年陕西省渭南市澄城县九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3
【解答】解：开方得：x+1＝±2，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
故选：B．
2．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
3．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（　　）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，
对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，
故选：D．
4．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1或﹣2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0的一个根是x＝﹣1，
把x＝﹣1代入方程，得（k﹣1）﹣1+k2＝0，
解得k1＝1，k2＝﹣2，
∵k﹣1≠0，
∴k＝﹣2，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．3.8 B．3.2 C．3 D．0.8
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD＝2，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝5.2﹣2＝3.2，
故选：B．
6．（3分）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x＝﹣在y轴的右侧，交y轴的负半轴，
∴B选项正确，
故选：B．
7．（3分）某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（　　）
A． B．x（x﹣1）＝2256
C．（x﹣1）2＝2256 D．x（x+1）＝2256
【解答】解：若这个班有x个学生，则每名同学要送出贺卡（x﹣1）张，
又因为是互送相片，
所以总共送的张数应该是x（x﹣1）＝2256．
故选：B．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0：⑤b2＞4ac；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小；⑦若，在该抛物线上，则y1＞y2，其中正确的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴0＜﹣＜1，
∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以③错误；
∴a+c＞b，
而b＞0，
∴a+c＞0，所以④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以⑤正确；
∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以⑥正确．
∵＝1＞﹣，
∴（﹣，y1）到对称轴的距离小于（，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，所以⑦正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．（3分）已知点P（x+1，3）与点Q（1，y﹣2）关于原点对称，则x+y＝　﹣3　．
【解答】解：∵点P（x+1，3）与点Q（1，y﹣2）关于原点对称，
∴x+1＝﹣1，y﹣2＝﹣3，
解得：x＝﹣2，y＝﹣1，
则x+y＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m+n＝　1　．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴m+n＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，点B'刚好落在BC上．若AB'＝CB'，则∠CB'C'＝　80°　．

【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
由旋转可得∠B＝∠AB'C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠BB'A＝2∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°﹣105°＝75°，
∴∠C＝25°，
∴∠B＝∠AB'C'＝∠BB'A＝50°，
∴∠CB'C'＝180°﹣∠AB'C'﹣∠BB'A＝80°．
故答案为：80°．
12．（3分）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　45　m，才能停下来．
【解答】解：依题意，该函数关系式化简为S＝﹣5（t﹣3）2+45，
当t＝3时，汽车停下来，滑行了45m．
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离45m．
故答案为45．
13．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　1　．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故答案为：1．
三、解答题（81分）
14．（5分）解方程：2x（x+3）＝x2+2．
【解答】解：2x（x+3）＝x2+2，
2x2+6x＝x2+2，
整理，得x2+6x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝62+4×1×2＝44＞0，
∴＝＝，
解得，．
15．（5分）已知抛物线的解析式为．
（1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）在什么范围内，y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）∵＝﹣（x2﹣4x+4）+3＝﹣（x﹣2）2+3，
∴抛物线的开口向下；对称轴为x＝2；顶点坐标（2，3）；

（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时y随x的增大而增大．
16．（5分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求它的另一个根及c的值．
【解答】解：设方程的另一根为t，则
2﹣+t＝4，
解得 t＝2+．
（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得 c＝﹣1．
综上所述，它的另一个根是2+及c的值是﹣1．
17．（5分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得．
所以a＝1，h＝﹣4．

（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
18．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0，求证：无论k取何值，方程总有两个实数根．
【解答】证明：∵a＝1，b＝k+3，c＝3k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+3）2﹣4×1×3k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根．
19．（5分）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点B的对应点B'的坐标．
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A''B''C''．

【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求，点B'的坐标（﹣3，﹣4）；
（2）画如图，△A''B''C''即为所求．

20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
21．（6分）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5，OD＝75，AD＝12，AB＝9．
（1）求抛物线的表达式；
（2）通过计算说明石块能否飞越城墙AB；
（3）分别求出0≤x≤37.5和37.5＜x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离．

【解答】解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣50）2+25，
把（0，5）代入，得2500a+25＝5，
解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣50）2+25＝﹣x2+x+5；
（2）石块不能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝75代入y＝﹣（x﹣50）2+25；
得y＝20，
∵20＜12+9，
∴石块不能飞越防御墙AB；
（3）设直线OA的解析式为y＝kx，
把（75，12）代入得，k＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
过抛物线上的点M作MN⊥x轴交OA于N，

设M（m，﹣m2+m+5），则N（m，m），
∴MN＝﹣m2+m+5，对称轴为x＝﹣＝40，
∵a＜0，在对称轴的左侧MN随x的增大而增大，
∴0≤x≤37.5时，a＝37.5时，MN最大为，
37.5＜x≤75时，a＝40时，MN最大为．
答：0≤x≤37.5时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为；37.5＜x≤75时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为．
22．（7分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称　；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　x＝﹣2或x＝0或x＝2　；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．

23．（7分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（Ⅰ）求∠ODC的度数；
（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．

【解答】解：（Ⅰ）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，
∵∠ACB＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC＝60°；

（Ⅱ）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，
∵△OCD为等边三角形，
∴OD＝OC＝3，
∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．
24．（8分）中华人民共和国第十四届运动会于2021年在陕西省举办，旅游景点销售一批印有会微以及吉祥物的文化衫，每件进价50元，当每件90元售出时，平均每天可售出20件，在此基础上，为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降2元，平均每天可以多售出4件．
（1）若降价后，商场销售这批文化衫每天盈利1200元，单价降了多少元？
（2）当文化衫的单价定为多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设单价降了x元．
则（20+2x）（90﹣50﹣x）＝1200，
解得x1＝10，x2＝20，
答：单价降了10或20元；
（2）设每天利润为W元，
则W＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x+10）（x﹣40）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴W有最大值，
∴当x＝15时，Wmax＝1250．
∴当文化衫的单价定为90﹣15＝75元时，才能使每天的利润最大，最大利润是1250元．
答：当文化衫的单价定为90﹣15＝75元时，才能使每天的利润最大，最大利润是1250元．
25．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若P为该函数图像上的点，S△OBP＝9，求P点坐标；
（3）点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值及点C的坐标．

【解答】解：（1）将A（2，4），B（6，0）代入y＝ax2+bx得，
解得．
（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，），
设点P纵坐标为yp，则S△OBP＝OB•|yP|＝3|yP|＝9，
解得|yP|＝3，
将y＝3代入y＝﹣x2+3x得3＝﹣x2+3x，
解得x1＝3﹣，x2＝3+，
将y＝﹣3代入y＝﹣x2+3x得﹣3＝﹣x2+3x，
解得x3＝3﹣2，x4＝3+2，
∴点P坐标为（3﹣，3）或（3+，3）或（3﹣2，﹣3）或（3+2，﹣3）．
（3）连接AB，过点C左CD∥y轴交AB于点D，

设直线AB解析式为y＝mx+n，
将A（2，4），B（6，0）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝﹣x+6，
∵点C的横坐标为x，
∴点C坐标为（x，﹣x2+3x），点D坐标为（x，﹣x+6），
∴CD＝﹣x2+3x﹣（﹣x+6）＝﹣（x﹣4）2+2，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝CD（xC﹣xA）+CD（xB﹣xC）＝CD（xB﹣xA）＝4CD＝﹣2（x﹣4）2+8，
S△AOB＝OB•yA＝＝12，
∴S四边形OACB＝S△ABC+S△AOB＝﹣2（x﹣4）2+8+12＝﹣2（x﹣4）2+20．
∴当x＝4时，S四边形OACB最大值为20，此时点C坐标为（4，4）．
26．（10分）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）试判断并直接写出BE、EF、FD之间的数量关系．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 　∠BAD＝2∠EAF　关系时，仍有EF＝BE+FD，并说明理由．
（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）


【解答】解：（1）BE+FD＝EF，理由如下：
如图1所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，

则△ABE≌△ADG，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°＝∠GAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF＝EF，
∵DG＝BE，
∴GF＝BE+FD，
∴BE+FD＝EF；
（2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：
如图2所示，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF，
故答案为：∠BAD＝2∠EAF；
（3）如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，

∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝60°．
又∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝80m，
根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，
又∵∠ADF＝120°，
∴∠GDF＝180°，即点G在 CD的延长线上．
∵△ADG≌△ABE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AH＝80×sin60°＝80×＝40，HF＝HD+DF＝40+40（﹣1）＝40（m），
∴AH＝HF，
∴∠HFA＝∠HAF＝45°，
∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°，
∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF，
根据（2）得，EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）＝（40+40）m，
即这条道路EF的长为（40+40）m．