23版新高考一轮分层练案(九)　幂函数与二次函数

这是一份23版新高考一轮分层练案(九)　幂函数与二次函数，共5页。试卷主要包含了已知函数f＝x2＋x－3.等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(九)　幂函数与二次函数 A级——基础达标1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝(　　)A．3    B．－3C．    D．－【答案】C　设f(x)＝xα，则＝2α＝3，∴f＝＝.2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)A．a>0，4a＋b＝0    B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0    D．a<0，2a＋b＝0【答案】A　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1【答案】D　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D.4．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1，3).若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，2]    B．[4，＋∞)C．[2，＋∞)    D．(－∞，4]【答案】B　因为f(x)＞0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以即令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4，故选B.5．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是(　　)A．f(－1)    B．f(1)C．f(2)    D．f(5)【答案】ACD　因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　)A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3，0)【答案】ABD　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A、B、D.7．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点【答案】AB　对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象不关于x＝1对称，错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，错误．8．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________．解析：y＝8＋m－7－8，∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8＝0，∴m＝9或m＝25.【答案】9或259．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．解析：当c＝0时，即x∈[－2，0]时，f(x)∈，当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为.作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当f(x)＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1.【答案】　10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴为x＝－∈[－2，3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为.(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或a＝－1.B级——综合应用11．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0).若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0   【答案】B　当a<0时，作出两个函数的图象，如图，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)，因为函数f(x)＝是奇函数，所以设A关于原点对称的点为A′(－x1，－y1)，显然x2>－x1>0，即x1＋x2>0，－y1>y2，即y1＋y2<0；当a>0时，由对称性知x1＋x2<0，y1＋y2>0.故选B.12．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)A．0    B．1C．    D．2【答案】A　因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，所以a－＝log－＝0.13．(多选)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下说法，其中正确的是(　　)A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝nD．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n【答案】AD　任取x1≠x2，则m＝＝＝2＞0，A正确；由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则n＝＝＝＝0，B错误；m＝2，n＝＝＝＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．14．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：x1f(x)1 则不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，则＝，∴α＝，∴f(x)＝x.不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4.∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4，4].【答案】[－4，4]15．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1，2]上的最大值为f(2)，最小值f(－1)，求实数k的取值范围．解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，所以|x1－x2|＝ ＝ ＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[－1，2]上单调递增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.所以g(x)的对称轴方程为x＝，则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0].C级——迁移创新 16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围．解：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2).